Lógica modal

La lógica modal es un tipo de lógica que se utiliza para representar enunciados sobre necesidad y posibilidad . En filosofía y campos afines, se utiliza como herramienta para comprender conceptos como conocimiento , obligación y causalidad . Por ejemplo, en la lógica modal epistémica , la fórmula $\Box P$ puede utilizarse para representar la afirmación de que $P$ es conocido. En lógica modal deóntica , esa misma fórmula puede representar eso. $P$ es una obligación moral. La lógica modal considera las inferencias que generan las proposiciones modales. Por ejemplo, la mayoría de las lógicas modales epistémicas tratan la fórmula $\Box P\rightarrow P$ como una tautología , que representa el principio de que solo las afirmaciones verdaderas pueden considerarse conocimiento. Sin embargo, esta fórmula no es una tautología en la lógica modal deóntica, ya que lo que debería ser verdadero puede ser falso.

Las lógicas modales son sistemas formales que incluyen operadores unarios como $\Diamond$ y $\Box$ , que representan la posibilidad y la necesidad respectivamente. Por ejemplo, la fórmula modal $\Diamond P$ puede leerse como "posiblemente $P$ " mientras $\Box P$ puede leerse como "necesariamente $P$ ". En la semántica relacional estándar para la lógica modal, a las fórmulas se les asignan valores de verdad relativos a un mundo posible . El valor de verdad de una fórmula en un mundo posible puede depender de los valores de verdad de otras fórmulas en otros mundos posibles accesibles . En particular, $\Diamond P$ es cierto en un mundo si $P$ es cierto en algún mundo posible accesible, mientras que $\Box P$ es cierto en un mundo si $P$ Esto es cierto en todo mundo posible accesible. Existen diversos sistemas de prueba que son sólidos y completos con respecto a la semántica que se obtiene al restringir la relación de accesibilidad. Por ejemplo, la lógica modal deóntica D es sólida y completa si se requiere que la relación de accesibilidad sea serial .

Si bien la intuición detrás de la lógica modal se remonta a la antigüedad, los primeros sistemas axiomáticos modales fueron desarrollados por C.I. Lewis en 1912. La semántica relacional, ahora estándar, surgió a mediados del siglo XX a partir del trabajo de Arthur Prior , Jaakko Hintikka y Saul Kripke . Los desarrollos recientes incluyen semánticas topológicas alternativas , como la semántica de vecindad , así como aplicaciones de la semántica relacional más allá de su motivación filosófica original. ^{[ 1 ]} Dichas aplicaciones incluyen la teoría de juegos , ^{[ 2 ]} la teoría moral y jurídica , ^{[ 2 ]} el diseño web , ^{[ 2 ]} la teoría de conjuntos basada en multiversos , ^{[ 3 ]} y la epistemología social . ^{[ 4 ]}

Sintaxis de los operadores modales

La lógica modal se diferencia de otros tipos de lógica en que utiliza operadores modales como $\Box$ y $\Diamond$ . El primero se lee convencionalmente en voz alta como "necesariamente" y puede usarse para representar nociones como obligación moral o legal , conocimiento , inevitabilidad histórica , entre otras. El segundo se lee típicamente como "posiblemente" y puede usarse para representar nociones que incluyen permiso , capacidad , compatibilidad con la evidencia . Si bien las fórmulas bien formadas de la lógica modal incluyen fórmulas no modales como $P\land Q$ , también contiene modales como $\Box (P\land Q)$ , $P\land \Box Q$ , $\Box (\Diamond P\land \Diamond Q)$ , etcétera.

Por lo tanto, el lenguaje ${\mathcal {L}}$ La lógica proposicional básica se puede definir recursivamente de la siguiente manera.

Si $\phi$ es una fórmula atómica, entonces $\phi$ es una fórmula de ${\mathcal {L}}$ .
Si $\phi$ es una fórmula de ${\mathcal {L}}$ , entonces $\neg \phi$ También.
Si $\phi$ y $\psi$ son fórmulas de ${\mathcal {L}}$ , entonces $\phi \land \psi$ También.
Si $\phi$ es una fórmula de ${\mathcal {L}}$ , entonces $\Diamond \phi$ También.
Si $\phi$ es una fórmula de ${\mathcal {L}}$ , entonces $\Box \phi$ También.

Los operadores modales se pueden agregar a otros tipos de lógica introduciendo reglas análogas a las #4 y #5 anteriores. La lógica de predicados modales es una variante ampliamente utilizada que incluye fórmulas como $\forall x\Diamond P(x)$ . En sistemas de lógica modal donde $\Box$ y $\Diamond$ son duales , $\Box \phi$ puede tomarse como una abreviatura de $\neg \Diamond \neg \phi$ De esta forma, se elimina la necesidad de una regla sintáctica aparte para introducirlo. Sin embargo, las reglas sintácticas aparte son necesarias en sistemas donde los dos operadores no son interdefinibles.

Las variantes de notación comunes incluyen símbolos como $[K]$ y $\langle K\rangle$ en sistemas de lógica modal utilizados para representar el conocimiento y $[B]$ y $\langle B\rangle$ en aquellos utilizados para representar creencias. Estas notaciones son particularmente comunes en sistemas que utilizan múltiples operadores modales simultáneamente ( lógica multimodal ). Por ejemplo, una lógica epistémica-deóntica combinada podría utilizar la fórmula $[K]\langle D\rangle P$ se lee como "Sé que P está permitido". Los sistemas de lógica modal pueden incluir infinitos operadores modales distinguidos por índices, es decir $\Box _{1}$ , $\Box _{2}$ , $\Box _{3}$ , etcétera.

Semántica

Semántica relacional

nociones básicas

La semántica estándar para la lógica modal se denomina semántica relacional . En este enfoque, la verdad de una fórmula se determina en relación con un punto que a menudo se denomina mundo posible . Para una fórmula que contiene un operador modal, su valor de verdad puede depender de lo que sea verdadero en otros mundos accesibles . Por lo tanto, la semántica relacional interpreta las fórmulas de la lógica modal utilizando modelos definidos de la siguiente manera. ^{[ 5 ]}

Un modelo relacional es una tupla ${\mathfrak {M}}=\langle W,R,V\rangle$ dónde:

$W$ es un conjunto de mundos posibles
$R$ es una relación binaria en $W$
$V$ es una función de valoración que asigna un valor de verdad a cada par de una fórmula atómica y un mundo, (es decir, $V:W\times F\to \{0,1\}$ dónde $F$ es el conjunto de fórmulas atómicas)

El conjunto $W$ a menudo se le llama el universo . La relación binaria $R$ se denomina relación de accesibilidad y controla qué mundos pueden "verse" entre sí para determinar qué es verdadero. Por ejemplo, $wRu$ significa que el mundo $u$ es accesible desde el mundo $w$ . Es decir, el estado de cosas conocido como $u$ es una posibilidad real para $w$ . Finalmente, la función $V$ Se conoce como función de valuación . Determina qué fórmulas atómicas son verdaderas en qué mundos.

Luego definimos recursivamente la verdad de una fórmula en un mundo $w$ en un modelo ${\mathfrak {M}}$ :

${\mathfrak {M}},w\modelos P$ si y solo si $V(w,P)=1$
${\mathfrak {M}},w\modelos \neg P$ si y solo si $w\no \modelos P$
${\mathfrak {M}},w\models (P\wedge Q)$ si y solo si $w\models P$ y $w\models Q$
${\mathfrak {M}},w\modelos \Box P$ si y solo si para cada elemento $u$ de $W$ , si $wRu$ entonces $u\models P$
${\mathfrak {M}},w\models \Diamond P$ si y solo si para algún elemento $u$ de $W$ , sostiene que $wRu$ y $u\models P$

Según esta semántica, es necesaria una fórmula con respecto a un mundo. $w$ si se cumple en todos los mundos que son accesibles desde $w$ . Es posible si se cumple en algún mundo que sea accesible desde $w$ La posibilidad depende, por lo tanto, de la relación de accesibilidad. $R$ lo cual nos permite expresar la naturaleza relativa de la posibilidad. Por ejemplo, podríamos decir que, dadas nuestras leyes de la física, no es posible que los humanos viajen más rápido que la velocidad de la luz, pero que, dadas otras circunstancias, sí podría haber sido posible. Utilizando la relación de accesibilidad, podemos traducir este escenario de la siguiente manera: En todos los mundos accesibles desde nuestro propio mundo, no es cierto que los humanos puedan viajar más rápido que la velocidad de la luz, pero en uno de estos mundos accesibles existe otro mundo accesible desde esos mundos, pero no desde el nuestro, en el que los humanos sí pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz.

Marcos y completitud

La elección de la relación de accesibilidad por sí sola a veces puede ser suficiente para garantizar la verdad o falsedad de una fórmula. Por ejemplo, consideremos un modelo. ${\mathfrak {M}}$ cuya relación de accesibilidad es reflexiva . Debido a que la relación es reflexiva, tendremos que ${\mathfrak {M}},w\models P\rightarrow \Diamond P$ para cualquier $w\in G$ independientemente de la función de valoración que se utilice. Por este motivo, los lógicos modales a veces hablan de marcos , que son la parte de un modelo relacional que excluye la función de valoración.

Un marco relacional es un par ${\mathfrak {M}}=\langle G,R\rangle$ dónde $G$ es un conjunto de mundos posibles, $R$ es una relación binaria en $G$ .

Los diferentes sistemas de lógica modal se definen mediante condiciones de marco . Un marco se denomina:

reflexivo si w R w , para cada w en G
simétrico si w R u implica u R w , para todo w y u en G
transitivo si w R u y u R q juntos implican w R q , para todo w , u , q en G .
serial si, para cada w en G hay algún u en G tal que w R u .
Euclidiano si, para cada u , t y w , w R u y w R t implica u R t (por simetría, también implica t R u , así como t R t y u R u ).

Las lógicas que el sistema establece a partir de estas condiciones de marco son:

K := sin condiciones
D := serial
T := reflexivo
B := reflexivo y simétrico
S4 := reflexivo y transitivo
S5 := reflexivo y euclidiano

La propiedad euclidiana, junto con la reflexividad, produce simetría y transitividad. (La propiedad euclidiana también puede obtenerse a partir de la simetría y la transitividad). Por lo tanto, si la relación de accesibilidad R es reflexiva y euclidiana, R es demostrablemente simétrica y transitiva . En consecuencia, para los modelos de S5, R es una relación de equivalencia , ya que R es reflexiva, simétrica y transitiva.

Podemos demostrar que estos marcos producen el mismo conjunto de oraciones válidas que los marcos donde todos los mundos pueden ver todos los demás mundos de W ( es decir , donde R es una relación "total"). Esto da como resultado el grafo modal correspondiente , que es totalmente completo ( es decir , no se pueden agregar más aristas (relaciones)). Por ejemplo, en cualquier lógica modal basada en condiciones de marco:

w\modelos \Diamond P

si y solo si para algún elemento u de G , se cumple que

u\models P

y w R u .

Si consideramos marcos basados en la relación total podemos decir simplemente que

w\modelos \Diamond P

si y solo si para algún elemento u de G , se cumple que

u\models P

.

Podemos eliminar la cláusula de accesibilidad de la última estipulación porque en tales marcos totales es trivialmente cierto para todos los w y u que w R u . Pero esto no tiene por qué ser así en todos los marcos S5, que aún pueden constar de múltiples partes que están completamente conectadas entre sí pero aún desconectadas unas de otras.

Todos estos sistemas lógicos también pueden definirse axiomáticamente, como se muestra en la siguiente sección. Por ejemplo, en S5, los axiomas $P\implies \Box \Diamond P$ , $\Box P\implies \Box \Box P$ y $\Box P\implies P$ (que corresponden a la simetría , la transitividad y la reflexividad , respectivamente) se cumplen, mientras que al menos uno de estos axiomas no se cumple en cada una de las otras lógicas más débiles.

semántica topológica

La lógica modal también se ha interpretado utilizando estructuras topológicas. Por ejemplo, la Semántica Interior interpreta las fórmulas de la lógica modal de la siguiente manera.

Un modelo topológico es una tupla $\mathrm {X} =\langle X,\tau,V\rangle$ dónde $\langle X,\tau \rangle$ es un espacio topológico y $V$ es una función de valoración que asigna cada fórmula atómica a algún subconjunto de $X$ La semántica interna básica interpreta las fórmulas de la lógica modal de la siguiente manera:

$\mathrm {X} ,x\models P$ si y solo si $x\in V(P)$
$\mathrm {X} ,x\models \neg \phi$ si y solo si $\mathrm {X} ,x\not \models \phi$
$\mathrm {X} ,x\models \phi \land \chi$ si y solo si $\mathrm {X} ,x\models \phi$ y $\mathrm {X} ,x\models \chi$
$\mathrm {X} ,x\models \Box \phi$ si para algunos $U\in \tau$ tenemos ambos eso $x\in U$ y también que $\mathrm {X} ,y\models \phi$ a pesar de $y\in U$

Los enfoques topológicos engloban a los relacionales, permitiendo lógicas modales no normales . La estructura adicional que proporcionan también permite modelar de forma transparente ciertos conceptos, como la evidencia o la justificación de las propias creencias. La semántica topológica se utiliza ampliamente en trabajos recientes de epistemología formal y tiene antecedentes en trabajos anteriores, como las lógicas para contrafactuales de David Lewis y Angelika Kratzer .

Sistemas axiomáticos

Las primeras formalizaciones de la lógica modal fueron axiomáticas . Desde que C.I. Lewis comenzó a trabajar en este campo en 1912, se han propuesto numerosas variaciones con propiedades muy diferentes. Hughes y Cresswell (1996), por ejemplo, describen 42 lógicas modales normales y 25 no normales. Zeman (1973) describe algunos sistemas que Hughes y Cresswell omiten.

Los tratamientos modernos de la lógica modal comienzan aumentando el cálculo proposicional con dos operaciones unarias, una que denota "necesidad" y la otra "posibilidad". La notación de CI Lewis , muy empleada desde entonces, denota "necesariamente p " mediante un "cuadro" (□ p ) con prefijo cuyo alcance se establece mediante paréntesis. De manera similar, un "diamante" (◇ p ) con prefijo denota "posiblemente p ". De forma similar a los cuantificadores en la lógica de primer orden , "necesariamente p " (□ p ) no asume que el rango de cuantificación (el conjunto de mundos posibles accesibles en la semántica de Kripke ) sea no vacío, mientras que "posiblemente p " (◇ p ) a menudo asume implícitamente $\Diamond \top$ (es decir, el conjunto de mundos posibles accesibles no es vacío). Independientemente de la notación, cada uno de estos operadores se puede definir en términos del otro en la lógica modal clásica:

□ p (necesariamente p ) es equivalente a $\neg◇\neg p$ ("no es posible que no- p ")
◇ p (posiblemente p ) es equivalente a $\neg□\neg p$ ("no necesariamente no- p ")

Por lo tanto, □ y ◇ forman un par dual de operadores.

En muchas lógicas modales, los operadores de necesidad y posibilidad satisfacen los siguientes análogos de las leyes de De Morgan del álgebra booleana :

"No es necesario que X " es lógicamente equivalente a "Es posible que no X ".

"No es posible que X " es lógicamente equivalente a "Es necesario que no X ".

Precisamente qué axiomas y reglas deben añadirse al cálculo proposicional para crear un sistema útil de lógica modal es una cuestión de opinión filosófica, a menudo determinada por los teoremas que se desean demostrar; o, en informática, es una cuestión del tipo de sistema computacional o deductivo que se desea modelar. Muchas lógicas modales, conocidas colectivamente como lógicas modales normales , incluyen la siguiente regla y axioma:

N , Regla de Necesidad : Si p es un teorema / tautología (de cualquier sistema/modelo que invoque N ), entonces □ p es igualmente un teorema (es decir, $(\models p)\implies (\models \Box p)$ ).
K , Axioma de distribución : $□(p \to q) \to (□ p \to □ q).$

La lógica modal normal más débil , denominada " K " en honor a Saul Kripke , es simplemente el cálculo proposicional aumentado con □, la regla N y el axioma K. K es débil porque no determina si una proposición puede ser necesaria, sino solo contingentemente necesaria. Es decir, no es un teorema de K que si □ p es verdadera, entonces □□ p es verdadera, o sea, que las verdades necesarias son "necesariamente necesarias". Si tales perplejidades se consideran forzadas y artificiales, este defecto de K no es grave. En cualquier caso, diferentes respuestas a estas preguntas dan lugar a diferentes sistemas de lógica modal.

Agregar axiomas a K da lugar a otros sistemas modales bien conocidos. No se puede demostrar en K que si " p es necesario", entonces p es verdadero. El axioma T remedia este defecto:

T , Axioma de reflexividad : $□ p \to p$ (Si p es necesario, entonces p es el caso.)

T se cumple en la mayoría, pero no en todas las lógicas modales. Zeman (1973) describe algunas excepciones, como S1 ⁰ .

Otros axiomas elementales bien conocidos son:

4 : $\Box p\to \Box \Box p$
B : $p\to \Box \Diamond p$
D : $\Box p\to \Diamond p$
5 : $\Diamond p\to \Box \Diamond p$

Estos dan como resultado los sistemas (axiomas en negrita, sistemas en cursiva):

K := K + N
T := K + T
S4 := T + 4
S5 := T + 5
D := K + D .

K a S5 forman una jerarquía anidada de sistemas, que constituyen el núcleo de la lógica modal normal . Pero reglas o conjuntos de reglas específicas pueden ser apropiadas para sistemas específicos. Por ejemplo, en la lógica deóntica , $\Box p\to \Diamond p$ (Si debe ser que p , entonces está permitido que p ) parece apropiado, pero probablemente no deberíamos incluir eso. $p\to \Box \Diamond p$ De hecho, hacerlo es cometer la falacia naturalista (es decir, afirmar que lo que es natural también es bueno, diciendo que si p es el caso, p debería estar permitido).

El sistema S5, comúnmente empleado, simplemente hace necesarias todas las verdades modales. Por ejemplo, si p es posible, entonces es "necesario" que p sea posible. Asimismo, si p es necesario, entonces es necesario que p sea necesario. Se han formulado otros sistemas de lógica modal, en parte porque S5 no describe todos los tipos de modalidad de interés.

Teoría de la demostración estructural

Se han desarrollado cálculos de secuencias y sistemas de deducción natural para varias lógicas modales, pero ha resultado difícil combinar la generalidad con otras características propias de las buenas teorías de la demostración estructural , como la pureza (la teoría de la demostración no introduce nociones extralógicas como etiquetas) y la analiticidad (las reglas lógicas admiten una noción clara de demostración analítica ). Se han aplicado cálculos más complejos a la lógica modal para lograr la generalidad.

Métodos de decisión

Los tableaux analíticos proporcionan el método de decisión más popular para las lógicas modales. ^{[ 6 ]}

Lógicas modales en filosofía

Lógica alética

Las modalidades de necesidad y posibilidad se denominan modalidades aléticas . También se las conoce a veces como modalidades especiales , del latín species . La lógica modal se desarrolló inicialmente para abordar estos conceptos, y solo posteriormente se extendió a otros. Por esta razón, o quizás por su familiaridad y simplicidad, la necesidad y la posibilidad suelen tratarse de forma informal como objeto de estudio de la lógica modal. Además, resulta más sencillo comprender la relativización de la necesidad, por ejemplo, respecto de conceptos jurídicos, físicos, nomológicos , epistémicos , etc., que la relativización de otras nociones.

En la lógica modal clásica , se dice que una proposición es

posible si no es necesariamente falso (independientemente de si es realmente verdadero o realmente falso);
necesario si no es posiblemente falso (es decir, verdadero y necesariamente verdadero);
contingente si no es necesariamente falso y no necesariamente verdadero (es decir, posible pero no necesariamente verdadero);
imposible si no es posiblemente cierto (es decir, falso y necesariamente falso).

En la lógica modal clásica, por lo tanto, la noción de posibilidad o necesidad puede considerarse fundamental, y las demás nociones se definen en función de ella, al estilo de la dualidad de De Morgan . La lógica modal intuicionista trata la posibilidad y la necesidad como conceptos no perfectamente simétricos.

Por ejemplo, supongamos que mientras caminamos hacia la tienda de conveniencia pasamos por la casa de Friedrich y observamos que las luces están apagadas. Al regresar, observamos que están encendidas.

"Alguien o algo encendió las luces" es necesario .
"Friedrich encendió las luces", "El compañero de cuarto de Friedrich, Max, encendió las luces" y "Un ladrón llamado Adolf irrumpió en la casa de Friedrich y encendió las luces" son contingentes .
Todas las afirmaciones anteriores son posibles .
Es imposible que Sócrates (que lleva muerto más de dos mil años) haya encendido las luces.

(Por supuesto, esta analogía no aplica la modalidad alética de manera verdaderamente rigurosa; para ello, tendría que hacer afirmaciones axiomáticas como «los seres humanos no pueden resucitar», «Sócrates era un ser humano y no un vampiro inmortal» y «no tomamos drogas alucinógenas que nos hicieran creer erróneamente que las luces estaban encendidas», ad infinitum . La certeza absoluta de la verdad o la falsedad solo existe en el sentido de conceptos abstractos construidos lógicamente, como «es imposible dibujar un triángulo con cuatro lados» y «todos los solteros no están casados».)

Para quienes tengan dificultades con el concepto de que algo sea posible pero no verdadero, el significado de estos términos puede hacerse más comprensible pensando en múltiples "mundos posibles" (en el sentido de Leibniz ) o "universos alternativos"; algo "necesario" es verdadero en todos los mundos posibles, algo "posible" es verdadero en al menos un mundo posible.

Posibilidad física

Algo es física o nómicamente posible si lo permiten las leyes de la física . Por ejemplo, se cree que la teoría actual permite la existencia de un átomo con número atómico 126, ^[⁷^] incluso si no existen tales átomos. En contraste, si bien es lógicamente posible acelerar más allá de la velocidad de la luz , ^[⁸^] la ciencia moderna estipula que no es físicamente posible para partículas materiales o información. ^[⁹^]

Posibilidad metafísica

Los filósofos debaten si los objetos poseen propiedades independientes de las dictadas por las leyes científicas. Por ejemplo, podría ser metafísicamente necesario, como han pensado algunos defensores del fisicalismo , que todos los seres pensantes tengan cuerpos ^[¹⁰^] y puedan experimentar el paso del tiempo . Saul Kripke ha argumentado que toda persona tiene necesariamente los padres que tiene: alguien con padres diferentes no sería la misma persona. ^[¹¹^]

Se ha considerado que la posibilidad metafísica es más restrictiva que la mera posibilidad lógica ^{[ 12 ]} (es decir, hay menos cosas metafísicamente posibles que lógicamente posibles). Sin embargo, su relación exacta (si la hay) con la posibilidad lógica o con la posibilidad física es objeto de debate. Los filósofos también discrepan sobre si las verdades metafísicas son necesarias simplemente "por definición", si reflejan hechos profundos subyacentes sobre el mundo o algo completamente distinto.

Lógica epistémica

Las modalidades epistémicas (del griego episteme , conocimiento) se refieren a la certeza de las oraciones. El operador □ se traduce como "x tiene la certeza de que…", y el operador ◇ se traduce como "Por lo que x sabe, puede ser cierto que…". En el lenguaje cotidiano, tanto las modalidades metafísicas como las epistémicas suelen expresarse con palabras similares; los siguientes contrastes pueden resultar útiles:

Una persona, Jones, podría afirmar razonablemente ambas cosas : (1) «No, no es posible que Bigfoot exista; estoy completamente seguro de ello»; y (2) «Claro, es posible que existan los Bigfoots». Lo que Jones quiere decir con (1) es que, dada toda la información disponible, no queda duda alguna sobre la existencia de Bigfoot. Esta es una afirmación epistémica. Con (2) hace la afirmación metafísica de que es posible que Bigfoot exista, aunque él mismo no lo crea : no hay ninguna razón física o biológica por la que criaturas grandes, sin plumas, bípedas y con pelo grueso no puedan existir en los bosques de Norteamérica (independientemente de si existen o no). De manera similar, «es posible que la persona que lee esta frase mida catorce pies de altura y se llame Chad» es metafísicamente cierto (a esa persona no se le impediría hacerlo debido a su altura y nombre), pero no es éticamente cierto a menos que se ajuste a esa descripción, y no es epistémicamente cierto si se sabe que nunca han existido seres humanos de catorce pies de altura.

Desde otra perspectiva, Jones podría decir: (3) «Es posible que la conjetura de Goldbach sea verdadera; pero también es posible que sea falsa», y también (4) «si es verdadera, entonces es necesariamente verdadera, y no posiblemente falsa». Aquí Jones quiere decir que es epistémicamente posible que sea verdadera o falsa, por lo que él sabe (la conjetura de Goldbach no ha sido probada ni verdadera ni falsa), pero si existe una prueba (hasta ahora no descubierta), entonces demostraría que no es lógicamente posible que la conjetura de Goldbach sea falsa; no podría haber ningún conjunto de números que la violara. La posibilidad lógica es una forma de posibilidad alética ; (4) afirma si es posible (es decir, lógicamente hablando) que una verdad matemática haya sido falsa, pero (3) solo afirma si es posible, por lo que Jones sabe (es decir, hablando de certeza), que la afirmación matemática sea específicamente verdadera o falsa, y así, de nuevo, Jones no se contradice. Vale la pena observar que Jones no necesariamente tiene razón: es posible (epistémicamente) que la conjetura de Goldbach sea a la vez verdadera e indemostrable.

Las posibilidades epistémicas también influyen en el mundo real de una manera que las posibilidades metafísicas no lo hacen. Las posibilidades metafísicas influyen en cómo podría haber sido el mundo, pero las posibilidades epistémicas influyen en cómo podría ser (por lo que sabemos). Supongamos, por ejemplo, que quiero saber si debo llevar un paraguas antes de salir. Si me dices que "es posible que esté lloviendo afuera" —en el sentido de posibilidad epistémica—, eso influiría en si debo llevar el paraguas o no. Pero si simplemente me dices que "es posible que llueva afuera" —en el sentido de posibilidad metafísica— , esta pequeña aclaración modal no me aporta ninguna ventaja.

Algunas características de la lógica modal epistémica son objeto de debate. Por ejemplo, si x sabe que p , ¿sabe x que sabe que p ? Es decir, ¿debería □ P → □□ P ser un axioma en estos sistemas? Si bien la respuesta a esta pregunta no es clara, ^{[ 13 ]} existe al menos un axioma que generalmente se incluye en la lógica modal epistémica, porque es mínimamente cierto para todas las lógicas modales normales (véase la sección sobre sistemas axiomáticos ):

K , Axioma de distribución : $\Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)$ .

Se ha cuestionado si las modalidades epistémica y alética deben considerarse distintas entre sí. La crítica afirma que no existe una diferencia real entre «la verdad en el mundo» (alética) y «la verdad en la mente de un individuo» (epistémica). ^{[ 14 ]} Una investigación no ha encontrado un solo idioma en el que las modalidades alética y epistémica se distingan formalmente, por ejemplo, mediante un modo gramatical . ^{[ 15 ]}

Lógica temporal

La lógica temporal es un enfoque para la semántica de expresiones con tiempo verbal , es decir, expresiones con matices de tiempo. Algunas expresiones, como '2 + 2 = 4', son verdaderas en todo momento, mientras que expresiones con tiempo verbal como 'John está feliz' solo son verdaderas en ocasiones.

En lógica temporal, las construcciones de tiempo verbal se tratan en términos de modalidades, donde un método estándar para formalizar el discurso sobre el tiempo consiste en utilizar dos pares de operadores, uno para el pasado y otro para el futuro (P simplemente significará "actualmente ocurre que P"). Por ejemplo:

F P : A veces ocurrirá que P

G P : Siempre será así que P

P P : A veces ocurría que P

H P : Siempre ha sido así que P

Entonces, existen al menos tres lógicas modales que podemos desarrollar. Por ejemplo, podemos estipular que,

\Diamond P=P

es el caso en algún momento t

\Box P=P

es el caso en cada momento t

O podemos intercambiar estos operadores para tratar solo con el futuro (o el pasado). Por ejemplo,

\Diamond _{1}P={\mathsf {F}}P

\Box _{1}P={\mathsf {G}}P

o,

\Diamond _{2}P=P{\text{ and}}{/}{\text{or }}{\mathsf {F}}P

\Box _{2}P=P{\text{ and }}{\mathsf {G}}P

Los operadores F y G pueden parecer extraños al principio, pero crean sistemas modales normales . F P es lo mismo que ¬ G ¬ P. Podemos combinar los operadores anteriores para formar enunciados complejos. Por ejemplo, P P → □ P P dice (efectivamente), Todo lo que es pasado y verdadero es necesario .

Parece razonable afirmar que posiblemente llueva mañana, y posiblemente no; por otro lado, dado que no podemos cambiar el pasado, si es cierto que llovió ayer, no puede ser cierto que no haya llovido ayer. Parece que el pasado es «fijo», o necesario, de una manera que el futuro no lo es. A esto se le suele llamar necesidad accidental . Pero si el pasado es «fijo», y todo lo que está en el futuro eventualmente estará en el pasado, entonces parece plausible decir que los eventos futuros también son necesarios.

De manera similar, el problema de los contingentes futuros considera la semántica de las afirmaciones sobre el futuro: ¿es verdadera alguna de las proposiciones «Mañana habrá una batalla naval» o «Mañana no habrá una batalla naval»? Esta tesis llevó a Aristóteles a rechazar el principio de bivalencia para las afirmaciones sobre el futuro.

Los operadores binarios adicionales también son relevantes para las lógicas temporales (véase Lógica temporal lineal ).

En informática, se pueden utilizar versiones de la lógica temporal para modelar operaciones informáticas y demostrar teoremas sobre ellas. En una versión, ◇ P significa "en un momento futuro de la computación, es posible que el estado de la computadora sea tal que P sea verdadero"; □ P significa "en todos los momentos futuros de la computación, P será verdadero". En otra versión, ◇ P significa "en el siguiente estado inmediato de la computación, P podría ser verdadero"; □ P significa "en el siguiente estado inmediato de la computación, P será verdadero". Estas difieren en la elección de la relación de accesibilidad . ( P siempre significa " P es verdadero en el estado actual de la computadora"). Estos dos ejemplos involucran computaciones no deterministas o no completamente comprendidas; existen muchas otras lógicas modales especializadas en diferentes tipos de análisis de programas. Cada una conduce naturalmente a axiomas ligeramente diferentes.

Lógica deóntica

Asimismo, hablar de moralidad, o de obligación y normas en general, parece tener una estructura modal. La diferencia entre «Debes hacer esto» y «Puedes hacer esto» se asemeja mucho a la diferencia entre «Esto es necesario» y «Esto es posible». Estas lógicas se denominan deónticas , del griego que significa «deber».

Las lógicas deónticas suelen carecer del axioma T que se corresponde semánticamente con la reflexividad de la relación de accesibilidad en la semántica de Kripke : en los símbolos, $\Box \phi \to \phi$ Al interpretar □ como «es obligatorio que», T afirma informalmente que toda obligación es verdadera. Por ejemplo, si es obligatorio no matar (es decir, matar está moralmente prohibido), entonces T implica que la gente realmente no mata. El consecuente es obviamente falso.

En cambio, utilizando la semántica de Kripke , decimos que, si bien nuestro propio mundo no realiza todas las obligaciones, los mundos accesibles a él sí lo hacen (es decir, T se cumple en estos mundos). Estos mundos se denominan mundos idealizados . P es obligatoria con respecto a nuestro propio mundo si en todos los mundos idealizados accesibles a nuestro mundo, P se cumple. Aunque esta fue una de las primeras interpretaciones de la semántica formal, recientemente ha sido objeto de críticas. ^{[ 16 ]}

Otro principio que a menudo se acepta (al menos tradicionalmente) como un principio deóntico es D , $\Box \phi \to \Diamond \phi$ , lo cual corresponde a la serialidad (o extensibilidad o ilimitación) de la relación de accesibilidad. Es una encarnación de la idea kantiana de que "el deber implica el poder". (Claramente, el "poder" puede interpretarse en varios sentidos, por ejemplo, en un sentido moral o alético).

Problemas intuitivos con la lógica deóntica

Cuando intentamos formalizar la ética con la lógica modal estándar, nos encontramos con algunos problemas. Supongamos que tenemos una proposición K : has robado algo de dinero, y otra Q : has robado una pequeña cantidad de dinero. Ahora supongamos que queremos expresar la idea de que "si has robado algo de dinero, debería ser una pequeña cantidad de dinero". Hay dos candidatos probables,

(1)

(K\to \Box Q)

(2)

\Box (K\to Q)

Pero (1) y K juntos implican □ Q , que dice que debería ser el caso que hayas robado una pequeña cantidad de dinero. Esto seguramente no es correcto, porque no deberías haber robado nada en absoluto. Y (2) tampoco funciona: Si la representación correcta de "si has robado algo de dinero debería ser una pequeña cantidad" es (2), entonces la representación correcta de (3) "si has robado algo de dinero entonces debería ser una gran cantidad" es $\Box (K\to (K\land \lnot Q))$ . Ahora supongamos (como parece razonable) que no debes robar nada, o $\Box \lnot K$ Pero entonces podemos deducir. $\Box (K\to (K\land \lnot Q))$ a través de $\Box (\lnot K)\to \Box (K\to K\land \lnot K)$ y $\Box (K\land \lnot K\to (K\land \lnot Q))$ (la contrapositiva de $Q\to K$ ); por lo tanto, la oración (3) se deduce de nuestra hipótesis (por supuesto, la misma lógica se aplica a la oración (2)). Pero eso no puede ser correcto, y no lo es cuando usamos lenguaje natural. Decirle a alguien que no debe robar ciertamente no implica que deba robar grandes cantidades de dinero si comete robos. ^{[ 17 ]}

Lógica doxástica

La lógica doxástica se refiere a la lógica de la creencia (de un conjunto de agentes). El término doxástico deriva del griego antiguo doxa , que significa "creencia". Típicamente, una lógica doxástica utiliza □, a menudo escrito "B", para significar "Se cree que", o cuando se relaciona con un agente particular s, "Es creído por s que".

Extensiones

Las lógicas modales pueden extenderse a la forma difusa con cálculos en la clase de modelos de Kripke difusos. ^{[ 18 ]}

Las lógicas modales también pueden mejorarse mediante semántica de extensión de base para los sistemas proposicionales clásicos. En este caso, la validez de una fórmula puede demostrarse mediante una definición inductiva generada por la demostrabilidad en una "base" de reglas atómicas. ^{[ 19 ]}

Las lógicas modales intuicionistas se utilizan en diferentes áreas de aplicación y, a menudo, provienen de diversas fuentes. Estas áreas incluyen los fundamentos de las matemáticas, la informática y la filosofía. En estos enfoques, con frecuencia se añaden modalidades a la lógica intuicionista para crear nuevos conectores intuicionistas y simular los elementos monádicos de la lógica intuicionista de primer orden . ^{[ 20 ]}

Cuestiones metafísicas

En la interpretación más común de la lógica modal, se consideran " mundos lógicamente posibles ". Si una afirmación es verdadera en todos los mundos posibles , entonces es una verdad necesaria. Si una afirmación resulta ser verdadera en nuestro mundo, pero no en todos los mundos posibles, entonces es una verdad contingente. Una afirmación que es verdadera en algún mundo posible (no necesariamente el nuestro) se denomina verdad posible.

Bajo esta "expresión de mundos posibles", para sostener que la existencia de Bigfoot es posible pero no real, se dice: "Hay algún mundo posible en el que Bigfoot existe; pero en el mundo real, Bigfoot no existe". Sin embargo, no está claro a qué nos compromete esta afirmación. ¿Acaso estamos alegando la existencia de mundos posibles, tan reales como nuestro mundo real, solo que no reales? Saul Kripke cree que "mundo posible" es un término inapropiado, que simplemente es una forma útil de visualizar el concepto de posibilidad. ^{[ 21 ]} Para él, las frases "podrías haber sacado un 4 en lugar de un 6" y "hay un mundo posible donde sacaste un 4, pero sacaste un 6 en el mundo real" no son afirmaciones significativamente diferentes, y ninguna nos compromete a la existencia de un mundo posible. ^{[ 22 ]} David Lewis , por otro lado, se hizo famoso por asumir la responsabilidad, afirmando que todos los mundos meramente posibles son tan reales como el nuestro, y que lo que distingue a nuestro mundo como real es simplemente que es, en efecto, nuestro mundo: este mundo. ^{[ 23 ]} Esa posición es un principio fundamental del « realismo modal ». Algunos filósofos se niegan a respaldar cualquier versión del realismo modal, considerándola ontológicamente extravagante, y prefieren buscar diversas maneras de parafrasear estos compromisos ontológicos. Robert Adams sostiene que los «mundos posibles» se entienden mejor como «historias del mundo», o conjuntos consistentes de proposiciones. Así, es posible que hayas sacado un 4 si tal estado de cosas puede describirse de manera coherente. ^{[ 24 ]}

Los informáticos suelen elegir una interpretación muy específica de los operadores modales, especializada para el tipo particular de cálculo que se está analizando. En lugar de "todos los mundos", se puede usar "todos los posibles estados siguientes del ordenador" o "todos los posibles estados futuros del ordenador".

Otras aplicaciones

Las lógicas modales han comenzado a utilizarse en áreas de las humanidades como la literatura, la poesía, el arte y la historia. ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]} En la filosofía de la religión , las lógicas modales se utilizan comúnmente en argumentos a favor de la existencia de Dios . ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}

Historia

Las ideas básicas de la lógica modal se remontan a la antigüedad. Aristóteles desarrolló una silogística modal en el Libro I de sus Primeros Analíticos (cap. 8-22), que Teofrasto intentó mejorar. ^{[ 29 ]} También hay pasajes en la obra de Aristóteles, como el famoso argumento de la batalla naval en De Interpretatione §9, que ahora se consideran anticipaciones de la conexión de la lógica modal con la potencialidad y el tiempo. En el período helenístico, los lógicos Diodoro Cronos , Filón el Dialéctico y el estoico Crisipo desarrollaron cada uno un sistema modal que daba cuenta de la interdefinibilidad de la posibilidad y la necesidad, aceptaba el axioma T (véase § Sistemas axiomáticos ) y combinaba elementos de la lógica modal y la lógica temporal en intentos de resolver el notorio Argumento Maestro . ^{[ 30 ]} El primer sistema formal de lógica modal fue desarrollado por Avicena , quien finalmente desarrolló una teoría de la silogística " temporalmente modal". ^{[ 31 ]} La lógica modal como sujeto autoconsciente debe mucho a los escritos de los escolásticos , en particular a Guillermo de Ockham y Juan Duns Escoto , quienes razonaron informalmente de manera modal, principalmente para analizar enunciados sobre la esencia y el accidente .

En el siglo XIX, Hugh MacColl hizo contribuciones innovadoras a la lógica modal, pero no encontró mucho reconocimiento. ^{[ 32 ]} CI Lewis fundó la lógica modal moderna en una serie de artículos académicos que comenzaron en 1912 con "Implicación y el álgebra de la lógica". ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]} Lewis fue llevado a inventar la lógica modal, y específicamente la implicación estricta , sobre la base de que la lógica clásica concede paradojas de implicación material como el principio de que una falsedad implica cualquier proposición . ^{[ 35 ]} Este trabajo culminó en su libro de 1932 Lógica simbólica (con CH Langford ), ^{[ 36 ]} que introdujo los cinco sistemas S1 a S5 .

Tras Lewis, la lógica modal recibió poca atención durante varias décadas. Nicholas Rescher argumentó que esto se debió a que Bertrand Russell la rechazó. ^{[ 37 ]} Sin embargo, Jan Dejnozka rebatió esta postura, afirmando que en las obras de Russell se describe un sistema modal que él denomina "MDL", aunque Russell sí creía que el concepto de modalidad "provenía de confundir proposiciones con funciones proposicionales ", como escribió en El análisis de la materia . ^{[ 38 ]}

Ruth C. Barcan (más tarde Ruth Barcan Marcus ) desarrolló los primeros sistemas axiomáticos de lógica modal cuantificada: extensiones de primer y segundo orden de S2 , S4 y S5 de Lewis . ^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}^{[ 41 ]} Arthur Norman Prior le advirtió que se preparara bien para los debates sobre lógica modal cuantificada con Willard Van Orman Quine , debido al sesgo en contra de la lógica modal. ^{[ 42 ]}

La era contemporánea de la semántica modal comenzó en 1959, cuando Saul Kripke (entonces un estudiante de pregrado de la Universidad de Harvard de tan solo 18 años ) introdujo la semántica de Kripke, ahora estándar, para las lógicas modales. Esta se conoce comúnmente como semántica de "mundos posibles". Kripke y A.N. Prior habían mantenido una extensa correspondencia previamente. La semántica de Kripke es básicamente sencilla, pero las demostraciones se facilitan mediante el uso de tablas semánticas o tablas analíticas , como explica E.W. Beth .

AN Prior creó la lógica temporal moderna , estrechamente relacionada con la lógica modal, en 1957 al agregar los operadores modales [F] y [P] que significan "eventualmente" y "previamente". Vaughan Pratt introdujo la lógica dinámica en 1976. En 1977, Amir Pnueli propuso usar la lógica temporal para formalizar el comportamiento de programas concurrentes que operan continuamente . Las variantes de la lógica temporal incluyen la lógica dinámica proposicional (PDL), la lógica temporal lineal (proposicional) (LTL), la lógica de árbol de computación (CTL), la lógica de Hennessy-Milner y T.

La estructura matemática de la lógica modal, es decir, las álgebras booleanas aumentadas con operaciones unarias (a menudo llamadas álgebras modales ), comenzó a surgir con la demostración de JCC McKinsey en 1941 de que S2 y S4 son decidibles, ^{[ 43 ]} y alcanzó su máximo desarrollo en la obra de Alfred Tarski y su alumno Bjarni Jónsson (Jónsson y Tarski 1951-52). Este trabajo reveló que S4 y S5 son modelos de álgebra interior , una extensión propia del álgebra booleana diseñada originalmente para capturar las propiedades de los operadores de interior y cierre de la topología . Los textos sobre lógica modal generalmente se limitan a mencionar sus conexiones con el estudio de las álgebras booleanas y la topología . Para un análisis exhaustivo de la historia de la lógica modal formal y de las matemáticas asociadas, véase Robert Goldblatt (2006). ^{[ 44 ]}

Notas

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Referencias

Este artículo incluye material del Diccionario Gratuito en Línea de Informática , utilizado con permiso bajo la licencia GFDL .
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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

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[19] Timo Eckhardt y David Pym "Semántica de extensión de base para lógica modal" Logic Journal of the IGPL Volumen 33, Número 2, abril de 2025

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