Grupo Conway Co 3

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Conway${\displaystyle \mathrm {Co} _ {3}}$es un grupo simple esporádico de orden

   495.766.656.000

= 2 ¹⁰ · 3 ⁷ · 5 ³ · 7 · 11 · 23     

≈ 5 × 10¹¹ .

${\displaystyle \mathrm {Co} _ {3}}$Es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por John Horton Conway ( 1968 , 1969 ) como el grupo de automorfismos de la red de Leech. ${\displaystyle \Lambda }$fijar un vector reticular de tipo 3, por lo tanto de longitud √ 6 . Es, por lo tanto, un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {Co} _ {0}}$Es isomorfo a un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {Co} _ {1}}$El producto directo${\displaystyle 2\times \mathrm {Co} _ {3}}$es máximo en${\displaystyle \mathrm {Co} _ {0}}$.

El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son ambos triviales .

Co ₃ actúa sobre una red par de 23 dimensiones sin raíces, dada por el complemento ortogonal de un vector de norma 6 de la red de Leech. Esto proporciona representaciones de 23 dimensiones sobre cualquier cuerpo; sobre cuerpos de característica 2 o 3, se puede reducir a una representación fiel de 22 dimensiones.

Co ₃ tiene una representación de permutación doblemente transitiva en 276 puntos.

Walter Feit ( 1974 ) demostró que si un grupo finito tiene una representación racional fiel absolutamente irreducible de dimensión 23 y no tiene subgrupos de índice 23 o 24, entonces está contenido en ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathrm {Co} _{2}}$o${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathrm {Co} _ {3}}$.

Algunos subgrupos maximales fijan o reflejan subretículos bidimensionales del retículo de Leech. Es habitual definir estos planos mediante triángulos hkl : triángulos que incluyen el origen como vértice, con aristas (diferencias de vértices) que son vectores de tipos h , k y l .

Larry Finkelstein ( 1973 ) encontró las 14 clases de conjugación de subgrupos máximos de ${\displaystyle \mathrm {Co} _ {3}}$como sigue:

Se muestran trazas de matrices en una representación estándar de 24 dimensiones de Co _3. ^{[ 1 ]} Los nombres de las clases de conjugación se toman del Atlas de Representaciones de Grupos Finitos. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Las estructuras de ciclo enumeradas actúan sobre los 276 triángulos 2-2-3 que comparten el lado fijo de tipo 3. ^{[ 4 ]}

En analogía con el monstruoso licor casero para el monstruo M , para Co ₃ , la serie de McKay-Thompson relevante es${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$donde se puede establecer el término constante a(0) = 24 ( OEIS : A097340  ),

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&={\Big (}{\tfrac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}{\Big )}^{24}\\&={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta) (\tau )}{\eta (4\tau )}}{\big )}^{4}+4^{2}{\big (}{\tfrac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}{\big )}^{4}{\Big )}^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .

• Conway, John Horton (1968), "Un grupo perfecto de orden 8.315.553.613.086.720.000 y los grupos simples esporádicos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 61 (2): 398–400 , Bibcode : 1968PNAS...61..398C , doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697   
• Conway, John Horton (1969), "Un grupo de orden 8.315.553.613.086.720.000", The Bulletin of the London Mathematical Society , 1 : 79–88 , doi : 10.1112/blms/1.1.79 , ISSN 0024-6093 , MR 0248216  
• Conway, John Horton (1971), «Tres conferencias sobre grupos excepcionales», en Powell, MB; Higman, Graham (eds.), Grupos simples finitos , Actas de una conferencia didáctica organizada por la London Mathematical Society (un instituto de estudios avanzados de la OTAN), Oxford, septiembre de 1969, Boston, MA: Academic Press , pp. 215–247 , ISBN  978-0-12-563850-0, MR 0338152 Reimpreso en Conway & Sloane (1999 , 267–298)
• Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Empaquetamientos, celosías y grupos de esferas , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  290 (3.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369 
• Feit, Walter (1974), "Sobre representaciones integrales de grupos finitos", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera Serie, 29 (4): 633– 683, doi : 10.1112/plms/s3-29.4.633 , ISSN 0024-6115 , MR 0374248  
• _{Finkelstein, Larry (1973), "Los subgrupos maximales del grupo C 3} de Conway y del grupo de McLaughlin", Journal of Algebra , 25 : 58–89 , doi : 10.1016/0021-8693(73)90075-6 , ISSN 0021-8693 , MR 0346046  
• Thompson, Thomas M. (1983), De códigos correctores de errores a través de empaquetamientos de esferas a grupos simples , Carus Mathematical Monographs, vol.  21, Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-023-7, MR 0749038 
• Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas de grupos finitos , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219 
• Griess, Robert L. Jr. (1998), Doce grupos esporádicos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, MR 1707296 
• Wilson, Robert A. (2009), Los grupos simples finitos. , Graduate Texts in Mathematics 251, vol.  251, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012 

• MathWorld: Grupos de Conway
• Atlas de Representaciones de Grupos Finitos: Co ₃ versión 2
• Atlas de Representaciones de Grupos Finitos: Co ₃ versión 3