Convergencia de variables aleatorias

En teoría de la probabilidad , existen diversas nociones de convergencia de secuencias de variables aleatorias , como la convergencia en probabilidad , la convergencia en distribución y la convergencia casi segura . Estas nociones capturan distintas propiedades de la secuencia, siendo algunas más fuertes que otras. Por ejemplo, la convergencia en distribución nos informa sobre la distribución límite de una secuencia de variables aleatorias. Esta noción es menos precisa que la convergencia en probabilidad, que nos informa sobre el valor que tomará una variable aleatoria, en lugar de solo sobre su distribución.

Este concepto es importante en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos . En matemáticas más generales, estos mismos conceptos se conocen como convergencia estocástica y formalizan la idea de que ciertas propiedades de una secuencia de eventos esencialmente aleatorios o impredecibles pueden, en ocasiones, estabilizarse en un comportamiento prácticamente invariable al estudiar elementos suficientemente avanzados en la secuencia. Las diferentes nociones posibles de convergencia se relacionan con la forma en que se puede caracterizar dicho comportamiento: dos comportamientos fácilmente comprensibles son que la secuencia finalmente alcance un valor constante y que los valores de la secuencia continúen cambiando, pero puedan describirse mediante una distribución de probabilidad invariable.

Fondo

La "convergencia estocástica" formaliza la idea de que una secuencia de eventos esencialmente aleatorios o impredecibles a veces puede esperarse que se estabilice en un patrón. El patrón puede ser, por ejemplo,

Convergencia en el sentido clásico hacia un valor fijo, que tal vez provenga de un evento aleatorio.
Una creciente similitud de los resultados con lo que produciría una función puramente determinista.
Una creciente preferencia por un resultado determinado
Una creciente "aversión" a alejarse demasiado de un resultado determinado.
Que la distribución de probabilidad que describe el siguiente resultado puede volverse cada vez más similar a una determinada distribución.

Algunos patrones menos obvios y más teóricos podrían ser

Que la serie formada al calcular el valor esperado de la distancia del resultado a un valor particular puede converger a 0.
Que la varianza de la variable aleatoria que describe el siguiente evento se hace cada vez más pequeña.

Estos otros tipos de patrones que pueden surgir se reflejan en los diferentes tipos de convergencia estocástica que se han estudiado.

Si bien la discusión anterior se ha relacionado con la convergencia de una sola serie a un valor límite, la noción de convergencia de dos series entre sí también es importante, pero esto se maneja fácilmente estudiando la sucesión definida como la diferencia o la razón de las dos series.

Por ejemplo, si el promedio de n variables aleatorias independientes $Y_{i},\ i=1,\dots ,n$ , todos con la misma media y varianza finitas , viene dado por

X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\,,

entonces como $n$ tiende al infinito, $X_{n}$ converge en probabilidad (ver más abajo) a la media común , $\mu$ , de las variables aleatorias $Y_{i}$ Este resultado se conoce como la ley débil de los grandes números . Otras formas de convergencia son importantes en otros teoremas útiles, incluido el teorema del límite central .

A lo largo de lo que sigue, asumimos que $(X_{n})$ es una secuencia de variables aleatorias, y $X$ es una variable aleatoria, y todas ellas están definidas en el mismo espacio de probabilidad. $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ .

Convergencia en la distribución

En términos generales, con este modo de convergencia, esperamos que el siguiente resultado en una secuencia de experimentos aleatorios se ajuste cada vez mejor a una distribución de probabilidad dada . Más precisamente, la distribución de la variable aleatoria asociada en la secuencia se aproxima arbitrariamente a una distribución fija específica.

La convergencia en distribución es la forma más débil de convergencia que se suele analizar, ya que está implícita en todos los demás tipos de convergencia mencionados en este artículo. Sin embargo, la convergencia en distribución se utiliza con mucha frecuencia en la práctica; generalmente surge de la aplicación del teorema del límite central .

Definición

Una secuencia $X_{1},X_{2},\ldots$ de variables aleatorias de valor real , con funciones de distribución acumulativa $F_{1},F_{2},\ldots$ Se dice que converge en distribución , o converge débilmente , o converge en ley a una variable aleatoria. $X$ con función de distribución acumulativa $F$ si

\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),

por cada número $x\in \mathbb {R}$ en el cual $F$ es continuo .

El requisito de que solo los puntos de continuidad de $F$ debe considerarse esencial. Por ejemplo, si $X_{n}$ se distribuyen uniformemente en intervalos $\left(0,{\frac {1}{n}}\right)$ , entonces esta secuencia converge en distribución a la variable aleatoria degenerada $X=0$ . En efecto, $F_{n}(x)=0$ a pesar de $n$ cuando $x\leq 0$ , y $F_{n}(x)=1$ a pesar de $x\geq {\frac {1}{n}}$ cuando $n>0$ Sin embargo, para esta variable aleatoria límite $F(0)=1$ , a pesar de $F_{n}(0)=0$ a pesar de $n$ Por lo tanto, la convergencia de las funciones de distribución acumulada falla en el punto $x=0$ dónde $F$ es discontinuo.

La convergencia en la distribución puede denotarse como

dónde $\scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}$ es la ley (distribución de probabilidad) de $X$ . Por ejemplo, si $X$ es normal estándar podemos escribir $X_{n}\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,\,1)$ .

Para vectores aleatorios $\left\{X_{1},X_{2},\dots \right\}\subset \mathbb {R} ^{k}$ La convergencia en distribución se define de manera similar. Decimos que esta sucesión converge en distribución a una distribución aleatoria. $k$ -vector $X$ si

\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (X_{n}\in A)=\mathbb {P} (X\in A)

por cada $A\subset \mathbb {R} ^{k}$ que es un conjunto de continuidad de $X$ .

La definición de convergencia en distribución puede extenderse desde vectores aleatorios a elementos aleatorios más generales en espacios métricos arbitrarios , e incluso a las “variables aleatorias” que no son medibles, situación que se presenta, por ejemplo, en el estudio de procesos empíricos . Esta es la “convergencia débil de leyes sin que se definan leyes”, excepto asintóticamente. ^{[ 1 ]}

En este caso, el término convergencia débil es preferible (véase convergencia débil de medidas ), y decimos que una secuencia de elementos aleatorios $(X_{n})_{n}$ converge débilmente a $X$ (denominado como $X_{n}\Rightarrow X$ ) si

\mathbb {E} ^{*}h(X_{n})\to \mathbb {E} \,h(X)

para todas las funciones continuas acotadas $h$ . ^{[ 2 ]} Aquí $E^{*}$ denota la expectativa externa , es decir, la expectativa de una “función medible más pequeña”. $g$ que domina $h(X_{n})$ ”.

Propiedades

Desde $F(a)=\mathbb {P} (X\leq a)$ , la convergencia en la distribución significa que la probabilidad de $X_{n}$ estar en un rango determinado es aproximadamente igual a la probabilidad de que el valor de $X$ está en ese rango, siempre que $n$ es suficientemente grande .
En general, la convergencia en la distribución no implica que la secuencia de funciones de densidad de probabilidad correspondientes también converja. Como ejemplo, se pueden considerar variables aleatorias con densidades $f_{n}(x)=(1+\cos(2\pi nx))\mathbf {1} _{(0,1)}$ $f_{n}(x)=(1+\cos(2\pi nx))\mathbf {1} _{(0,1)}$ Estas variables aleatorias convergen en distribución a una distribución uniforme. $U(0,1)$ $U(0,1)$ , mientras que sus densidades no convergen en absoluto. ^{[ 3 ]}
- Sin embargo, según el teorema de Scheffé , la convergencia de las funciones de densidad de probabilidad implica la convergencia en la distribución. ^{[ 4 ]}
El lema de la combinación proporciona varias definiciones equivalentes de convergencia en distribución. Aunque estas definiciones son menos intuitivas, se utilizan para demostrar varios teoremas estadísticos. El lema establece que $(X_{n})_{n}$ $(X_{n})_{n}$ converge en distribución a $X$ $X$ si y solo si alguna de las siguientes afirmaciones es verdadera: ^{[ 5 ]}
- $\mathbb {P} (X_{n}\leq x)\to \mathbb {P} (X\leq x)$ para todos los puntos de continuidad de $x\mapsto \mathbb {P} (X\leq x)$ ;
- $\mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)$ para todas las funciones acotadas y continuas $f$ (dónde $\mathbb {E}$ denota el operador de valor esperado );
- $\mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)$ para todas las funciones acotadas de Lipschitz $f$ ;
- $\lim \inf \mathbb {E} f(X_{n})\geq \mathbb {E} f(X)$ para todas las funciones continuas no negativas $f$ ;
- $\lim \inf \mathbb {P} (X_{n}\in G)\geq \mathbb {P} (X\in G)$ para cada conjunto abierto $G$ ;
- $\lim \sup \mathbb {P} (X_{n}\in F)\leq \mathbb {P} (X\in F)$ para cada conjunto cerrado $F$ ;
- $\mathbb {P} (X_{n}\in B)\to \mathbb {P} (X\in B)$ para todos los conjuntos de continuidad $B$ de variable aleatoria $X$ ;
- $\limsup \mathbb {E} f(X_{n})\leq \mathbb {E} f(X)$ para cada función semicontinua superior $f$ limitado por encima;
- $\liminf \mathbb {E} f(X_{n})\geq \mathbb {E} f(X)$ para cada función semicontinua inferior $f$ delimitado por debajo.
El teorema de la aplicación continua establece que para una función continua $g$ $g$ , si la secuencia $(X_{n})_{n}$ $(X_{n})_{n}$ converge en distribución a $X$ $X$ , entonces $(g(X_{n}))_{n}$ $(g(X_{n}))_{n}$ converge en distribución a $g(X)$ $g(X)$ .
- Sin embargo, tenga en cuenta que la convergencia en la distribución de $(X_{n})_{n}$ a $X$ y $(Y_{n})_{n}$ a $Y$ en general no implica convergencia en la distribución de $(X_{n}+Y_{n})_{n}$ a $X+Y$ o de $(X_{n}Y_{n})_{n}$ a $XY$ .
Teorema de continuidad de Lévy : La sucesión $(X_{n})_{n}$ converge en distribución a $X$ si y solo si la secuencia de funciones características correspondientes $(\varphi _{n})_{n}$ converge puntualmente a la función característica $\varphi$ de $X$ .
La convergencia en la distribución es metrizable mediante la métrica de Lévy-Prokhorov .
Un vínculo natural con la convergencia en la distribución es el teorema de representación de Skorokhod .

Convergencia en probabilidad

La idea básica que subyace a este tipo de convergencia es que la probabilidad de un resultado "inusual" se vuelve cada vez más pequeña a medida que avanza la secuencia.

El concepto de convergencia en probabilidad se utiliza con frecuencia en estadística. Por ejemplo, un estimador se considera consistente si converge en probabilidad a la cantidad que se está estimando. La convergencia en probabilidad es también el tipo de convergencia que establece la ley débil de los grandes números .

Definición

Una secuencia $(X_{n})_{n}$ de variables aleatorias converge en probabilidad hacia la variable aleatoria $X$ si para todos $\varepsilon >0$

\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} {\big (}|X_{n}-X|>\varepsilon {\big )}=0.

Más explícitamente, dejemos $P_{n}(\varepsilon )$ sea la probabilidad de que $X_{n}$ está fuera de la bola de radio $\varepsilon$ centrado en $X$ . Entonces $(X_{n})_{n}$ Se dice que converge en probabilidad a $X$ si por alguna razón $\varepsilon >0$ y cualquier $\delta >0$ existe un número $N$ (que puede depender de $\varepsilon$ y $\delta$ ) tal que para todo $n\geq N$ , $P_{n}(\varepsilon )\leq \delta$ (la definición de límite).

Nótese que para que se cumpla la condición, no es posible que para cada $n$ las variables aleatorias $X$ y $(X_{n})_{n}$ son independientes (y por lo tanto la convergencia en probabilidad es una condición sobre las funciones de distribución acumulada conjuntas, a diferencia de la convergencia en distribución, que es una condición sobre las funciones de distribución acumulada individuales), a menos que $X$ es determinista como para la ley débil de los grandes números. Al mismo tiempo, el caso de un determinista $X$ Cuando el valor determinista es un punto de discontinuidad (no aislado), no puede ser manejado por la convergencia en distribución, donde los puntos de discontinuidad deben ser excluidos explícitamente.

La convergencia en probabilidad se denota añadiendo la letra $p$ sobre una flecha que indica convergencia, o utilizando el operador de límite de probabilidad "plim":

Para elementos aleatorios $(X_{n})_{n}$ en un espacio métrico separable $(S,d)$ , la convergencia en probabilidad se define de manera similar por ^{[ 6 ]}

\forall \varepsilon >0,\mathbb {P} {\big (}d(X_{n},X)\geq \varepsilon {\big )}\to 0.

Propiedades

La convergencia en probabilidad implica la convergencia en distribución. ^[prueba]
En sentido contrario, la convergencia en la distribución implica la convergencia en la probabilidad cuando la variable aleatoria límite X es una constante. ^{[demostración]}
La convergencia en probabilidad no implica una convergencia casi segura. ^[prueba]
El teorema de la aplicación continua establece que para cada función continua $g$ , si ${\textstyle X_{n}\xrightarrow {p} X}$ , entonces también ${\textstyle g(X_{n})\xrightarrow {p} g(X)}$ .
La convergencia en probabilidad define una topología en el espacio de variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad fijo. Esta topología es metrizable mediante la métrica de Ky Fan : ^{[ 7 ]} $d(X,Y)=\inf \!{\big \{}\varepsilon >0:\ \mathbb {P} {\big (}|X-Y|>\varepsilon {\big )}\leq \varepsilon {\big \}}$ o alternativamente por esta métrica $d(X,Y)=\mathbb {E} \left[\min(|X-Y|,1)\right].$

Contraejemplos

No toda secuencia de variables aleatorias que converge a otra variable aleatoria en distribución también converge en probabilidad a esa variable aleatoria. Como ejemplo, consideremos una secuencia de variables aleatorias normales estándar. $X_{n}$ y una segunda secuencia $Y_{n}=(-1)^{n}X_{n}$ . Observe que la distribución de $Y_{n}$ es igual a la distribución de $X_{n}$ a pesar de $n$ , pero: $P(|X_{n}-Y_{n}|\geq \epsilon )=P(|X_{n}|\cdot |(1-(-1)^{n})|\geq \epsilon )$

que no converge a $0$ . Por lo tanto, no tenemos convergencia en probabilidad.

Convergencia casi segura

Este es el tipo de convergencia estocástica que es más similar a la convergencia puntual conocida del análisis real elemental .

Definición

Decir que la sucesión $X n$ converge casi con seguridad o casi en todas partes o con probabilidad 1 o fuertemente hacia $X$ significa que $\mathbb {P} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.$

Esto significa que los valores de $X_{n}$ acercarse al valor de $X$ , en el sentido de que eventos para los cuales $X_{n}$ no converge a $X$ tener probabilidad $0$ (véase Casi con seguridad ). Utilizando el espacio de probabilidad $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ y el concepto de la variable aleatoria como una función de $\Omega$ a $\mathbb {R}$ , esto es equivalente a la afirmación ${\displaystyle \mathbb {P} {\Bigl (}\omega \in \Omega$

Utilizando la noción del límite superior de una sucesión de conjuntos , la convergencia casi segura también puede definirse de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {P} {\Bigl (}\limsup _{n\to \infty }{\bigl \{}\omega \in \Omega$

Casi seguro que la convergencia se suele indicar añadiendo las letras " as" sobre una flecha que indica convergencia:

Para elementos aleatorios genéricos $(X_{n})_{n}$ en un espacio métrico $(S,d)$ La convergencia casi con seguridad se define de manera similar: $\mathbb {P} {\Bigl (}\omega \in \Omega \colon \,d{\big (}X_{n}(\omega ),X(\omega ){\big )}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,0{\Bigr )}=1$

Propiedades

La convergencia casi segura implica convergencia en probabilidad (según el lema de Fatou ) y, por lo tanto, implica convergencia en distribución. Es la noción de convergencia utilizada en la ley fuerte de los grandes números .
El concepto de convergencia casi segura no proviene de una topología en el espacio de variables aleatorias. Esto significa que no existe ninguna topología en el espacio de variables aleatorias tal que las secuencias casi seguramente convergentes sean exactamente las secuencias convergentes con respecto a dicha topología. En particular, no existe una métrica de convergencia casi segura.

Contraejemplos

Consideremos una secuencia $\{X_{n}\}$ de variables aleatorias independientes tales que $\textstyle \mathbb {P} (X_{n}=1)={\frac {1}{n}}$ y $\textstyle \mathbb {P} (X_{n}=0)=1-{\frac {1}{n}}$ Para todos. $\varepsilon >0,$ tenemos $\textstyle \mathbb {P} (|X_{n}|\geq \varepsilon )={\frac {1}{n}},$ que converge a 0. Por lo tanto $X_{n}\to 0$ en probabilidad.

Desde $\textstyle \sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (X_{n}=1)=+\infty$ y los eventos $\{X_{n}=1\}$ son independientes, el segundo lema de Borel-Cantelli garantiza que $\textstyle \mathbb {P} (\limsup _{n}\{X_{n}=1\})=1.$ Por lo tanto, la secuencia $\{X_{n}\}$ casi en todas partes no converge a 0 (de hecho, el conjunto en el que esta secuencia no converge a 0 tiene probabilidad 1).

Convergencia segura o convergencia puntual

Decir que la secuencia de variables aleatorias $(X_{n})_{n}$ definido sobre el mismo espacio de probabilidad (es decir, un proceso aleatorio ) converge seguramente o en todas partes o puntualmente hacia X medias

$\forall \omega \in \Omega \colon \ \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ),$

dónde $\Omega$ es el espacio muestral del espacio de probabilidad subyacente sobre el cual se definen las variables aleatorias.

Esta es la noción de convergencia puntual de una secuencia de funciones extendida a una secuencia de variables aleatorias . (Nótese que las variables aleatorias son, a su vez, funciones).

${\displaystyle \left\{\omega \in \Omega$

La convergencia segura de una variable aleatoria implica todos los demás tipos de convergencia mencionados anteriormente, pero en teoría de la probabilidad no hay ninguna ventaja en usar la convergencia segura en comparación con la convergencia casi segura. La diferencia entre ambas solo existe en conjuntos con probabilidad cero. Por eso, el concepto de convergencia segura de variables aleatorias se usa muy raramente.

Convergencia en media

Dado un número real $r\geq 1$ , decimos que la secuencia $(X_{n})_{n}$ converge en el $r$ -ésima media (o en la norma L ^r ) hacia la variable aleatoria $X$ , si el $r$ -momentos absolutos $\mathbb {E} (|X_{n}|^{r})$ y $\mathbb {E} (|X|^{r})$ de $X n$ y $X$ existen y

\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0,

donde el operador $\mathbb {E}$ denota el valor esperado . Convergencia en $r$ -th significa que la expectativa de la $r$ -ésima potencia de la diferencia entre $X_{n}$ y $X$ converge a cero.

Este tipo de convergencia se suele denotar añadiendo la letra $L^{r}$ sobre una flecha que indica convergencia:

Los casos más importantes de convergencia en $r$ -th significan:

Cuando $X_{n}$ converge en $r$ -th significa $X$ para $r=1$ , decimos que $X_{n}$ converge en media a $X$ .
Cuando $X_{n}$ converge en $r$ -th significa $X$ para $r=2$ , decimos que $X_{n}$ converge en media cuadrática (o en media cuadrática ) a $X$ .

Convergencia en la $r$ -th significa, para $r\geq 1$ , implica convergencia en probabilidad (por la desigualdad de Markov ). Además, si $r>s\geq 1$ , convergencia en $r$ -ésima media implica convergencia en $s$ -ésima media. Por lo tanto, la convergencia en media cuadrática implica convergencia en media.

Además,

{\overset {}{X_{n}\xrightarrow {L^{r}} X}}\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} [|X_{n}|^{r}]=\mathbb {E} [|X|^{r}].

Lo contrario no es necesariamente cierto, sin embargo, es cierto si ${\overset {}{X_{n}\,\xrightarrow {p} \,X}}$ (mediante una versión más general del lema de Scheffé ).

Propiedades

Siempre que el espacio de probabilidad sea completo :

Si $X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X$ y $X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ Y$ , entonces $X=Y$ casi con seguridad .
Si $X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ X$ y $X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ Y$ , entonces $X=Y$ casi con seguridad.
Si $X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ X$ y $X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ Y$ , entonces $X=Y$ casi con seguridad.
Si $X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X$ y $Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ Y$ , entonces $aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ aX+bY$ (para cualquier número real) $a$ y $b$ ) y $X_{n}Y_{n}{\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ XY$ .
Si $X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ X$ y $Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ Y$ , entonces $aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ aX+bY$ (para cualquier número real) $a$ y $b$ y $X_{n}Y_{n}{\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ XY$ .
Si $X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ X$ y $Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ Y$ , entonces $aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ aX+bY$ (para cualquier número real) $a$ y $b$ ).
Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta para la convergencia en la distribución.

La cadena de implicaciones entre las diversas nociones de convergencia se señala en sus respectivas secciones. Son, utilizando la notación de flechas:

{\begin{matrix}{\xrightarrow {\overset {}{L^{s}}}}&{\underset {s>r\geq 1}{\Rightarrow }}&{\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}&&\\&&\Downarrow &&\\{\xrightarrow {\text{a.s.}}}&\Rightarrow &{\xrightarrow {p}}&\Rightarrow &{\xrightarrow {d}}\end{matrix}}

Estas propiedades, junto con otros casos especiales, se resumen en la siguiente lista:

La convergencia casi segura implica convergencia en probabilidad: ^{[ 8 ]}^[prueba]
$X_{n}\ {\xrightarrow {\text{a.s.}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X$
La convergencia en probabilidad implica que existe una subsecuencia. $(n_{k})$ que casi con seguridad converge: ^{[ 9 ]}
$X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X\quad \Rightarrow \quad X_{n_{k}}\ \xrightarrow {\text{a.s.}} \ X$
La convergencia en probabilidad implica convergencia en distribución: ^{[ 8 ]}^[prueba]
$X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ X$
Convergencia en $r$ La media de orden -ésimo implica convergencia en probabilidad:
$X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X$
Convergencia en $r$ La media de orden -ésimo implica convergencia en la media de orden inferior, suponiendo que ambos órdenes sean mayores o iguales que uno:
$X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{s}}}}\ X,$ proporcionó $r\geq s\geq 1$ .
Si $X_{n}$ converge en distribución a una constante $c$ , entonces $X_{n}$ converge en probabilidad a $c$ : ^{[ 8 ]}^[prueba]
$X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ c\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ c,$ proporcionó $c$ es una constante.
Si $X_{n}$ converge en distribución a $X$ y la diferencia entre $X_{n}$ y $Y_{n}$ converge en probabilidad a cero, entonces $Y_{n}$ también converge en distribución a $X$ : ^{[ 8 ]}^[prueba]
$X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ X,\ \ |X_{n}-Y_{n}|\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ 0\ \quad \Rightarrow \quad Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ X$
Si $X_{n}$ converge en distribución a $X$ y ' $Y_{n}$ converge en distribución a una constante $c$ , entonces el vector conjunto $(X_{n},Y_{n})$ converge en distribución a $(X,c)$ : ^{[ 8 ]}^[prueba]
$X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ c\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ (X,c)$ siempre que c sea una constante.
Tenga en cuenta que la condición que $Y_{n}$ Es importante que converja a una constante, si tuviera que converger a una variable aleatoria. $Y$ entonces no podríamos concluir que $(X_{n},Y_{n})$ converge a $(X,Y)$ .
Si $X_{n}$ converge en probabilidad a $X$ y $Y_{n}$ converge en probabilidad a $Y$ , entonces el vector conjunto $(X_{n},Y_{n})$ converge en probabilidad a $(X,Y)$ : ^{[ 8 ]}^[prueba]
$X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ Y\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ (X,Y)$
Si $X_{n}$ converge en probabilidad a $X$ y si $\mathbb {P} (|X_{n}|\leq b)=1$ a pesar de $n$ y algunos $b$ , entonces $X_{n}$ converge en $r$ el significado de $X$ a pesar de $r\geq 1$ . En otras palabras, si $X_{n}$ converge en probabilidad a $X$ y todas las variables aleatorias $X_{n}$ están casi con seguridad limitados arriba y abajo, entonces $X_{n}$ converge a $X$ también en cualquier $r$ la media. ^{[ 10 ]}
Representación casi segura . Por lo general, la convergencia en distribución no implica convergencia casi segura. Sin embargo, para una secuencia dada $(X_{n})_{n}$ que converge en distribución a $X_{0}$ Siempre es posible encontrar un nuevo espacio de probabilidad. $(\Omega ,F,\mathbb {P} )$ y variables aleatorias $(Y_{n})_{n}$ definido en él de tal manera que $Y_{n}$ es igual en distribución a $X_{n}$ para cada $n\geq 0$ , y $Y_{n}$ converge a $Y_{0}$ casi con seguridad. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}
Si para todos $\varepsilon >0$ ,
$\sum _{n}\mathbb {P} \left(|X_{n}-X|>\varepsilon \right)<\infty ,$
entonces decimos que $X_{n}$ converge casi completamente , o casi en probabilidad hacia $X$ . Cuando $X_{n}$ converge casi completamente hacia $X$ entonces también converge casi con seguridad a $X$ . En otras palabras, si $X_{n}$ converge en probabilidad a $X$ suficientemente rápido (es decir, la secuencia anterior de probabilidades de cola es sumable para todos $\varepsilon >0$ ), entonces $X_{n}$ también converge casi con seguridad a $X$ Esto es una implicación directa del lema de Borel-Cantelli .
Si $S_{n}$ es una suma de $n$ variables aleatorias reales independientes:
$S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,$
entonces $S_{n}$ converge casi con seguridad si y solo si $S_{n}$ converge en probabilidad. La demostración se puede encontrar en la página 126 (Teorema 5.3.4) del libro de Kai Lai Chung . ^{[ 13 ]}
Sin embargo, para una secuencia de variables aleatorias mutuamente independientes, la convergencia en probabilidad no implica una convergencia casi segura. ^{[ 14 ]}
El teorema de convergencia dominada proporciona condiciones suficientes para que la convergencia casi segura implique $L^{1}$ -convergencia:

Una condición necesaria y suficiente para $L^{1}$ La convergencia es $X_{n}{\xrightarrow {\overset {}{P}}}X$ y la secuencia $(X_{n})_{n}$ es uniformemente integrable .
Si $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X$ $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X$ , los siguientes son equivalentes ^{[ 15 ]}
- $X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ X$ ,
- $\mathbb {E} [|X_{n}|^{r}]\rightarrow \mathbb {E} [|X|^{r}]<\infty$ ,
- $\{|X_{n}|^{r}\}$ es uniformemente integrable .

Si $X_{n}{\overset {d}{\longrightarrow }}X$ y $(X_{n})_{n}$ es uniformemente integrable , entonces $X\in L^{1}$ y $\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}]=\mathbb {E} [X]$ . ^{[ 16 ]}

Véase también

Demostraciones de convergencia de variables aleatorias
Convergencia de medidas
Convergencia en la medida
Proceso estocástico continuo : la cuestión de la continuidad de un proceso estocástico es esencialmente una cuestión de convergencia, y muchos de los conceptos y relaciones utilizados anteriormente se aplican a la cuestión de la continuidad.
Distribución asintótica
Notación de probabilidad Big O
Teorema de representación de Skorokhod
El teorema de convergencia de Tweedie
Teorema de Slutsky
Teorema de la aplicación continua

Notas

↑ Bickel et al. 1998 , A.8, página 475
↑ van der Vaart y Wellner 1996 , pág. 4
↑ Romano y Siegel 1985 , Ejemplo 5.26
↑ Durrett, Rick (2010). Probabilidad: Teoría y ejemplos . pág. 84.
↑ van der Vaart 1998 , Lema 2.2
↑ Dudley 2002 , Capítulo 9.2, página 287
↑ Dudley 2002 , pág. 289
1 2 3 4 5 6 van der Vaart 1998 , Teorema 2.7
↑ Gut, Allan (2005). Probabilidad: Un curso de posgrado . Teorema 3.4: Springer. ISBN 978-0-387-22833-4.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación ( enlace )
↑ Grimmett y Stirzaker 2020 , pág. 354
↑ van der Vaart 1998 , Th.2.19
↑ Fristedt y Gray 1997 , Teorema 14.5
↑ Chung, Kai-lai (2001). Un curso de teoría de la probabilidad . pág. 126.
↑ "Pruebas de convergencia de variables aleatorias" . Wikipedia . Consultado el 23 de septiembre de 2024 .
↑ "análisis real - Generalización del lema de Scheffe utilizando únicamente la convergencia en probabilidad" . Mathematics Stack Exchange . Consultado el 12 de marzo de 2022 .
↑ Billingsley 1986 , Teorema 25.12

Referencias

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[2] van der Vaart y Wellner 1996 , pág. 4

[3] Romano y Siegel 1985 , Ejemplo 5.26

[Durrett-4] Durrett, Rick (2010). Probabilidad: Teoría y ejemplos . pág. 84.

[5] van der Vaart 1998 , Lema 2.2

[6] Dudley 2002 , Capítulo 9.2, página 287

[7] Dudley 2002 , pág. 289

[vdv2-8] 1 2 3 4 5 6 van der Vaart 1998 , Teorema 2.7

[9] Gut, Allan (2005). Probabilidad: Un curso de posgrado . Teorema 3.4: Springer. ISBN 978-0-387-22833-4.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación ( enlace )

[10] Grimmett y Stirzaker 2020 , pág. 354

[11] van der Vaart 1998 , Th.2.19

[12] Fristedt y Gray 1997 , Teorema 14.5

[Chung-13] Chung, Kai-lai (2001). Un curso de teoría de la probabilidad . pág. 126.

[14] "Pruebas de convergencia de variables aleatorias" . Wikipedia . Consultado el 23 de septiembre de 2024 .

[15] "análisis real - Generalización del lema de Scheffe utilizando únicamente la convergencia en probabilidad" . Mathematics Stack Exchange . Consultado el 12 de marzo de 2022 .

[16] Billingsley 1986 , Teorema 25.12

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