La conjetura de Cramér

En teoría de números , la conjetura de Cramér , formulada por el matemático sueco Harald Cramér en 1936, ^{[ 1 ]} es una estimación del tamaño de las brechas entre números primos consecutivos : intuitivamente, que las brechas entre primos consecutivos son siempre pequeñas, y la conjetura cuantifica asintóticamente cuán pequeñas deben ser. Afirma que

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}),}$

donde p _n denota el n -ésimo número primo , O es la notación O grande y "log" es el logaritmo natural . Si bien esta es la afirmación explícitamente conjeturada por Cramér, su heurística en realidad respalda la afirmación más fuerte.

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1,}$

A veces, esta formulación se denomina conjetura de Cramér. Sin embargo, esta versión más contundente no está respaldada por modelos heurísticos más precisos, que, no obstante, sí apoyan la primera versión de la conjetura de Cramér.

La forma más fuerte de todas, que Cramér nunca afirmó pero que es la que se utiliza en los cálculos de verificación experimental y en el gráfico de este artículo , es simplemente

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<(\log p_{n})^{2}.}$

lo cual es lo mismo que la conjetura de Mohebbi para valores grandes de${\displaystyle n}$:

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<p_{n}\left(p_{n}^{p_{n}^{\frac {1}{p_{n}}}-1}-1\right)}$.

Ninguna de las tres formas ha sido probada ni refutada todavía.

Cramér dio una prueba condicional de la afirmación mucho más débil de que

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})}$

bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann . ^{[ 1 ]} La cota incondicional más conocida es

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})}$

debido a Baker, Harman y Pintz . ^{[ 2 ]}

En la otra dirección, E. Westzynthius demostró en 1931 que las brechas primas crecen más que logarítmicamente. Es decir, ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

Su resultado fue mejorado por RA Rankin , ^{[ 4 ]} quien demostró que

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0.}$

Paul Erdős conjeturó que el lado izquierdo de la fórmula anterior es infinito, y esto fue demostrado en 2014 por Kevin Ford , Ben Green , Sergei Konyagin y Terence Tao , ^{[ 5 ]} e independientemente por James Maynard . ^{[ 6 ]} Los dos grupos de autores eliminaron uno de los factores de${\displaystyle \log \log \log p_{n}}$más tarde ese año, ^{[ 7 ]} demostrando que, infinitamente a menudo,

${\displaystyle \ {p_{n+1}-p_{n}}{>}{\frac {c\cdot \log p_{n}\cdot \log \log p_{n}\cdot \log \log \log \log p_{n}}{\log \log \log p_{n}}}}$

dónde${\displaystyle c>0}$es alguna constante.

La conjetura de Cramér se basa en un modelo probabilístico —esencialmente una heurística— en el que la probabilidad de que un número de tamaño x sea primo es 1/log x . Esto se conoce como el modelo aleatorio de Cramér o modelo de Cramér de los números primos. ^{[ 8 ]}

En el modelo aleatorio de Cramér,

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1}$

con probabilidad uno . ^{[ 1 ]} Sin embargo, como señaló Andrew Granville , ^{[ 9 ]} el teorema de Maier muestra que el modelo aleatorio de Cramér no describe adecuadamente la distribución de primos en intervalos cortos, y un refinamiento del modelo de Cramér que tiene en cuenta la divisibilidad por primos pequeños sugiere que el límite no debería ser 1, sino una constante.${\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots }$( OEIS : A125313  ), donde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni . János Pintz ha sugerido que el límite sup puede ser infinito, ^{[ 10 ]} y de manera similar Leonard Adleman y Kevin McCurley escriben

Como resultado del trabajo de H. Maier sobre las brechas entre primos consecutivos, la formulación exacta de la conjetura de Cramér ha sido puesta en duda [...] Todavía es probable que sea cierto que para cada constante${\displaystyle c>2}$, hay una constante${\displaystyle d>0}$de tal manera que exista un número primo entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle x+d(\log x)^{c}}$. ^{[ 11 ]}

De manera similar, Robin Visser escribe

De hecho, gracias al trabajo de Granville, actualmente se cree ampliamente que la conjetura de Cramér es falsa. En efecto, existen algunos teoremas sobre intervalos cortos entre números primos, como el teorema de Maier, que contradicen el modelo de Cramér. ^{[ 12 ]}

(Referencias internas eliminadas).

Daniel Shanks conjeturó la siguiente igualdad asintótica, más fuerte que la conjetura de Cramér, ^{[ 13 ]} para brechas récord: ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x.}$

JH Cadwell ^{[ 14 ]} ha propuesto la fórmula para las brechas máximas: ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x,}$ lo cual es formalmente idéntico a la conjetura de Shanks, pero sugiere un término de orden inferior.

Marek Wolf ^{[ 15 ]} ha propuesto la fórmula para las brechas máximas${\displaystyle G(x)}$ expresado en términos de la función de conteo de números primos${\displaystyle \pi (x)}$:

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),}$

dónde${\displaystyle c=\log(2C_{2})=0,2778769...}$y${\displaystyle C_{2}=0,6601618...}$es la constante de los primos gemelos ; véase OEIS : A005597  , A114907 . Esto es nuevamente formalmente equivalente a la conjetura de Shanks, pero sugiere términos de orden inferior.

${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.}$.

Thomas Nicely ha calculado muchas brechas primas grandes. ^{[ 16 ]} Mide la calidad del ajuste a la conjetura de Cramér midiendo la razón

${\displaystyle R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.}$

Él escribe: "Para las brechas máximas más grandes conocidas,${\displaystyle R}$se ha mantenido cerca de 1,13."

• Teorema de los números primos
• La conjetura de Legendre y la conjetura de Andrica , límites superiores mucho más débiles pero aún no probados para las brechas de los números primos.
• La conjetura de Firoozbakht
• El teorema de Maier sobre la cantidad de números primos en intervalos cortos para los cuales el modelo predice una respuesta incorrecta

• Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª  ed.). Springer-Verlag . A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 . 
• Pintz, János (2007). "Cramér vs. Cramér. Sobre el modelo probabilístico de números primos de Cramér" . Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 37 (2): 361– 376. doi : 10.7169/facm/1229619660 . ISSN 0208-6573 . SEÑOR 2363833 . Zbl 1226.11096 .   
• Soundararajan, K. (2007). «La distribución de los números primos». En Granville, Andrew ; Rudnick, Zeév (eds.). Equidistribución en la teoría de números: una introducción. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN sobre equidistribución en la teoría de números, Montreal, Canadá, 11-22 de julio de 2005. Serie Científica de la OTAN II: Matemáticas, Física y Química. Vol.  237. Dordrecht: Springer-Verlag . pp. 59-83 . ISBN  978-1-4020-5403-7. Zbl 1141.11043 . 

• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Cramér" . MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Cramér-Granville" . MathWorld .