Hipótesis del continuo

En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos , la hipótesis del continuo (abreviada CH ) es una hipótesis sobre los posibles tamaños de conjuntos infinitos . Establece lo siguiente:

No existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y la de los números reales .

El nombre de la hipótesis proviene del término continuo para los números reales. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), esto es equivalente a la siguiente ecuación en números aleph :${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$, o incluso más corto con números de Beth :${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$.

La hipótesis del continuo fue propuesta por Georg Cantor en 1878. ^{[ 1 ]} Se convirtió en uno de los problemas más estudiados en la teoría de conjuntos, y establecer su veracidad o falsedad fue el primero de los 23 problemas de Hilbert  presentados en 1900. La respuesta a este problema es independiente de ZFC. Esto significa que los axiomas de ZFC no pueden probar ni refutar la hipótesis del continuo, lo que implica que tanto la hipótesis del continuo como su negación pueden añadirse como axioma a la teoría de conjuntos ZFC, siendo la teoría resultante consistente si y solo si ZFC es consistente. Esta independencia fue demostrada en 1963 por Paul Cohen , complementando el trabajo previo de Kurt Gödel de 1940. ^{[ 2 ]}

La hipótesis del continuo generalizado establece que${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$para cada ordinal${\displaystyle \alpha }$.

La hipótesis del continuo fue introducida por primera vez por Georg Cantor en su artículo de 1878, "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre", en una forma que ahora se conoce como la hipótesis débil del continuo , equivalente a la formulación estándar bajo el entonces incipiente axioma de elección . Cantor presentó inicialmente la hipótesis débil del continuo como un teorema, pero no proporcionó una demostración y posteriormente llegó a dudar de ella. El 25 de octubre de 1882, Cantor escribió a su corresponsal Gösta Mittag-Leffler , formulando la hipótesis del continuo (HC) en su forma moderna y expresando su convicción de poder demostrarla. Para la década de 1890, muchos matemáticos en Alemania y Francia ya conocían el problema. Cantor intentó durante muchos años demostrar la HC, pero nunca lo logró. ^{[ 3 ]}

Se convirtió en la primera de la lista de cuestiones abiertas importantes de David Hilbert , presentada en el Congreso Internacional de Matemáticos (CIM) en París en 1900. En aquel entonces, la teoría axiomática de conjuntos aún no se había formulado.

Se presentaron muchas pruebas y refutaciones erróneas de la hipótesis del continuo (CH). Ya en 1884, Paul Tannery afirmó haber probado la CH, pero la prueba era errónea. En 1890, Beppo Levi afirmó tener una prueba asumiendo que todo subconjunto de los números reales posee la propiedad de Baire , pero nunca se publicó ninguna prueba. ^{[ 3 ]} En el Congreso Internacional de Matemáticas (ICM) de Heidelberg de 1904 , Gyula Kőnig anunció que había refutado la CH, lo que atrajo una gran atención que incluso llegó al Gran Duque de Baden Federico I a través de Felix Klein , pero al día siguiente se encontró un fallo en la prueba. ^{[ 4 ]} Felix Bernstein también publicó un intento de prueba de la CH en 1904, pero era incorrecto y recibió poca respuesta. En 1926, Hilbert afirmó haber resuelto la hipótesis del continuo y dio un esbozo de prueba, pero esto también era incorrecto, aunque influyó en ideas posteriores en la teoría de la recursión . ^{[ 5 ]}

En 1906, Kőnig revisó parte de su intento de refutación CH y estableció el teorema de Kőnig , que, utilizando el concepto de cofinalidad introducido en 1908 por Felix Hausdorff , muestra que el resultado es que${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}}$no puede ser igual${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$para${\displaystyle \alpha }$con cofinalidad${\displaystyle \omega }$. Por ejemplo,${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }}$Hausdorff formuló la cuestión de si${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$para todos los ordinales${\displaystyle \alpha }$, que Alfred Tarski denominaría hipótesis del continuo generalizado en 1925. En 1923, Thoralf Skolem conjeturó que CH no podía resolverse mediante los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo . ^{[ 6 ]}

Kurt Gödel demostró en 1940 que la negación de la hipótesis del continuo, es decir, la existencia de un conjunto con cardinalidad intermedia, no podía probarse en la teoría de conjuntos estándar. ^{[ 2 ]} La segunda parte de la independencia de la hipótesis del continuo —es decir, la imposibilidad de demostrar la no existencia de un conjunto de tamaño intermedio— fue demostrada en 1963 por Paul Cohen . ^{[ 7 ]}

Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad o número cardinal si existe una biyección (una correspondencia uno a uno) entre ellos. Intuitivamente, para dos conjuntos${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$tener la misma cardinalidad significa que es posible "emparejar" elementos de${\displaystyle S}$con elementos de${\displaystyle T}$de tal manera que cada elemento de${\displaystyle S}$se empareja con exactamente un elemento de${\displaystyle T}$y viceversa. Por lo tanto, el conjunto${\displaystyle \{{\text{plátano}},{\text{manzana}},{\text{pera}}\}}$tiene la misma cardinalidad que${\displaystyle \{{\text{amarillo}},{\text{rojo}},{\text{verde}}\}}$a pesar de que los conjuntos en sí contienen elementos diferentes.

Con conjuntos infinitos como el conjunto de los números enteros o racionales , la existencia de una biyección entre dos conjuntos se vuelve más difícil de demostrar. Los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$Aparentemente, forman un contraejemplo a la hipótesis del continuo: los enteros forman un subconjunto propio de los racionales, que a su vez forman un subconjunto propio de los reales, por lo que intuitivamente, hay más números racionales que enteros y más números reales que racionales. Sin embargo, este análisis intuitivo es erróneo, ya que no tiene en cuenta el hecho de que los tres conjuntos son infinitos . Quizás más importante aún, de hecho confunde el concepto de "tamaño" del conjunto.${\displaystyle \mathbb {Q} }$con el orden o la estructura topológica que se le impone. De hecho, resulta que los números racionales pueden establecerse en correspondencia biunívoca con los enteros, y por lo tanto, el conjunto de los números racionales tiene el mismo tamaño ( cardinalidad ) que el conjunto de los enteros: ambos son conjuntos numerables . ^{[ 8 ]}

Cantor presentó dos demostraciones de que la cardinalidad del conjunto de los enteros es estrictamente menor que la del conjunto de los números reales (véase la primera demostración de incontablesidad de Cantor y su argumento diagonal ). Sin embargo, sus demostraciones no indican hasta qué punto la cardinalidad de los enteros es menor que la de los números reales. Cantor propuso la hipótesis del continuo como una posible solución a esta cuestión.

En términos sencillos, la Hipótesis del Continuo (HC) establece que el conjunto de los números reales tiene una cardinalidad mínima posible que es mayor que la cardinalidad del conjunto de los enteros. Es decir, todo conjunto infinito${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$Los números reales se pueden mapear uno a uno en los enteros o los números reales se pueden mapear uno a uno en${\displaystyle S}$. Dado que los números reales son equinumerosos con el conjunto potencia de los enteros, es decir${\displaystyle |\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}}$, CH puede reformularse de la siguiente manera:

Suponiendo el axioma de elección , existe un único número cardinal más pequeño.${\displaystyle \aleph _{1}}$más que${\displaystyle \aleph _{0}}$y la hipótesis del continuo es a su vez equivalente a la igualdad${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

La independencia de la hipótesis del continuo (HC) con respecto a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) se deriva del trabajo conjunto de Kurt Gödel y Paul Cohen .

Gödel ^{[ 11 ] [ 2 ]} demostró que CH no puede refutarse a partir de ZF, incluso si se adopta el axioma de elección (AC), es decir, a partir de ZFC. La demostración de Gödel muestra que tanto CH como AC se cumplen en el universo construible.${\displaystyle L}$Un modelo interno de la teoría de conjuntos ZF, que asume únicamente los axiomas de ZF. La existencia de un modelo interno de ZF en el que se cumplen axiomas adicionales demuestra que estos axiomas adicionales son (relativamente) consistentes con ZF, siempre que ZF sea consistente. Esta última condición no puede probarse en ZF, debido a los teoremas de incompletitud de Gödel , pero se considera ampliamente cierta y puede probarse en teorías de conjuntos más fuertes.

Cohen ^{[ 7 ] [ 12 ]} demostró que CH no puede probarse a partir de los axiomas ZFC, completando así la prueba de independencia general. Para demostrar su resultado, Cohen desarrolló el método de forzamiento , que se ha convertido en una herramienta estándar en la teoría de conjuntos. Esencialmente, este método parte de un modelo de ZF en el que se cumple CH y construye otro modelo que contiene más conjuntos que el original de una manera que CH no se cumple en el nuevo modelo. Cohen recibió la Medalla Fields en 1966 por su demostración.

La prueba de independencia de Cohen muestra que CH es independiente de ZFC. Investigaciones posteriores han demostrado que CH es independiente de todos los axiomas cardinales grandes conocidos en el contexto de ZFC. ^{[ 13 ]} Además, se ha demostrado que la cardinalidad del continuo${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _ {0}}}$puede ser cualquier cardinal consistente con el teorema de Kőnig . Un resultado de Solovay, demostrado poco después del resultado de Cohen sobre la independencia de la hipótesis del continuo, muestra que en cualquier modelo de ZFC, si${\displaystyle \kappa }$es un cardinal de cofinalidad incontable , entonces hay una extensión forzante en la que${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\kappa }$Sin embargo, según el teorema de Kőnig, no es consistente suponer${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}}$es${\displaystyle \aleph _{\omega }}$o${\displaystyle \aleph _ {\omega _ {1}+\omega }}$o cualquier cardinal con cofinalidad${\displaystyle \omega }$.

La hipótesis del continuo está estrechamente relacionada con numerosos enunciados en análisis , topología de conjuntos de puntos y teoría de la medida . Como resultado de su independencia, se ha demostrado posteriormente que muchas conjeturas importantes en esos campos también son independientes.

La independencia respecto de ZFC implica que probar o refutar la hipótesis del continuo dentro de ZFC es imposible. Sin embargo, los resultados negativos de Gödel y Cohen no se aceptan universalmente como una prueba concluyente de la falta de interés en la hipótesis del continuo. Esta hipótesis sigue siendo un tema activo de investigación: véanse Woodin ^{[ 14 ] [ 15 ]} y Koellner ^{[ 16 ]} para una visión general del estado actual de la investigación.

La hipótesis del continuo y el axioma de elección fueron de los primeros enunciados genuinamente matemáticos que demostraron ser independientes de la teoría de conjuntos ZF. Si bien la existencia de algunos enunciados independientes de ZFC ya se conocía desde hacía más de dos décadas: por ejemplo, asumiendo buenas propiedades de solidez y la consistencia de ZFC, los teoremas de incompletitud de Gödel , publicados en 1931, establecen que existe un enunciado formal Con(ZFC) (uno para cada esquema de numeración de Gödel apropiado ) que expresa la consistencia de ZFC y que también es independiente de ella. Este último resultado de independencia se cumple, en efecto, para muchas teorías.

Gödel creía que CH era falso y que su prueba de que CH era consistente con ZFC solo demostraba que los axiomas de Zermelo-Fraenkel no caracterizaban adecuadamente el universo de conjuntos. Gödel era platónico y, por lo tanto, no tenía problemas en afirmar la verdad o falsedad de las afirmaciones independientemente de su demostrabilidad. Cohen, aunque formalista , ^{[ 17 ]} también tendía a rechazar CH.

Históricamente, los matemáticos que favorecían un universo de conjuntos "rico" y "grande" se oponían a CH, mientras que aquellos que favorecían un universo "ordenado" y "controlable" lo favorecían. Se presentaron argumentos paralelos a favor y en contra del axioma de constructibilidad , que implica CH. Más recientemente, Matthew Foreman ha señalado que el maximalismo ontológico puede utilizarse para argumentar a favor de CH, ya que entre los modelos que tienen los mismos números reales, los modelos con "más" conjuntos de números reales tienen mayor probabilidad de satisfacer CH. ^{[ 18 ]}

Otro punto de vista sostiene que la concepción de conjunto no es lo suficientemente específica para determinar si la hipótesis de incompletitud (CH) es verdadera o falsa. Este punto de vista fue planteado ya en 1923 por Skolem , incluso antes del primer teorema de incompletitud de Gödel. Skolem argumentó basándose en lo que hoy se conoce como la paradoja de Skolem , y posteriormente fue respaldado por la independencia de la CH respecto de los axiomas de ZFC, ya que estos axiomas son suficientes para establecer las propiedades elementales de los conjuntos y las cardinalidades. Para refutar este punto de vista, bastaría con demostrar nuevos axiomas que estén respaldados por la intuición y que resuelvan la CH en una u otra dirección. Si bien el axioma de constructibilidad resuelve la CH, generalmente no se considera intuitivamente verdadero, del mismo modo que la CH no se considera generalmente falsa. ^{[ 19 ]}

Se han propuesto al menos otros dos axiomas que tienen implicaciones para la hipótesis del continuo, aunque estos axiomas no han encontrado una amplia aceptación en la comunidad matemática. En 1986, Chris Freiling ^{[ 20 ]} presentó un argumento contra la hipótesis del continuo demostrando que su negación es equivalente al axioma de simetría de Freiling , una afirmación derivada de intuiciones particulares sobre probabilidades . Freiling cree que este axioma es "intuitivamente claro" ^{[ 20 ]} , pero otros han discrepado. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Un argumento difícil contra CH desarrollado por W. Hugh Woodin ha atraído considerable atención desde el año 2000. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Foreman no rechaza el argumento de Woodin de plano, pero insta a la cautela. ^{[ 23 ]} Woodin propuso una nueva hipótesis que denominó el "(*)-axioma" o "axioma estrella". El axioma estrella implicaría que${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}}$es${\displaystyle \aleph _{2}}$, refutando así CH. El axioma de Star fue reforzado por una prueba independiente de mayo de 2021 que muestra que el axioma de Star puede derivarse de una variación del máximo de Martin . Sin embargo, Woodin declaró en la década de 2010 que ahora cree que CH es verdadero, basándose en su creencia en su nueva conjetura de "L último". ^{[ 24 ] [ 25 ]}

Solomon Feferman argumentó que CH no es un problema matemático definido. ^{[ 26 ]} Propuso una teoría de la "definición" utilizando un subsistema semiintuicionista de ZF que acepta la lógica clásica para cuantificadores acotados pero utiliza la lógica intuicionista para los no acotados, y sugirió que una proposición${\displaystyle \phi }$es matemáticamente "definitiva" si la teoría semiintuicionista puede demostrar${\displaystyle (\phi \lor \neg \phi )}$Conjeturó que CH no es definido según esta noción y propuso que, por lo tanto, se debería considerar que CH no tiene un valor de verdad. Peter Koellner escribió un comentario crítico sobre el artículo de Feferman. ^{[ 27 ]}

Joel David Hamkins propone un enfoque multiverso para la teoría de conjuntos y argumenta que «la hipótesis del continuo se establece en la visión multiverso gracias a nuestro amplio conocimiento sobre cómo se comporta en el multiverso y, como resultado, ya no puede resolverse de la manera que antes se esperaba». ^{[ 28 ]} En una línea similar, Saharon Shelah escribió que «no está de acuerdo con la visión puramente platónica de que los problemas interesantes en la teoría de conjuntos se pueden resolver, que solo tenemos que descubrir el axioma adicional. Mi imagen mental es que tenemos muchas teorías de conjuntos posibles, todas conformes a ZFC». ^{[ 29 ]}

La hipótesis del continuo generalizado (HCG) establece que si la cardinalidad de un conjunto infinito se encuentra entre la de un conjunto infinito S y la del conjunto potencia${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$de S , entonces tiene la misma cardinalidad que S o${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$. Es decir, para cualquier cardinal infinito${\displaystyle \lambda }$no hay cardinal${\displaystyle \kappa }$de tal manera que${\displaystyle \lambda <\kappa <2^{\lambda }}$. GCH es equivalente a:

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$para cada ordinal${\displaystyle \alpha }$^{[ 9 ]}

(ocasionalmente llamada hipótesis aleph de Cantor ).

Los números de Beth proporcionan una notación alternativa para esta condición:${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$para cada ordinal${\displaystyle \alpha }$. La hipótesis del continuo es el caso especial para el ordinal${\displaystyle \alpha =1}$. GCH fue sugerido por primera vez por Philip Jourdain . ^{[ 30 ]} Para la historia temprana de GCH, véase Moore. ^{[ 31 ]}

Al igual que CH, GCH también es independiente de ZFC, pero Sierpiński demostró que ZF + GCH implica el axioma de elección (AC) (y por lo tanto la negación del axioma de determinación , AD), por lo que elección y GCH no son independientes en ZF; no hay modelos de ZF en los que GCH se cumpla y AC falle. Para demostrar esto, Sierpiński mostró que GCH implica que toda cardinalidad n es menor que algún número aleph , y por lo tanto puede ordenarse. Esto se hace demostrando que n es menor que${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}}$que es menor que su propio número de Hartogs ; esto utiliza la igualdad.${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}\,=\,2\cdot \,2^{\aleph _{0}+n}}$; para la prueba completa, véase Gillman. ^{[ 32 ]}

Kurt Gödel demostró que GCH es consecuencia de ZF + V=L (el axioma de que todo conjunto es construible en relación con los ordinales) y, por lo tanto, es consistente con ZFC. Como GCH implica CH, el modelo de Cohen en el que CH falla es un modelo en el que GCH falla, y por lo tanto, GCH no es demostrable a partir de ZFC. W.  B.  Easton utilizó el método de forzamiento desarrollado por Cohen para demostrar el teorema de Easton , que muestra que es consistente con ZFC para cardinales arbitrariamente grandes.${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$no lograr satisfacer${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$. Mucho más tarde, Foreman y Woodin demostraron que (suponiendo la consistencia de los cardinales muy grandes) es consistente que${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$se cumple para cada cardinal infinito${\displaystyle \kappa }$. Más tarde Woodin amplió esto al demostrar la consistencia de${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{++}}$por cada${\displaystyle \kappa }$. Carmi Merimovich ^{[ 33 ]} demostró que, para cada n  ≥  1 , es consistente con ZFC que para cada cardinal infinito κ , 2 ^κ es el n th sucesor de κ (suponiendo la consistencia de algunos axiomas de cardinal grande). Por otro lado, László Patai ^{[ 34 ]} demostró que si γ es un ordinal y para cada cardinal infinito κ , 2 ^κ es el γ th sucesor de κ , entonces γ es finito.

Para cualesquiera conjuntos infinitos A y B , si existe una inyección de A a B, entonces existe una inyección de subconjuntos de A a subconjuntos de B. Por lo tanto, para cualesquiera cardinales infinitos A y B ,${\displaystyle A<B\to 2^{A}\leq 2^{B}}$. Si A y B son finitos, la desigualdad más fuerte${\displaystyle A<B\to 2^{A}<2^{B}}$se cumple. GCH implica que esta desigualdad estricta y más fuerte se cumple tanto para cardinales infinitos como para cardinales finitos.

• Infinito absoluto
• Número de Beth
• Cardinalidad
• Lógica Ω
• Segunda hipótesis del continuo
• El problema de Wetzel

• Maddy, Penelope (junio de 1988). "Creer en los axiomas, [parte  I]". Journal of Symbolic Logic . 53 (2). Asociación para la Lógica Simbólica: 481– 511. doi : 10.2307/2274520 . JSTOR 2274520 . 

• Este artículo incorpora material de la hipótesis del continuo generalizado en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Atribución/Compartir Igual . Archivado el 8 de febrero de 2017 en Wayback Machine.

• Cohen, Paul Joseph (2008) [1966]. Teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Dales, HG; Woodin, WH (1987). Una introducción a la independencia para analistas . Cambridge.
• Enderton, Herbert (1977). Elementos de la teoría de conjuntos . Academic Press.
• Gödel, K.: ¿Qué es el problema del continuo de Cantor?, reimpreso en la colección de Benacerraf y Putnam, Philosophy of Mathematics , 2.ª ed., Cambridge University Press, 1983. Un resumen de los argumentos de Gödel contra CH.
• Martin, D. (1976). «El primer problema de Hilbert: la hipótesis del continuo», en Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert, Actas del Simposio XXVIII de Matemáticas Puras, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, pp.  81-92. ISBN 0-8218-1428-1
• McGough, Nancy. "La hipótesis del continuo" .
• Wolchover, Natalie (15 de julio de 2021). "¿Cuántos números existen? La prueba del infinito acerca las matemáticas a una respuesta" .

Citas relacionadas con la hipótesis del continuo en Wikiquote

• Szudzik, Matthew y Weisstein, Eric W. "Hipótesis del continuo" . MundoMatemático .