La espiral de Cotes

En física y en las matemáticas de las curvas planas , una espiral de Cotes (también escrita espiral de Cotes ) es una de una familia de espirales clasificadas por Roger Cotes .

Cotes introduce su análisis de estas curvas de la siguiente manera: “Se propone enumerar los diferentes tipos de trayectorias que pueden seguir los cuerpos cuando actúan sobre ellos fuerzas centrípetas en proporción inversa a los cubos de sus distancias, partiendo de un lugar dado, con una velocidad y dirección determinadas”. (N. b. no las describe como espirales). ^{[ 1 ]}

La forma de las espirales en la familia depende de los parámetros. Las curvas en coordenadas polares , ( r , θ ), r > 0 se definen mediante una de las siguientes cinco ecuaciones:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\begin{cases}A\cosh(k\theta +\varepsilon )\\A\exp(k\theta +\varepsilon )\\A\sinh(k\theta +\varepsilon )\\A(k\theta +\varepsilon )\\A\cos(k\theta +\varepsilon )\\\end{cases}}}$

A > 0, k > 0 y ε son constantes reales arbitrarias . A determina el tamaño, k determina la forma y ε determina la posición angular de la espiral.

Cotes se refería a las diferentes formas como "casos". Las ecuaciones de las curvas anteriores corresponden respectivamente a sus 5 casos. ^{[ 2 ]}

El diagrama muestra ejemplos representativos de las diferentes curvas. El centro está marcado con una 'O' y el radio desde O hasta la curva se muestra cuando θ es cero. El valor de ε es cero a menos que se indique lo contrario.

La primera y la tercera formas son las espirales de Poinsot ; la segunda es la espiral equiangular ; la cuarta es la espiral hiperbólica ; la quinta es la epiespiral .

Para obtener más información sobre sus propiedades, consulte las curvas individuales.

Las espirales de Cotes aparecen en la mecánica clásica como la familia de soluciones para el movimiento de una partícula que se mueve bajo una fuerza central inversa al cubo . Consideremos una fuerza central.

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=-{\frac {\mu }{r^{3}}}{\hat {\boldsymbol {r}}},}$

donde μ es la fuerza de atracción. Consideremos una partícula que se mueve bajo la influencia de la fuerza central, y sea h su momento angular específico , entonces la partícula se mueve a lo largo de una espiral de Cotes, con la constante k de la espiral dada por

${\displaystyle k={\sqrt {1-{\frac {\mu}{h^{2}}}}}}$

cuando μ < h ² ( forma coseno de la espiral), o

${\displaystyle k={\sqrt {{\frac {\mu}{h^{2}}}-1}}}$

Cuando μ > h² , la espiral tiene forma de Poinsot. Cuando ^μ = h² , la ^partícula sigue una espiral hiperbólica. La derivación se puede encontrar en las referencias. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

En la Harmonia Mensurarum (1722), Roger Cotes analizó varias espirales y otras curvas, como la Lituus . Describió las posibles trayectorias de una partícula en un campo de fuerza central de cubo inverso, que son las espirales de Cotes. El análisis se basa en el método del Libro 1 de los Principia , Proposición 42, donde se determina la trayectoria de un cuerpo bajo una fuerza central, velocidad inicial y dirección arbitrarias.

Dependiendo de la velocidad y la dirección iniciales, determina que hay 5 "casos" diferentes (excluyendo los triviales, el círculo y la línea recta que pasa por el centro).

Él señala que de las 5, "la primera y la última son descritas por Newton , mediante la cuadratura (es decir, la integración) de la hipérbola y la elipse".

El caso 2 es la espiral equiangular, que es la espiral por excelencia . Esto tiene gran importancia histórica, ya que en la Proposición 9 del Libro 1 de los Principia, Newton demuestra que si un cuerpo se mueve a lo largo de una espiral equiangular, bajo la acción de una fuerza central, esa fuerza debe ser la inversa del cubo del radio (incluso antes de su demostración, en la Proposición 11, de que el movimiento en una elipse dirigido hacia un foco requiere una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia).

Hay que reconocer que no todas las curvas se ajustan a la definición habitual de espiral. Por ejemplo, cuando la fuerza inversa del cubo es centrífuga (dirigida hacia afuera), de modo que μ < 0, la curva ni siquiera gira una vez sobre su centro. Esto se representa en el caso  5, la primera de las ecuaciones polares mostradas anteriormente, con k > 1 en este caso.

Samuel Earnshaw, en un libro publicado en 1826, utilizó el término «espirales de Cotes», por lo que la terminología ya se empleaba en aquella época. ^{[ 5 ]} Earnshaw describe claramente los 5 casos de Cotes y añade innecesariamente un sexto, que corresponde al caso en que la fuerza es centrífuga (repulsiva). Como se mencionó anteriormente, Cotes incluyó este caso en el  quinto.

Siguiendo a ET Whittaker , cuyo Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos (publicado por primera vez en 1904) solo enumeraba tres de las espirales de Cotes, ^{[ 6 ]} algunos autores posteriores han seguido su ejemplo. ^{[ 7 ]}

• Whittaker, ET (1927). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de los tres cuerpos (3.ª  ed.). Cambridge University Press. págs. 80–83 . 
• Roger Cotes (1722) Harmonia Mensuarum , págs.  31, 98.
• Isaac Newton (1687) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , Libro I, §2, Proposición 9, y §8, Proposición 42, Corolario 3, y §9, Proposición 43, Corolario 6
• Danby JM (1988). «El caso ƒ ( r ) = μ / r  ³ — Espiral de Cotes (§4.7)». Fundamentos de mecánica celeste (2.ª ed., ed  . revisada). Richmond, VA: Willmann-Bell. pp. 69–71 . ISBN  978-0-943396-20-0.
• Symon KR (1971). Mecánica (3.ª  ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. pág.  154. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Samuel Earnshaw (1832). Dinámica, o un tratado elemental sobre el movimiento y un breve tratado sobre las atracciones (1.ª  ed.). J. & JJ Deighton; y Whittaker, Treacher & Arnot. pág.  47.
• Kelley, J. Daniel; Leventhal, Jacob J. (noviembre de 2016). «Fuerzas centrales y órbitas». Problemas de mecánica clásica y cuántica . Springer International Publishing. págs. 67–94 . doi : 10.1007/978-3-319-46664-4_3 . ISBN  9783319466644.

• Weisstein, Eric W. " La espiral de Cotes " . MathWorld .