Núcleo (teoría de juegos)

En la teoría de juegos cooperativos , el núcleo es el conjunto de asignaciones o imputaciones factibles en las que ninguna coalición de agentes puede beneficiarse separándose de la gran coalición. Se puede considerar que el núcleo corresponde a situaciones en las que es posible mantener la cooperación entre todos los agentes. Se dice que una coalición mejora o bloquea una asignación factible si sus miembros pueden generar más valor entre sí del que se les asigna en la asignación original. Por lo tanto, dicha coalición no tiene incentivos para permanecer en la gran coalición.

Se dice que una asignación se encuentra en el núcleo de un juego si no existe ninguna coalición que pueda mejorarla. El núcleo es entonces el conjunto de todas las asignaciones factibles.

La idea del núcleo ya aparecía en los escritos de Edgeworth (1881) , entonces conocida como la curva de contrato . ^{[ 1 ]} Si bien von Neumann y Morgenstern la consideraban un concepto interesante, solo trabajaban con juegos de suma cero donde el núcleo siempre está vacío . La definición moderna del núcleo se debe a Donald B. Gillies y Lloyd Shapley . ^{[ 2 ]}

Consideremos un juego cooperativo de utilidad transferible.${\displaystyle (N,v)}$dónde${\displaystyle N}$denota el conjunto de jugadores y${\displaystyle v}$es la función característica . Una imputación${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$está dominado por otra imputación${\displaystyle y}$si existe una coalición${\displaystyle C}$, de tal manera que cada jugador en${\displaystyle C}$prefiere débilmente${\displaystyle y}$(${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$a pesar de${\displaystyle i\in C}$) y existe${\displaystyle i\in C}$que prefiere estrictamente${\displaystyle y}$(${\displaystyle x_{i}<y_{i}}$), y${\displaystyle C}$puede hacer cumplir${\displaystyle y}$amenazando con abandonar la gran coalición para formar${\displaystyle C}$(${\displaystyle \sum _{i\in C}y_{i}\leq v(C)}$). El núcleo es el conjunto de imputaciones que no están dominadas por ninguna otra imputación. ^{[ 3 ]}

• Otra definición, equivalente a la anterior, establece que el núcleo es un conjunto de asignaciones de pagos.${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$satisfactorio

1. Eficiencia:${\displaystyle \sum _{i\in N}x_{i}=v(N)}$,
2. Racionalidad de la coalición:${\displaystyle \sum _{i\in C}x_{i}\geq v(C)}$para todos los subconjuntos (coaliciones)${\displaystyle C\subsetequ N}$.

• El núcleo siempre está bien definido, pero puede estar vacío .
• El núcleo es un conjunto que satisface un sistema de desigualdades lineales débiles . Por lo tanto, el núcleo es cerrado y convexo .
• El teorema de Bondareva-Shapley : el núcleo de un juego no es vacío si y solo si el juego está "equilibrado". ^{[ 5 ] [ 6 ]}
• Todo equilibrio walrasiano posee la propiedad del núcleo, pero no a la inversa . La conjetura de Edgeworth afirma que, bajo ciertas suposiciones adicionales, el límite del núcleo cuando el número de consumidores tiende a infinito es un conjunto de equilibrios walrasianos.
• Supongamos que hay n jugadores, donde n es impar. Un juego que propone dividir una unidad de un bien entre una coalición con al menos ( n +1)/2 miembros tiene un núcleo vacío. Es decir, no existe una coalición estable.

Los equilibrios walrasianos de una economía de intercambio en un modelo de equilibrio general se encuentran en el núcleo del juego de cooperación entre los agentes. Gráficamente, y en una economía de dos agentes (véase el cuadro de Edgeworth), el núcleo es el conjunto de puntos en la curva de contrato (el conjunto de asignaciones óptimas de Pareto) que se encuentran entre las curvas de indiferencia de cada agente, definidas en las dotaciones iniciales.

Cuando las alternativas son asignaciones (lista de cestas de consumo), es natural suponer que cualquier subconjunto no vacío de individuos puede bloquear una asignación dada. Sin embargo, cuando las alternativas son públicas (como la cantidad de un bien público determinado), es más apropiado suponer que solo las coaliciones lo suficientemente grandes pueden bloquear una alternativa dada. El conjunto de tales coaliciones grandes ("ganadoras") se denomina juego simple . El núcleo de un juego simple con respecto a un perfil de preferencias se basa en la idea de que solo las coaliciones ganadoras pueden rechazar una alternativa.${\displaystyle x}$a favor de otra alternativa${\displaystyle y}$. Se proporciona una condición necesaria y suficiente para que el núcleo no esté vacío para todos los perfiles de preferencias, en términos del número de Nakamura para el juego simple.

• negociación cooperativa
• economía del bienestar
• eficiencia de Pareto
• Teorema de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Shapley : fundamental para demostrar la no vacuidad del núcleo.

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• Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994). Un curso de teoría de juegos . The MIT Press.
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• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagente: Fundamentos algorítmicos, de teoría de juegos y lógicos . Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.
• Telser, Lester G. (1994). "La utilidad de la teoría central en economía" . Journal of Economic Perspectives . 8 (2): 151– 164. doi : 10.1257/jep.8.2.151 .