Teorema de convolución

En matemáticas , el teorema de convolución establece que, bajo ciertas condiciones, la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones (o señales ) es el producto de sus transformadas de Fourier. De forma más general, la convolución en un dominio (por ejemplo, el dominio del tiempo ) equivale a la multiplicación punto a punto en el otro dominio (por ejemplo, el dominio de la frecuencia ). Existen otras versiones del teorema de convolución aplicables a diversas transformadas relacionadas con Fourier .

Consideremos dos funciones${\displaystyle u(x)}$y${\displaystyle v(x)}$con transformadas de Fourier${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\[1ex]V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle {\mathcal {F}}}$denota el operador de transformada de Fourier . La transformada puede normalizarse de otras maneras, en cuyo caso factores de escala constantes (típicamente${\displaystyle 2\pi }$o${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$) aparecerá en el teorema de convolución a continuación. La convolución de${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$se define por:

$${\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .}$$

En este contexto, el asterisco denota convolución, en lugar de multiplicación estándar. El símbolo del producto tensorial${\displaystyle \otimes }$a veces se utiliza en su lugar.

El teorema de convolución establece que: ^{[ 1 ] [ 2 ] : ecuación 8}

Aplicación de la transformada inversa de Fourier${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1},}$produce el corolario : ^{[ 2 ] : ecuaciones 7, 10}

El teorema también se aplica generalmente a funciones multidimensionales.

Este teorema también es válido para la transformada de Laplace , la transformada de Laplace bilateral y, con las modificaciones adecuadas, para la transformada de Mellin y la transformada de Hartley (véase el teorema de inversión de Mellin ). Puede extenderse a la transformada de Fourier del análisis armónico abstracto definido sobre grupos abelianos localmente compactos .

Mediante una derivación similar a la ecuación 1, existe un teorema análogo para secuencias, como muestras de dos funciones continuas, donde ahora${\displaystyle {\mathcal {F}}}$denota el operador de transformada discreta de Fourier (DTFT). Consideremos dos secuencias${\displaystyle u[n]}$y${\displaystyle v[n]}$con transformaciones${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}$$

La §  Convolución discreta de${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$se define por:

$${\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].}$$

El teorema de convolución para secuencias discretas es: ^{[ 3 ] [ 4 ] : p.60 (2.169)}

También existe un teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier:

Aquí, "${\displaystyle \cdot }$" representa el producto Hadamard , y "${\displaystyle *}$" representa una convolución entre las dos matrices.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle {\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}}$$

El teorema de convolución se extiende a las distribuciones temperadas . Aquí,${\displaystyle v}$es una distribución temperada arbitraria:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}}$$

Pero${\displaystyle \alpha =F\{u\}}$debe estar "disminuyendo rápidamente" hacia${\displaystyle -\infty }$y${\displaystyle +\infty }$para garantizar la existencia tanto de la convolución como del producto de multiplicación. Equivalentemente, si${\displaystyle u=F^{-1}\{\alpha \}}$es una función ordinaria suave de "crecimiento lento", garantiza la existencia tanto del producto de multiplicación como del producto de convolución. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

En particular, toda distribución temperada con soporte compacto, como la delta de Dirac , es "rápidamente decreciente". De manera equivalente, las funciones de banda limitada , como la función que es constantemente${\displaystyle 1}$son funciones ordinarias suaves de "crecimiento lento". Si, por ejemplo,${\displaystyle v\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$es el peine de Dirac ambas ecuaciones producen la fórmula de suma de Poisson y si, además,${\displaystyle u\equiv \delta }$¿Es entonces el delta de Dirac?${\displaystyle \alpha \equiv 1}$es constantemente uno y estas ecuaciones producen la identidad del peine de Dirac .

• Función generadora de momentos de una variable aleatoria

Para una representación visual del uso del teorema de convolución en el procesamiento de señales , consulte:

• Simulación asistida por Java de la Universidad Johns Hopkins : http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html