teoría de la bifurcación

Una bifurcación local se produce cuando un cambio de parámetro altera la estabilidad de un punto de equilibrio (o punto fijo). En sistemas continuos, esto corresponde a que la parte real de un autovalor de un punto de equilibrio pase por cero. En sistemas discretos (descritos mediante funciones), esto corresponde a un punto fijo con un multiplicador de Floquet de módulo uno. En ambos casos, el punto de equilibrio no es hiperbólico en el punto de bifurcación. Los cambios topológicos en el retrato de fase del sistema pueden limitarse a entornos arbitrariamente pequeños de los puntos fijos de bifurcación al acercar el parámetro de bifurcación al punto de bifurcación (de ahí el término "local").

En términos más técnicos, consideremos el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria (EDO). $${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}.}$$ Se produce una bifurcación local en${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$si la matriz jacobiana${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$tiene un valor propio con parte real cero. Si el valor propio es igual a cero, la bifurcación es una bifurcación de estado estacionario, pero si el valor propio es distinto de cero pero puramente imaginario, se trata de una bifurcación de Hopf .

Para sistemas dinámicos discretos, considere el sistema $${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n},\lambda ).}$$ Luego se produce una bifurcación local en${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$si la matriz${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$tiene un valor propio con módulo igual a uno. Si el valor propio es igual a uno, la bifurcación es de tipo silla-nodo (a menudo llamada bifurcación de pliegue en mapas), transcrítica o de horquilla. Si el valor propio es igual a  -1, es una bifurcación de duplicación de período (o de inversión), y en caso contrario, es una bifurcación de Hopf.

Algunos ejemplos de bifurcaciones locales son:

• Bifurcación de nodo de silla (pliegue)
• Bifurcación transcrítica
• bifurcación en horquilla
• Bifurcación de duplicación de período (flip)
• bifurcación de Hopf
• Bifurcación de Neimark-Sacker (Hopf secundaria)

Las bifurcaciones globales se producen cuando conjuntos invariantes de mayor tamaño, como las órbitas periódicas, colisionan con los equilibrios. Esto provoca cambios en la topología de las trayectorias en el espacio de fases que no pueden limitarse a un entorno reducido, como ocurre con las bifurcaciones locales. De hecho, los cambios topológicos se extienden a una distancia arbitrariamente grande (de ahí el término "global").

Algunos ejemplos de bifurcaciones globales son:

• Bifurcación homoclinica en la que un ciclo límite colisiona con un punto de silla . ^{[ 3 ]} La variante anterior es la  bifurcación homoclinica "pequeña" o de "tipo I". En 2D también existe la  bifurcación homoclinica "grande" o de "tipo II" en la que la órbita homoclinica "atrapa" los otros extremos de las variedades inestables y estables del punto de silla. En tres o más dimensiones, pueden ocurrir bifurcaciones de codimensión superior, produciendo dinámicas complejas, posiblemente caóticas .
• Bifurcación heteroclínica en la que un ciclo límite colisiona con dos o más puntos de silla; involucran un ciclo heteroclínico . ^{[ 4 ]} Las bifurcaciones heteroclínicas son de dos tipos: bifurcaciones de resonancia y bifurcaciones transversales. Ambos tipos de bifurcación resultarán en un cambio de estabilidad del ciclo heteroclínico. En una bifurcación de resonancia, la estabilidad del ciclo cambia cuando se satisface una condición algebraica sobre los autovalores de los equilibrios en el ciclo. Esto generalmente va acompañado por el nacimiento o la muerte de una órbita periódica . Una bifurcación transversal de un ciclo heteroclínico se produce cuando la parte real de un autovalor transversal de uno de los equilibrios en el ciclo pasa por cero. Esto también causará un cambio en la estabilidad del ciclo heteroclínico.
• Bifurcación de período infinito en la que un nodo estable y un punto de silla ocurren simultáneamente en un ciclo límite. ^{[ 5 ]} A medida que el límite de un parámetro se aproxima a un cierto valor crítico, la velocidad de la oscilación disminuye y el período tiende a infinito. La bifurcación de período infinito ocurre en este valor crítico. Más allá del valor crítico, los dos puntos fijos emergen continuamente uno del otro en el ciclo límite para interrumpir la oscilación y formar dos puntos de silla .
• Catástrofe de cielo azul en la que un ciclo límite choca con un ciclo no hiperbólico.

Las bifurcaciones globales también pueden involucrar conjuntos más complicados, como atractores caóticos (por ejemplo, crisis ).

• Ejemplos de bifurcaciones
• 
  En el sistema se produce una bifurcación de Hopf.${\displaystyle {\dot {x}}=\mu x+yx^{2}}$y${\displaystyle {\dot {y}}=-x+\mu y+2x^{2}}$, cuando${\displaystyle \mu =0}$, alrededor del origen. Se produce una bifurcación homoclinica alrededor${\displaystyle \mu =0,06605695}$.
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  Una vista detallada de la bifurcación homoclinica
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  Como${\displaystyle \mu }$A medida que aumenta desde cero, emerge un ciclo límite estable del origen mediante una bifurcación de Hopf. Aquí representamos gráficamente el ciclo límite paramétricamente, hasta el orden${\displaystyle \mu ^{3/2}}$El cálculo exacto se explica en la página de la bifurcación de Hopf .