Conjunto simplicial

En matemáticas , un conjunto simplicial es una secuencia de conjuntos con una estructura de orden interno ( símplices abstractos ) y funciones que los relacionan. Los conjuntos simpliciales son generalizaciones de mayor dimensión de los grafos dirigidos .

Cada conjunto simplicial da lugar a un espacio topológico "agradable" , conocido como su realización geométrica. Esta realización consiste en símplices geométricos , unidos según las reglas del conjunto simplicial. De hecho, se puede considerar un conjunto simplicial como una construcción puramente combinatoria diseñada para capturar la esencia de un espacio topológico a efectos de la teoría de la homotopía . Específicamente, la categoría de conjuntos simpliciales posee una estructura de modelo natural , y la categoría de homotopía correspondiente es equivalente a la conocida categoría de homotopía de espacios topológicos.

Formalmente, un conjunto simplicial puede definirse como un functor contravariante de la categoría simplex a la categoría de conjuntos . Los conjuntos simpliciales fueron introducidos en 1950 por Samuel Eilenberg y Joseph A. Zilber. ^{[ 1 ]}

Los conjuntos simpliciales se utilizan para definir cuasicategorías , una noción básica de la teoría de categorías superiores . Una construcción análoga a la de los conjuntos simpliciales puede realizarse en cualquier categoría, no solo en la categoría de conjuntos, dando lugar a la noción de objetos simpliciales .

Motivación

Un conjunto simplicial es un modelo categórico (es decir, puramente algebraico) que captura aquellos espacios topológicos que pueden construirse (o representarse fielmente salvo homotopía) a partir de símplices y sus relaciones de incidencia. Esto es similar al enfoque de los complejos CW para modelar espacios topológicos, con la diferencia crucial de que los conjuntos simpliciales son puramente algebraicos y no poseen ninguna topología real.

Para volver a los espacios topológicos propiamente dichos, existe un functor de realización geométrica que transforma los conjuntos simpliciales en espacios de Hausdorff generados de forma compacta . La mayoría de los resultados clásicos sobre complejos CW en teoría de homotopía se generalizan mediante resultados análogos para conjuntos simpliciales. Si bien los topólogos algebraicos siguen prefiriendo en gran medida los complejos CW, existe un creciente número de investigadores interesados en utilizar conjuntos simpliciales para aplicaciones en geometría algebraica donde los complejos CW no existen de forma natural.

Intuición

Los conjuntos simpliciales pueden considerarse una generalización de dimensiones superiores de los multigrafos dirigidos . Un conjunto simplicial contiene vértices (conocidos como "0-símplices" en este contexto) y flechas ("1-símplices") entre algunos de estos vértices. Dos vértices pueden estar conectados por varias flechas, y también se permiten bucles dirigidos que conectan un vértice consigo mismo. A diferencia de los multigrafos dirigidos, los conjuntos simpliciales también pueden contener símplices de orden superior. Un 2-símplice, por ejemplo, puede considerarse como una figura "triangular" bidimensional delimitada por una lista de tres vértices A , B , C y tres flechas B → C , A → C y A → B. En general, un n- símplice es un objeto formado por una lista de n + 1 vértices (que son 0-símplices) y n + 1 caras (que son ( n − 1)-símplices). Los vértices de la i -ésima cara son los vértices del n- símplex menos el i -ésimo vértice. Los vértices de un símplex no tienen por qué ser distintos, y un símplex no está determinado por sus vértices y caras: dos símplex diferentes pueden compartir la misma lista de caras (y, por lo tanto, la misma lista de vértices), al igual que dos flechas diferentes en un multigrafo pueden conectar los mismos dos vértices.

Los conjuntos simpliciales no deben confundirse con los complejos simpliciales abstractos , que generalizan grafos simples no dirigidos en lugar de multigrafos dirigidos.

Formalmente, un conjunto simplicial X es una colección de conjuntos X _n , n = 0, 1, 2, ..., junto con ciertas aplicaciones entre estos conjuntos: las aplicaciones de caras d _{n , i} : X _n → X _n₋₁ ( n = 1, 2, 3, ... y 0 ≤ i ≤ n ) y las aplicaciones de degeneración s _n_,_i : X _n → X _n₊₁ ( n = 0, 1, 2, ... y 0 ≤ i ≤ n ). Pensamos en los elementos de X _n como los n -símplices de X . La aplicación d _n_,_i asigna a cada uno de estos n- símplices su i -ésima cara, la cara "opuesta" (es decir, que no contiene) al i -ésimo vértice. El mapa s _n_,_i asigna a cada n- símplex el ( n +1)-símplex degenerado que surge del dado al duplicar el i -ésimo vértice. Esta descripción requiere implícitamente ciertas relaciones de consistencia entre los mapas d _n_,_i y s _n_,_i .

En lugar de exigir explícitamente estas identidades simpliciales como parte de la definición, la definición moderna y breve utiliza el lenguaje de la teoría de categorías .

Definición formal

Sea Δ la categoría simplex . Los objetos de Δ son conjuntos finitos no vacíos totalmente ordenados y los morfismos funciones que preservan el orden (no estrictamente) . Cada objeto es isomorfo de forma única a un objeto de la forma

[ n ] = {0, 1, ..., n }

con n ≥ 0.

Un conjunto simplicial X es un functor contravariante

X : Δ → Conjunto

donde Set es la categoría de conjuntos . (Alternativamente y de forma equivalente, se pueden definir los conjuntos simpliciales como functores covariantes de la categoría opuesta Δ ^op→ Set ). Dado un conjunto simplicial X, a menudo escribimos X _n en lugar de X ([ n ]).

Los conjuntos simpliciales forman una categoría, generalmente denotada como sSet , cuyos objetos son conjuntos simpliciales y cuyos morfismos son transformaciones naturales entre ellos. Esta es la categoría de prehaces en Δ. Como tal, es un topos de Grothendieck .

Mapas faciales y de degeneración e identidades simpliciales

Los morfismos (mapas) de la categoría simplex Δ son generados por dos familias de morfismos particularmente importantes, cuyas imágenes bajo un functor de conjunto simplicial dado se llaman mapas de caras y mapas de degeneración de ese conjunto simplicial.

Los mapas de caras de un conjunto simplicial X son las imágenes en ese conjunto simplicial de los morfismos. $\delta ^{n,0},\dotsc ,\delta ^{n,n}\colon [n-1]\to [n]$ , dónde $\delta ^{n,i}$ es la única inyección (que preserva el orden) $[n-1]\to [n]$ que "falla" $i$ Denotemos estos mapas faciales por $d_{n,0},\dotsc,d_{n,n}$ respectivamente, de modo que $d_{n,i}$ es un mapa $X_{n}\to X_{n-1}$ . Si el primer índice está vacío, escribimos $d_{i}$ en lugar de $d_{n,i}$ .

Los mapas de degeneración del conjunto simplicial X son las imágenes en ese conjunto simplicial de los morfismos. $\sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\colon [n+1]\to [n]$ , dónde $\sigma ^{n,i}$ es la única sobreyección (que preserva el orden) $[n+1]\to [n]$ que "golpea" $i$ dos veces. Denotemos estos mapas de degeneración por $s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}$ respectivamente, de modo que $s_{n,i}$ es un mapa $X_{n}\to X_{n+1}$ . Si el primer índice está vacío, escribimos $s_{i}$ en lugar de $s_{n,i}$ .

Los mapas definidos satisfacen las siguientes identidades simpliciales :

$d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}$ si i < j . (Esto es una abreviatura de $d_{n-1,i}d_{n,j}=d_{n-1,j-1}d_{n,i}$ si 0 ≤ i < j ≤ n .)
$d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ si i < j .
$d_{i}s_{j}={\text{id}}$ si i = j o i = j + 1.
$d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ si i > j + 1.
$s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ si i ≤ j .

Por el contrario, dada una secuencia de conjuntos X _n junto con mapas $d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}$ y $s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}$ Si se cumplen las identidades simpliciales, existe un único conjunto simplicial X que posee estas funciones de caras y degeneración. Por lo tanto, las identidades proporcionan una forma alternativa de definir conjuntos simpliciales.

Ejemplos

Dado un conjunto parcialmente ordenado ( S , ≤), podemos definir un conjunto simplicial NS , llamado nervio de S , de la siguiente manera: para cada objeto [ n ] de Δ definimos NS ([ n ]) = hom _poset ( [ n ] , S ), el conjunto de aplicaciones que preservan el orden de [ n ] a S . Todo morfismo φ : [ n ] → [ m ] en Δ es una aplicación que preserva el orden, y mediante composición induce una aplicación NS ( φ ) : NS ([ m ]) → NS ([ n ]). Es sencillo comprobar que NS es un functor contravariante de Δ a Set : un conjunto simplicial.

Concretamente, los n -símplices del nervio NS , es decir, los elementos de NS _n = NS ([ n ]), pueden considerarse como secuencias ordenadas de longitud ( n +1) de elementos de S : ( a ₀ ≤ a ₁ ≤ ... ≤ a _n ). El mapa de caras d _i descarta el i -ésimo elemento de dicha lista, y los mapas de degeneración s _i duplican el i -ésimo elemento.

Se puede realizar una construcción similar para cada categoría C , para obtener el nervio NC de C. Aquí, NC ([ n ]) es el conjunto de todos los functores de [ n ] a C , donde consideramos [ n ] como una categoría con objetos 0,1,..., n y un único morfismo de i a j siempre que i ≤ j .

Concretamente, los n -símplices del nervio NC pueden pensarse como secuencias de n morfismos componibles en C : a ₀ → a ₁ → ... → a _n . (En particular, los 0-símplices son los objetos de C y los 1-símplices son los morfismos de C .) El mapa de caras d ₀ descarta el primer morfismo de dicha lista, el mapa de caras d _n descarta el último, y el mapa de caras d _i para 0 < i < n descarta a _i y compone los morfismos i -ésimo y ( i + 1)-ésimo. Los mapas de degeneración s _i alargan la secuencia insertando un morfismo identidad en la posición i .

Podemos recuperar el poset S del nervio NS y la categoría C del nervio NC ; en este sentido, los conjuntos simpliciales generalizan los posets y las categorías.

Otro ejemplo importante de conjuntos simpliciales lo constituye el conjunto singular SY de un espacio topológico Y. En este caso, SY _n consta de todas las aplicaciones continuas del n- símplex topológico estándar a Y. El conjunto singular se explica con más detalle a continuación.

El n -símplex estándar y la categoría de símplices

El n -símplex estándar , denotado Δ ⁿ , es un conjunto simplicial definido como el functor hom _Δ (-, [ n ]) donde [ n ] denota el conjunto ordenado {0, 1, ... , n } de los primeros ( n + 1) enteros no negativos. (En muchos textos, se escribe en su lugar como hom([ n ],-) donde se entiende que el conjunto hom pertenece a la categoría opuesta Δ ^op . ^{[ 2 ]} )

Según el lema de Yoneda , los n -símplices de un conjunto simplicial X guardan una correspondencia biunívoca con las transformaciones naturales de Δ ⁿ a X, es decir, $X_{n}=X([n])\cong \operatorname {Nat} (\operatorname {hom} _{\Delta }(-,[n]),X)=\operatorname {hom} _ {\textbf {sSet}}(\Delta ^{n},X)$ .

Además, X da lugar a una categoría de símplices , denotada por $\Delta \downarrow {X}$ , cuyos objetos son aplicaciones ( es decir, transformaciones naturales) Δ ⁿ → X y cuyos morfismos son transformaciones naturales Δ ⁿ → Δ ^m sobre X que surgen de aplicaciones [ n ] → [ m ] en Δ. Es decir, $\Delta \downarrow {X}$ es una categoría de rebanadas de Δ sobre X. El siguiente isomorfismo muestra que un conjunto simplicial X es un colímite de sus símplices: ^{[ 3 ]}

X\cong \varinjlim _{\Delta ^{n}\to X}\Delta ^{n}

donde el colímite se toma sobre la categoría de símplices de X.

Realización geométrica

Existe un functor |•|: sSet → CGHaus llamado realización geométrica que transforma un conjunto simplicial X en su realización correspondiente en la categoría CGHaus de espacios topológicos de Hausdorff generados de forma compacta . Intuitivamente, la realización de X es el espacio topológico (de hecho, un complejo CW ) que se obtiene si cada n- símplice de X se reemplaza por un n- símplice topológico (un cierto subconjunto n- dimensional del espacio euclidiano ( n + 1)-dimensional definido más adelante) y estos símplices topológicos se unen de la misma manera que los símplices de X se unen. En este proceso, se pierde la orientación de los símplices de X.

Para definir el functor de realización, primero lo definimos en los n-símplices estándar Δ ⁿ de la siguiente manera: la realización geométrica |Δ ⁿ | es el n - símplice topológico estándar en posición general dado por

|\Delta ^{n}|=\{(x_{0},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}:0\leq x_{i}\leq 1,\sum x_{i}=1\}.

La definición se extiende entonces naturalmente a cualquier conjunto simplicial X al establecer

|X| = lim _{Δ ⁿ → X} | Δ ⁿ |

donde el colímite se toma sobre la categoría n-símplex de X. La realización geométrica es funtorial en sSet .

Es significativo que usemos la categoría CGHaus de espacios de Hausdorff generados de forma compacta, en lugar de la categoría Top de espacios topológicos, como categoría objetivo de realización geométrica: al igual que sSet y a diferencia de Top , la categoría CGHaus es cartesiana cerrada ; el producto categórico se define de manera diferente en las categorías Top y CGHaus , y el de CGHaus corresponde al de sSet a través de la realización geométrica.

Conjunto singular para un espacio

El conjunto singular de un espacio topológico Y es el conjunto simplicial SY definido por

( SY )([ n ]) = hom _Top₍ |Δ ⁿ |, Y ) para cada objeto [ n ] ∈ Δ.

Toda aplicación que preserva el orden φ :[ n ]→[ m ] induce una aplicación continua |Δ ⁿ |→|Δ ^m | mediante

(x_{0},...,x_{n})\in |\Delta _{n}|\mapsto (y_{j}),~~y_{j}=\sum _{\phi (i)=j}x_{i}.

Luego, por composición se obtiene una aplicación SY ( φ ) : SY ([ m ]) → SY ([ n ]). Esta definición es análoga a una idea estándar en homología singular de "sondear" un espacio topológico objetivo con n -símplices topológicos estándar . Además, el functor singular S es adjunto derecho al functor de realización geométrica descrito anteriormente, es decir:

hom _Arriba (| X |, Y ) ≅ hom _sSet ( X , SY )

para cualquier conjunto simplicial X y cualquier espacio topológico Y. Intuitivamente, esta adjunción puede entenderse de la siguiente manera: una aplicación continua de la realización geométrica de X a un espacio Y está especificada de forma única si asociamos a cada símplice de X una aplicación continua del símplice topológico estándar correspondiente a Y, de tal manera que estas aplicaciones sean compatibles con la forma en que los símplices en X se mantienen unidos.

Teoría de homotopía de conjuntos simpliciales

Para definir una estructura de modelo en la categoría de conjuntos simpliciales, es necesario definir fibraciones, cofibraciones y equivalencias débiles. Las fibraciones se definen como fibraciones de Kan . Un mapa de conjuntos simpliciales se define como una equivalencia débil si su realización geométrica es una equivalencia homotópica débil de espacios . Un mapa de conjuntos simpliciales se define como una cofibración si es un monomorfismo de conjuntos simpliciales. Un teorema complejo de Daniel Quillen establece que la categoría de conjuntos simpliciales con estas clases de morfismos se convierte en una categoría modelo y, de hecho, satisface los axiomas para una categoría modelo simplicial cerrada propia .

Un punto de inflexión clave de la teoría es que la realización geométrica de una fibración de Kan es una fibración de Serre de espacios. Con la estructura del modelo establecida, se puede desarrollar una teoría de homotopía de conjuntos simpliciales utilizando métodos estándar de álgebra homotópica . Además, la realización geométrica y los functores singulares dan una equivalencia de Quillen de categorías de modelos cerrados que induce una equivalencia.

|•|: Ho ( sSet ) ↔ Ho ( Arriba )

entre la categoría de homotopía para conjuntos simpliciales y la categoría de homotopía usual de complejos CW con clases de homotopía de aplicaciones continuas entre ellas. Forma parte de la definición general de una adjunción de Quillen que el functor adjunto derecho (en este caso, el functor de conjunto singular) lleva fibraciones (respectivamente, fibraciones triviales) a fibraciones (respectivamente, fibraciones triviales).

objetos simpliciales

Un objeto simplicial X en una categoría C es un functor contravariante.

X : Δ → C

o equivalentemente un functor covariante

X : Δ ^op → C,

donde Δ sigue denotando la categoría simplex y ^op la categoría opuesta . Cuando C es la categoría de conjuntos , nos referimos simplemente a los conjuntos simpliciales que se definieron anteriormente. Si C es la categoría de grupos o la categoría de grupos abelianos , obtenemos las categorías sGrp de grupos simpliciales y sAb de grupos abelianos simpliciales , respectivamente.

Los grupos simpliciales y los grupos abelianos simpliciales también poseen estructuras de modelos cerrados inducidas por las de los conjuntos simpliciales subyacentes.

Los grupos de homotopía de los grupos abelianos simpliciales se pueden calcular utilizando la correspondencia de Dold-Kan que produce una equivalencia de categorías entre grupos abelianos simpliciales y complejos de cadenas acotadas y está dada por functores.

N: sAb → Ch ₊

y

Γ : Ch ₊ → sAb .

Véase también: diagrama simplicial .

Historia y usos de los conjuntos simpliciales

Los conjuntos simpliciales se utilizaron originalmente para proporcionar descripciones precisas y convenientes de los espacios de clasificación de grupos . Esta idea se amplió enormemente gracias a la propuesta de Grothendieck de considerar los espacios de clasificación de categorías, y en particular por el trabajo de Quillen sobre la teoría K algebraica . En este trabajo, que le valió la Medalla Fields , Quillen desarrolló métodos sorprendentemente eficientes para manipular conjuntos simpliciales infinitos. Estos métodos se utilizaron en otras áreas en la frontera entre la geometría algebraica y la topología. Por ejemplo, la homología de André-Quillen de un anillo es una "homología no abeliana", definida y estudiada de esta manera.

Tanto la teoría K algebraica como la homología de André-Quillen se definen utilizando datos algebraicos para escribir un conjunto simplicial y luego tomando los grupos de homotopía de este conjunto simplicial.

Los métodos simpliciales suelen ser útiles cuando se quiere demostrar que un espacio es un espacio de lazos . La idea básica es que si $G$ es un grupo con espacio de clasificación $BG$ , entonces $G$ ¿Es la homotopía equivalente al espacio de lazos? $\Omega BG$ . Si $BG$ En sí mismo es un grupo, podemos iterar el procedimiento y $G$ ¿Es homotópicamente equivalente al espacio de doble bucle? $\Omega ^{2}B(BG)$ . En caso $G$ es un grupo abeliano, podemos iterar esto infinitas veces y obtener que $G$ es un espacio de bucle infinito.

Incluso si $X$ no es un grupo abeliano, puede suceder que tenga una composición suficientemente conmutativa como para que se pueda usar la idea anterior para demostrar que $X$ es un espacio de bucles infinitos. De esta manera se puede demostrar que el algebraico $K$ -La teoría de un anillo, considerado como un espacio topológico, es un espacio de lazos infinitos.

En los últimos años, los conjuntos simpliciales se han utilizado en la teoría de categorías superiores y en la geometría algebraica derivada . Las cuasicategorías pueden considerarse categorías en las que la composición de morfismos se define solo hasta la homotopía, y se conserva información sobre la composición de homotopías superiores. Las cuasicategorías se definen como conjuntos simpliciales que satisfacen una condición adicional: la condición débil de Kan.

Véase también

Conjunto Delta
Conjunto dendroidal , una generalización del conjunto simplicial.
prehaz simplicial
Cuasi-categoría
complejo de Kan
Correspondencia Dold-Kan
homotopía simplicial
esfera simplicial
complejo simplicial abstracto
Extensión anómala
Equivalencia débil entre conjuntos simpliciales

Notas

↑ Eilenberg, Samuel; Zilber, JA (1950). "Complejos semisimpliciales y homología singular". Annals of Mathematics . 51 (3): 499– 513. doi : 10.2307/1969364 . JSTOR 1969364 .
↑ Gelfand y Manin 2013
↑ Goerss y Jardine 1999 , pág. 7

Referencias

Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Teoría de la homotopía simplicial . Progress in Mathematics. Vol. 174. Birkhäuser. doi : 10.1007/978-3-0348-8707-6 . ISBN 978-3-7643-6064-1. MR 1711612 .
Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. (2013). Métodos de álgebra homológica . Springer. ISBN 978-3-662-12492-5.
Allegretti, Dylan GL "Conjuntos simpliciales y teorema de van Kampen" (PDF) . CiteSeerX 10.1.1.539.7411 . ( Introducción elemental a los conjuntos simpliciales)
Quillen, Daniel (1973). «Teoría K algebraica superior: I». En Bass, Hyman (ed.). Teorías K superiores . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 341. Springer-Verlag. pp. 85–147 . ISBN 3-540-06434-6.
Segal, Graeme B. (1974). "Categorías y teorías de cohomología". Topology . 13 (3): 293– 312. doi : 10.1016/0040-9383(74)90022-6 .

Lecturas adicionales

Riehl, Emily . "Una introducción pausada a los conjuntos simpliciales" (PDF) .
May, J. Peter . Objetos simpliciales en topología algebraica , University of Chicago Press, 1967.
Conjunto simplicial en el laboratorio n

[1] Eilenberg, Samuel; Zilber, JA (1950). "Complejos semisimpliciales y homología singular". Annals of Mathematics . 51 (3): 499– 513. doi : 10.2307/1969364 . JSTOR 1969364 .

[2] Gelfand y Manin 2013

[3] Goerss y Jardine 1999 , pág. 7

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