Mecánica del continuo

Las fuerzas superficiales o de contacto , expresadas como fuerza por unidad de área, pueden actuar sobre la superficie límite del cuerpo, como resultado del contacto mecánico con otros cuerpos, o sobre superficies internas imaginarias que delimitan partes del cuerpo, como resultado de la interacción mecánica entre las partes del cuerpo a ambos lados de la superficie ( principio de tensión de Euler-Cauchy ). Cuando un cuerpo está sometido a fuerzas de contacto externas, se transmiten fuerzas de contacto internas de un punto a otro dentro del cuerpo para equilibrar su acción, según la tercera ley del movimiento de Newton, que conserva el momento lineal y el momento angular (para cuerpos continuos, estas leyes se denominan ecuaciones de movimiento de Euler ). Las fuerzas de contacto internas están relacionadas con la deformación del cuerpomediante ecuaciones constitutivas . Estas fuerzas pueden describirse matemáticamente según su relación con el movimiento del cuerpo, independientemente de su composición material.

Se supone que la distribución de las fuerzas de contacto internas en todo el volumen del cuerpo es continua. Por lo tanto, existe una densidad de fuerza de contacto o campo de tracción de Cauchy ^{[ 4 ].}${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$que representa esta distribución en una configuración particular del cuerpo en un momento dado.${\displaystyle t\,\!}$No es un campo vectorial porque no depende únicamente de la posición.${\displaystyle \mathbf {x} }$de un punto material particular, pero también en la orientación local del elemento de superficie definida por su vector normal.${\displaystyle \mathbf {n} }$. ^{[ 5 ]}

Cualquier área diferencial${\displaystyle dS\,\!}$con vector normal${\displaystyle \mathbf {n} }$de una determinada superficie interna${\displaystyle S\,\!}$, delimitando una parte del cuerpo, experimenta una fuerza de contacto.${\displaystyle d\mathbf {F} _ {C}\,\!}$que surge del contacto entre ambas porciones del cuerpo a cada lado de${\displaystyle S\,\!}$y es dado por

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

dónde${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$es la tracción superficial , ^{[ 6 ]} también llamada vector de tensión , ^{[ 7 ]} tracción , ^{[ 8 ]} o vector de tracción . ^{[ 9 ]} El vector de tensión es un vector indiferente al marco (véase el principio de tensión de Euler-Cauchy ).

La fuerza de contacto total sobre la superficie interna particular${\displaystyle S\,\!}$entonces se expresa como la suma ( integral de superficie ) de las fuerzas de contacto en todas las superficies diferenciales.${\displaystyle dS\,\!}$:

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

En mecánica de medios continuos, un cuerpo se considera libre de tensiones si las únicas fuerzas presentes son las interatómicas ( fuerzas iónicas , metálicas y de van der Waals ) necesarias para mantenerlo unido y conservar su forma en ausencia de cualquier influencia externa, incluida la atracción gravitatoria. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Las tensiones generadas durante la fabricación del cuerpo con una configuración específica también se excluyen al considerar las tensiones en un cuerpo. Por lo tanto, las tensiones consideradas en mecánica de medios continuos son solo aquellas producidas por la deformación del cuerpo; es decir, solo se consideran los cambios relativos en la tensión, no los valores absolutos de la misma.

Las fuerzas de cuerpo son fuerzas que se originan en fuentes externas al cuerpo ^{[ 11 ]} y que actúan sobre el volumen (o masa) del mismo. Decir que las fuerzas de cuerpo se deben a fuentes externas implica que la interacción entre las diferentes partes del cuerpo (fuerzas internas) se manifiesta únicamente a través de las fuerzas de contacto ^{[ 6 ]} . Estas fuerzas surgen de la presencia del cuerpo en campos de fuerza, por ejemplo, el campo gravitatorio ( fuerzas gravitatorias ) o el campo electromagnético ( fuerzas electromagnéticas ), o de las fuerzas de inercia cuando los cuerpos están en movimiento. Dado que se supone que la masa de un cuerpo continuo se distribuye de forma continua, cualquier fuerza que se origine en la masa también se distribuye de forma continua. Por lo tanto, las fuerzas de cuerpo se especifican mediante campos vectoriales que se suponen continuos en todo el volumen del cuerpo ^{[ 12 ]} , es decir, que actúan en cada punto del mismo. Las fuerzas de cuerpo se representan mediante una densidad de fuerza de cuerpo.${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$(por unidad de masa), que es un campo vectorial independiente del sistema de referencia.

En el caso de las fuerzas gravitatorias, la intensidad de la fuerza depende de, o es proporcional a, la densidad de masa.${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$del material, y se especifica en términos de fuerza por unidad de masa (${\displaystyle b_{i}\,\!}$) o por unidad de volumen (${\displaystyle p_{i}\,\!}$Estas dos especificaciones están relacionadas a través de la densidad del material mediante la ecuación${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$. De manera similar, la intensidad de las fuerzas electromagnéticas depende de la fuerza ( carga eléctrica ) del campo electromagnético.

La fuerza total aplicada a un cuerpo continuo se expresa como

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo generan momentos de fuerza ( torques ) correspondientes con respecto a un punto dado. Por lo tanto, el torque total aplicado es...${\displaystyle {\mathcal {M}}}$sobre el origen viene dado por

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

En ciertas situaciones, no consideradas habitualmente en el análisis del comportamiento mecánico de los materiales, resulta necesario incluir otros dos tipos de fuerzas: las tensiones de par ^{[ nota 1 ] [ nota 2 ]} (pares superficiales, ^{[ 11 ]} pares de contacto) ^{[ 12 ]} y los momentos volumétricos . Las tensiones de par son momentos por unidad de área aplicados sobre una superficie. Los momentos volumétricos, o pares volumétricos, son momentos por unidad de volumen o por unidad de masa aplicados al volumen del cuerpo. Ambos son importantes en el análisis de tensiones para un sólido dieléctrico polarizado bajo la acción de un campo eléctrico, materiales donde se considera la estructura molecular ( por ejemplo, huesos), sólidos bajo la acción de un campo magnético externo y la teoría de dislocaciones de metales. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 11 ]}

Los materiales que presentan pares de fuerzas y tensiones de par, además de momentos producidos exclusivamente por fuerzas, se denominan materiales polares . ^{[ 8 ] [ 12 ]} Los materiales no polares son aquellos que solo presentan momentos de fuerzas. En las ramas clásicas de la mecánica de medios continuos, el desarrollo de la teoría de tensiones se basa en materiales no polares.

Así, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) en el cuerpo se puede expresar como:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

En la descripción lagrangiana, la posición y las propiedades físicas de las partículas se describen en términos de las coordenadas materiales o de referencia y el tiempo. En este caso, la configuración de referencia es la configuración en${\displaystyle t=0}$Un observador situado en el marco de referencia observa los cambios en la posición y las propiedades físicas a medida que el cuerpo material se mueve en el espacio con el transcurso del tiempo. Los resultados obtenidos son independientes de la elección del tiempo inicial y la configuración de referencia.${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$Esta descripción se utiliza normalmente en mecánica de sólidos .

En la descripción lagrangiana, el movimiento de un cuerpo continuo se expresa mediante la función de mapeo.${\displaystyle \chi (\cdot )}$(Figura 2),

${\displaystyle \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

que es un mapeo de la configuración inicial${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$sobre la configuración actual${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$, estableciendo una correspondencia geométrica entre ellos, es decir, dando el vector de posición.${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$que una partícula${\displaystyle X}$, con un vector de posición${\displaystyle \mathbf {X} }$en la configuración no deformada o de referencia${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ocupará la configuración actual o deformada.${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$en ese momento${\displaystyle t}$Los componentes${\displaystyle x_{i}}$se denominan coordenadas espaciales.

Propiedades físicas y cinemáticas${\displaystyle P_{ij\ldots }}$, es decir, las propiedades termodinámicas y la velocidad del flujo, que describen o caracterizan las características del cuerpo material, se expresan como funciones continuas de la posición y el tiempo, es decir${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$.

El derivado material de cualquier propiedad${\displaystyle P_{ij\ldots }}$La derivada material de un continuo, que puede ser escalar, vectorial o tensorial, es la tasa de cambio temporal de dicha propiedad para un grupo específico de partículas del cuerpo continuo en movimiento. La derivada material también se conoce como derivada sustancial , derivada comóvil o derivada convectiva . Puede entenderse como la tasa a la que cambia la propiedad cuando la mide un observador que se desplaza con ese grupo de partículas.

En la descripción lagrangiana, el derivado material de${\displaystyle P_{ij\ldots }}$es simplemente la derivada parcial con respecto al tiempo y el vector de posición${\displaystyle \mathbf {X} }$se mantiene constante ya que no cambia con el tiempo. Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

La posición instantánea${\displaystyle \mathbf {x} }$es una propiedad de una partícula, y su derivada material es la velocidad de flujo instantánea.${\displaystyle \mathbf {v} }$de la partícula. Por lo tanto, el campo de velocidad del flujo del continuo viene dado por

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

De manera similar, el campo de aceleración viene dado por

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

La continuidad en la descripción lagrangiana se expresa mediante la continuidad espacial y temporal del mapeo desde la configuración de referencia a la configuración actual de los puntos materiales. Todas las magnitudes físicas que caracterizan el continuo se describen de esta manera. En este sentido, la función${\displaystyle \chi (\cdot )}$y${\displaystyle P_{ij\ldots }(\cdot )}$son unívocas y continuas, con derivadas continuas con respecto al espacio y al tiempo hasta cualquier orden que se requiera, normalmente hasta el segundo o tercer orden.

La continuidad permite la inversa de${\displaystyle \chi (\cdot )}$para rastrear hacia atrás dónde se encuentra actualmente la partícula en${\displaystyle \mathbf {x} }$se encontraba en la configuración inicial o de referencia${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$En este caso, la descripción del movimiento se realiza en términos de las coordenadas espaciales, en cuyo caso se denomina descripción espacial o descripción euleriana, es decir, la configuración actual se toma como configuración de referencia .

La descripción euleriana se centra en la configuración actual.${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$, prestando atención a lo que ocurre en un punto fijo del espacio a medida que transcurre el tiempo, en lugar de prestar atención a las partículas individuales mientras se mueven a través del espacio y el tiempo. Este enfoque se aplica convenientemente en el estudio del flujo de fluidos, donde la propiedad cinemática de mayor interés es la velocidad a la que se produce el cambio, en lugar de la forma del cuerpo de fluido en un instante de referencia. ^{[ 14 ]}

Matemáticamente, el movimiento de un continuo utilizando la descripción euleriana se expresa mediante la función de mapeo.

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

lo que proporciona un seguimiento de la partícula que ahora ocupa la posición${\displaystyle \mathbf {x} }$en la configuración actual${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$a su posición original${\displaystyle \mathbf {X} }$en la configuración inicial${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$.

Una condición necesaria y suficiente para que exista esta función inversa es que el determinante de la matriz jacobiana , a menudo denominada simplemente jacobiana, sea distinto de cero. Por lo tanto,

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0}$

En la descripción euleriana, las propiedades físicas${\displaystyle P_{ij\ldots }}$se expresan como

${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

donde la forma funcional de${\displaystyle P_{ij\ldots }}$en la descripción lagrangiana no es lo mismo que la forma de${\displaystyle p_{ij\ldots }}$en la descripción euleriana.

El derivado material de${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$, utilizando la regla de la cadena, es entonces

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

El primer término del lado derecho de esta ecuación proporciona la tasa de cambio local de la propiedad.${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$ocurriendo en la posición${\displaystyle \mathbf {x} }$. El segundo término del lado derecho es la tasa de cambio convectivo y expresa la contribución de la partícula que cambia de posición en el espacio (movimiento).

La continuidad en la descripción euleriana se expresa mediante la continuidad espacial y temporal y la diferenciabilidad continua del campo de velocidad del flujo. Todas las magnitudes físicas se definen de esta manera en cada instante de tiempo, en la configuración actual, como una función de la posición vectorial.${\displaystyle \mathbf {x} }$.

El vector que une las posiciones de una partícula${\displaystyle P}$En la configuración no deformada y en la configuración deformada se denomina vector de desplazamiento${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$, en la descripción lagrangiana, o${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$, en la descripción euleriana.

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento para todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. Es conveniente realizar el análisis de la deformación o el movimiento de un cuerpo continuo en términos del campo de desplazamiento. En general, el campo de desplazamiento se expresa en términos de las coordenadas del material como

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

o en términos de las coordenadas espaciales como

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

dónde${\displaystyle \alpha _{Ji}}$son los cosenos directores entre los sistemas de coordenadas materiales y espaciales con vectores unitarios${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$y${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$, respectivamente. Por lo tanto

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

y la relación entre${\displaystyle u_{i}}$y${\displaystyle U_{J}}$entonces se da por

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

Sabiendo que

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$

entonces

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones no deformadas y deformadas, lo que resulta en${\displaystyle \mathbf {b} =0}$y los cosenos directores se convierten en deltas de Kronecker , es decir

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

o en términos de las coordenadas espaciales como

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

Dejar${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ser una cantidad física que fluye a través del cuerpo.${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$ser fuentes en la superficie del cuerpo y dejar${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$ser fuentes dentro del cuerpo. Deje${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$sea ​​la unidad exterior normal a la superficie${\displaystyle \partial \Omega }$. Dejar${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$Sea la velocidad de flujo de las partículas físicas que transportan la magnitud física que fluye. Además, sea la velocidad a la que la superficie límite${\displaystyle \partial \Omega }$se está moviendo ser${\displaystyle u_{n}}$(en la dirección${\displaystyle \mathbf {n} }$).

Entonces, las leyes de equilibrio pueden expresarse en la forma general.

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

Las funciones${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$,${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$, y${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$Puede ser escalar, vectorial o tensorial, dependiendo de la magnitud física que aborde la ecuación de equilibrio. Si existen límites internos en el cuerpo, también es necesario especificar discontinuidades de salto en las leyes de equilibrio.

Si tomamos el punto de vista euleriano , se puede demostrar que las leyes de balance de masa, momento y energía para un sólido se pueden escribir como (suponiendo que el término fuente es cero para las ecuaciones de masa y momento angular)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

En las ecuaciones anteriores${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$es la densidad de masa (corriente), ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$es la derivada temporal material de${\displaystyle \rho }$,${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$es la velocidad de la partícula,${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$es la derivada temporal material de${\displaystyle \mathbf {v} }$,${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$es el tensor de tensiones de Cauchy ,${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$es la densidad de fuerza del cuerpo,${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$es la energía interna por unidad de masa,${\displaystyle {\dot {e}}}$es la derivada temporal material de${\displaystyle e}$,${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$es el vector de flujo de calor, y${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$es una fuente de energía por unidad de masa. Los operadores utilizados se definen a continuación .

Con respecto a la configuración de referencia (el punto de vista lagrangiano), las leyes de balance se pueden escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

En lo anterior,${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$es el primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff y ${\displaystyle \rho _{0}}$es la densidad de masa en la configuración de referencia. El primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff está relacionado con el tensor de tensiones de Cauchy mediante

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

Alternativamente, podemos definir el tensor de tensiones nominal.${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$que es la transpuesta del primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff tal que

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

Entonces las leyes del equilibrio se convierten en

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

La desigualdad de Clausius-Duhem puede utilizarse para expresar la segunda ley de la termodinámica en materiales elastoplásticos. Esta desigualdad establece la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando interviene la disipación de energía.

Al igual que en las leyes de conservación de la sección anterior, asumimos que existe un flujo de una magnitud, una fuente de dicha magnitud y una densidad interna de la misma por unidad de masa. La magnitud de interés en este caso es la entropía. Por lo tanto, asumimos que existe un flujo de entropía, una fuente de entropía y una densidad interna de masa.${\displaystyle \rho }$y una entropía específica interna (es decir, entropía por unidad de masa)${\displaystyle \eta }$en la región de interés.

Dejar${\displaystyle \Omega }$sea ​​tal región y deje que${\displaystyle \partial \Omega }$sea ​​su límite. Entonces, la segunda ley de la termodinámica establece que la tasa de aumento de ${\displaystyle \eta }$en esta región es mayor o igual que la suma de lo suministrado a${\displaystyle \Omega }$(como un flujo o desde fuentes internas) y el cambio de la densidad de entropía interna${\displaystyle \rho \eta }$debido al flujo de material que entra y sale de la región.

Dejar${\displaystyle \partial \Omega }$moverse con una velocidad de flujo${\displaystyle u_{n}}$y dejar entrar partículas${\displaystyle \Omega }$tienen velocidades${\displaystyle \mathbf {v} }$. Dejar${\displaystyle \mathbf {n} }$sea ​​la unidad normal hacia afuera a la superficie${\displaystyle \partial \Omega }$. Dejar${\displaystyle \rho }$sea ​​la densidad de materia en la región,${\displaystyle {\bar {q}}}$sea ​​el flujo de entropía en la superficie, y${\displaystyle r}$Sea la fuente de entropía por unidad de masa. Entonces, la desigualdad de entropía se puede escribir como

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

El flujo de entropía escalar se puede relacionar con el flujo vectorial en la superficie mediante la relación${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$Bajo el supuesto de condiciones isotérmicas incrementales, tenemos

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {q} }$es el vector de flujo de calor,${\displaystyle s}$es una fuente de energía por unidad de masa, y${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta de un punto material en${\displaystyle \mathbf {x} }$en ese momento${\displaystyle t}$.

A continuación, tenemos la desigualdad de Clausius-Duhem en forma integral:

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

Podemos demostrar que la desigualdad de entropía puede escribirse en forma diferencial como

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

En términos de la tensión de Cauchy y la energía interna, la desigualdad de Clausius-Duhem se puede escribir como

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

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