Punto crítico (matemáticas)

En matemáticas , un punto crítico es el argumento de una función donde la derivada de la función es cero (o indefinida, como se especifica más adelante). El valor de la función en un punto crítico es unvalor crítico . ^{[ 1 ]}

Más específicamente, cuando se trata de funciones de una variable real , un punto crítico es un punto en el dominio de la función donde la derivada de la función es igual a cero (también conocido como punto estacionario ) o donde la función no es diferenciable . ^{[ 2 ]} De manera similar, cuando se trata de variables complejas , un punto crítico es un punto en el dominio de la función donde su derivada es igual a cero (o la función no es holomorfa ). ^{[ 3 ] [ 4 ]} Asimismo, para una función de varias variables reales , un punto crítico es un valor en su dominio donde la norma del gradiente es igual a cero (o indefinida). ^{[ 5 ]}

Este tipo de definición se extiende a mapas diferenciables entre${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$y​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$Un punto crítico es, en este caso, un punto donde elrango de la matriz jacobiana no es máximo. Se extiende más a mapas diferenciables entre variedades diferenciables , como los puntos donde el rango de la matriz jacobiana disminuye. En este caso, los puntos críticos también se denominan puntos de bifurcación . En particular, si C es una curva plana , definida por una ecuación implícita f ( x , y ) = 0 , los puntos críticos de la proyección sobre el eje x , paralela al eje y, son los puntos donde la tangente a C es paralela al eje y , es decir, los puntos donde${\textstyle {\frac {\f parcial}{\y parcial}}(x,y)=0}$En otras palabras , los puntos críticos son aquellos en los que no se aplica el teorema de la función implícita .

Un punto crítico de una función de una sola variable real , f ( x ) , es un valor x ≥ ₀ en el dominio de f donde f no es diferenciable o su derivada es 0 (es decir,${\displaystyle f'(x_{0})=0}$). ^{[ 2 ]} Un valor crítico es la imagen bajo f de un punto crítico. Estos conceptos pueden visualizarse a través de la gráfica de f : en un punto crítico, la gráfica tiene una tangente horizontal si se puede asignar una.

Observe cómo, para una función diferenciable , el punto crítico es el mismo que el punto estacionario .

Aunque se visualiza fácilmente en el gráfico (que es una curva), la noción de punto crítico de una función no debe confundirse con la noción de punto crítico, en alguna dirección, de una curva (véase más abajo para una definición detallada). Si g ( x , y ) es una función diferenciable de dos variables, entonces g ( x , y ) = 0 es la ecuación implícita de una curva. Un punto crítico de dicha curva, para la proyección paralela al eje y (la aplicación ( x , y ) → x ), es un punto de la curva donde${\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.}$Esto significa que la tangente de la curva es paralela al eje y , y que, en este punto, g no define una función implícita de x a y (véase el teorema _de la función implícita ). Si ( x₀ _, y₀ ) es un punto crítico, entonces x₀ es el valor crítico correspondiente . Dicho punto crítico también se denomina punto de bifurcación , ya que, generalmente, cuando x varía, existen dos ramas de la curva: una a un lado de _{x₀ y} otra a cero.

De estas definiciones se deduce que una función diferenciable f ( x ) tiene un punto crítico x ₀ con valor crítico y ₀ , si y solo si ( x ₀ , y ₀ ) es un punto crítico de su gráfica para la proyección paralela al eje x , con el mismo valor crítico y ₀ . Si f no es diferenciable en x ₀ debido a que la tangente se vuelve paralela al eje y , entonces x ₀ es nuevamente un punto crítico de f , pero ahora ( x ₀ , y ₀ ) es un punto crítico de su gráfica para la proyección paralela al eje y .

Por ejemplo, los puntos críticos del círculo unitario de la ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$son (0, 1) y (0, -1) para la proyección paralela al eje x , y (1, 0) y (-1, 0) para la dirección paralela al eje y . Si se considera el semicírculo superior como la gráfica de la función${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$, entonces x = 0 es un punto crítico con valor crítico 1 debido a que la derivada es igual a 0, y x = ±1 son puntos críticos con valor crítico 0 debido a que la derivada no está definida.

Los puntos críticos desempeñan un papel importante en el estudio de curvas planas definidas por ecuaciones implícitas , en particular para su representación gráfica y la determinación de su topología . La noción de punto crítico que se utiliza en esta sección puede parecer diferente a la de la sección anterior. De hecho, se trata de una especialización a un caso simple de la noción general de punto crítico que se presenta a continuación .

Así pues, consideramos una curva C definida por una ecuación implícita.${\displaystyle f(x,y)=0}$donde f es una función diferenciable de dos variables, comúnmente un polinomio bivariado . Los puntos de la curva son los puntos del plano euclidiano cuyas coordenadas cartesianas satisfacen la ecuación. Hay dos proyecciones estándar.${\displaystyle \pi _{y}}$y${\displaystyle \pi _{x}}$, definido por${\displaystyle \pi _ {y}((x,y))=x}$y${\displaystyle \pi _ {x}((x,y))=y,}$que proyectan la curva sobre los ejes de coordenadas . Se denominan proyección paralela al eje y y proyección paralela al eje x , respectivamente.

Un punto C es crítico para${\displaystyle \pi _{y}}$, si la tangente a C existe y es paralela al eje y . En ese caso, las imágenes por${\displaystyle \pi _{y}}$del punto crítico y de la tangente son el mismo punto del eje x , llamado valor crítico . Por lo tanto, un punto de C es crítico para${\displaystyle \pi _{y}}$si sus coordenadas son una solución del sistema de ecuaciones :

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$

Esto implica que esta definición es un caso especial de la definición general de punto crítico, que se da a continuación .

La definición de un punto crítico para${\displaystyle \pi _{x}}$es similar. Si C es la gráfica de una función${\displaystyle y=g(x)}$, entonces ( x , y ) es crítico para${\displaystyle \pi _{x}}$si y solo si x es un punto crítico de g , y que los valores críticos son los mismos.

Algunos autores definen los puntos críticos de C como los puntos que son críticos para cualquiera de ellos.${\displaystyle \pi _{x}}$o${\displaystyle \pi _{y}}$, aunque dependen no solo de C , sino también de la elección de los ejes de coordenadas. También depende de los autores si los puntos singulares se consideran puntos críticos. De hecho, los puntos singulares son los puntos que satisfacen

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$,

y son, por lo tanto, soluciones de cualquiera de los sistemas de ecuaciones que caracterizan los puntos críticos. Con esta definición más general, los puntos críticos para${\displaystyle \pi _{y}}$Son precisamente los puntos donde no se aplica el teorema de la función implícita .

Para una función de varias variables reales , un punto P (es decir, un conjunto de valores para las variables de entrada, que se considera un punto en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ )​​escríticosi es un punto donde elgradientees cero o indefinido. ^{[ 5 ]} Los valores críticos son los valores de la función en los puntos críticos.

Un punto crítico (donde la función es diferenciable) puede ser un máximo local , un mínimo local o un punto de silla . Si la función es al menos dos veces continuamente diferenciable, los distintos casos pueden distinguirse considerando los valores propios de la matriz hessiana de segundas derivadas.

Un punto crítico en el que la matriz hessiana es no singular se denomina no degenerado , y los signos de los autovalores de la hessiana determinan el comportamiento local de la función. En el caso de una función de una sola variable, la hessiana es simplemente la segunda derivada , vista como una matriz de 1×1, que es no singular si y solo si no es cero. En este caso, un punto crítico no degenerado es un máximo local o un mínimo local, dependiendo del signo de la segunda derivada, que es positivo para un mínimo local y negativo para un máximo local. Si la segunda derivada es nula, el punto crítico suele ser un punto de inflexión , pero también puede ser un punto de ondulación , que puede ser un mínimo local o un máximo local.

Para una función de n variables, el número de autovalores negativos de la matriz hessiana en un punto crítico se denomina índice del punto crítico. Un punto crítico no degenerado es un máximo local si y solo si el índice es n , o, equivalentemente, si la matriz hessiana es definida negativa ; es un mínimo local si el índice es cero, o, equivalentemente, si la matriz hessiana es definida positiva . Para los demás valores del índice, un punto crítico no degenerado es un punto de silla , es decir, un punto que es un máximo en algunas direcciones y un mínimo en otras.

Dado un mapa diferenciable${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},}$Los puntos críticos de f son los puntos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$donde el rango de la matriz jacobiana de f no es máximo. ^{[ 6 ]} La imagen de un punto crítico bajo f se llama valor crítico. Un punto en el complemento del conjunto de valores críticos se llama valor regular . El teorema de Sard establece que el conjunto de valores críticos de una aplicación suave tiene medida cero .

Algunos autores ^{[ 7 ]} dan una definición ligeramente diferente: un punto crítico de f es un punto de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$donde el rango de la matriz jacobiana de f es menor que n . Con esta convención, todos los puntos son críticos cuando m < n .

Estas definiciones se extienden a aplicaciones diferenciales entre variedades diferenciables de la siguiente manera. Sea${\displaystyle f:V\to W}$Sea f(p) una aplicación diferencial entre dos variedades V y W de dimensiones respectivas m y n . En la vecindad de un punto p de V y de f ( p ) , las cartas son difeomorfismos.${\displaystyle \varphi :V\to \mathbb {R} ^{m}}$y${\displaystyle \psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.}$El punto p es crítico para f si${\displaystyle \varphi (p)}$es fundamental para${\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.}$Esta definición no depende de la elección de los gráficos porque los mapas de transición son difeomorfismos, sus matrices jacobianas son invertibles y multiplicar por ellos no modifica el rango de la matriz jacobiana de${\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.}$Si M es una variedad de Hilbert (no necesariamente de dimensión finita) y f es una función de valores reales, entonces decimos que p es un punto crítico de f si f no es una submersión en p . ^{[ 8 ]}

Los puntos críticos son fundamentales para estudiar la topología de las variedades y las variedades algebraicas reales . ^{[ 1 ]} En particular, son la herramienta básica para la teoría de Morse y la teoría de catástrofes .

El vínculo entre puntos críticos y topología ya aparece en un nivel de abstracción inferior. Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle V}$ser una subvariedad de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$y P sea un punto exterior${\displaystyle V.}$El cuadrado de la distancia a P de un punto de${\displaystyle V}$es un mapa diferencial tal que cada componente conexo de${\displaystyle V}$contiene al menos un punto crítico, donde la distancia es mínima. De ello se deduce que el número de componentes conexas de${\displaystyle V}$está limitado superiormente por el número de puntos críticos.

En el caso de las variedades algebraicas reales, esta observación asociada al teorema de Bézout nos permite acotar el número de componentes conexas mediante una función de los grados de los polinomios que definen la variedad.

• Punto singular de una curva
• teoría de la singularidad
• Línea nula