Multiplicación cruzada

En matemáticas , específicamente en aritmética elemental y álgebra elemental , dada una ecuación entre dos fracciones o expresiones racionales , se puede realizar una multiplicación cruzada para simplificar la ecuación o determinar el valor de una variable.

Este método también se conoce ocasionalmente como el método de "cruzar los dedos" porque se pueden dibujar líneas que se asemejan al contorno de un corazón para recordar qué cantidades hay que multiplicar.

Dada una ecuación como

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

donde b y d no son cero, se puede multiplicar en cruz para obtener

${\displaystyle ad=bc\quad {\text{o}}\quad a={\frac {bc}{d}}.}$

En geometría euclidiana, el mismo cálculo se puede lograr considerando las razones como las de triángulos semejantes .

En la práctica, el método de multiplicación cruzada significa que multiplicamos el numerador de cada lado (o de uno de ellos) por el denominador del otro lado, lo que efectivamente implica el cruce de los términos:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}},\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}$

La justificación matemática del método proviene del siguiente procedimiento matemático más extenso. Si comenzamos con la ecuación básica

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

Podemos multiplicar los términos de cada lado por el mismo número, y los términos permanecerán iguales. Por lo tanto, si multiplicamos la fracción de cada lado por el producto de los denominadores de ambos lados — bd — obtenemos

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}$

Podemos reducir las fracciones a su mínima expresión observando que las dos apariciones de b en el lado izquierdo se cancelan, al igual que las dos apariciones de d en el lado derecho, quedando

${\displaystyle ad=bc,}$

y podemos dividir ambos lados de la ecuación por cualquiera de los elementos; en este caso usaremos d, obteniendo

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}}.}$

Otra justificación de la multiplicación cruzada es la siguiente. Partiendo de la ecuación dada

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

multiplicar por ⁠ d / d ⁠ = 1 a la izquierda y por ⁠ b / b ⁠ = 1 a la derecha, obteniendo

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}},}$

y entonces

${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$

Cancelar el denominador común bd = db , dejando

${\displaystyle ad=cb.}$

Cada paso de estos procedimientos se basa en una única propiedad fundamental de las ecuaciones . La multiplicación cruzada es un atajo, un procedimiento fácil de entender que se puede enseñar a los estudiantes.

Este es un procedimiento común en matemáticas, utilizado para reducir fracciones o calcular un valor para una variable dada en una fracción. Si tenemos una ecuación

${\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}},}$

donde x es una variable que nos interesa resolver, podemos usar la multiplicación cruzada para determinar que

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}$

Por ejemplo, supongamos que queremos saber qué distancia recorrerá un automóvil en 7  horas, si sabemos que su velocidad es constante y que ya ha recorrido 90  millas en las últimas 3  horas. Al convertir el problema verbal en proporciones, obtenemos:

${\displaystyle {\frac {x}{7\ {\text{hours}}}}={\frac {90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}}.}$

La multiplicación cruzada produce

${\displaystyle x={\frac {7\ {\text{hours}}\times 90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}},}$

y entonces

${\displaystyle x=210\ {\text{miles}}.}$

Solución alternativa

90 millas / 3 horas = 30 mph

Entonces, 30 mph × 7 horas = 210 millas.

Tenga en cuenta que incluso ecuaciones simples como

${\displaystyle a={\frac {x}{d}}}$

se resuelven mediante multiplicación cruzada, ya que el término b faltante es implícitamente igual a 1:

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}$

Cualquier ecuación que contenga fracciones o expresiones racionales se puede simplificar multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador . Este paso se llama simplificar fracciones .

La regla de tres ^{[ 1 ]} era una versión abreviada histórica de una forma particular de multiplicación cruzada que se podía enseñar a los estudiantes de memoria. Se consideraba la cúspide de la enseñanza de las matemáticas coloniales ^{[ 2 ]} y aún figura en el currículo nacional francés para la educación secundaria ^{[ 3 ]} y en el currículo de educación primaria de España ^{[ 4 ] .}

Para una ecuación de la forma

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},}$

donde la variable a evaluar está en el denominador derecho, la regla de tres establece que

${\displaystyle x={\frac {bc}{a}}.}$

En este contexto, a se denomina el extremo de la proporción, y b y c se denominan los medios .

Esta regla ya era conocida por los matemáticos chinos antes del siglo II d.C., ^{[ 5 ]} aunque no se utilizó en Europa hasta mucho más tarde.

El libro de texto de aritmética de Cocker , el principal libro de texto del siglo XVII, introduce su explicación de la regla de tres ^{[ 6 ]} con el problema "¿Si 4  yardas de tela cuestan 12  chelines, cuánto costarán 6  yardas a ese precio?". La regla de tres da la respuesta a este problema directamente; mientras que en la aritmética moderna, lo resolveríamos introduciendo una variable x para representar el costo de 6  yardas de tela, escribiendo la ecuación.

${\displaystyle {\frac {4\ {\text{yards}}}{12\ {\text{shillings}}}}={\frac {6\ {\text{yards}}}{x}}}$

y luego usando la multiplicación cruzada para calcular x :

${\displaystyle x={\frac {12\ {\text{shillings}}\times 6\ {\text{yards}}}{4\ {\text{yards}}}}=18\ {\text{shillings}}.}$

Un manuscrito anónimo fechado en 1570 ^{[ 7 ]} decía: "La multiplicación es una molestia, / la división es igual de mala; / la regla de tres me desconcierta, / y la práctica me vuelve loco".

Charles Darwin se refiere a su uso de la regla de tres para estimar el número de especies en un género recién descubierto. ^{[ 8 ]} En una carta a William Darwin Fox en 1855, Charles Darwin declaró: «No tengo fe en nada que no sea la medición real y la regla de tres». ^{[ 9 ]} Karl Pearson adoptó esta declaración como lema de su recién fundada revista Biometrika . ^{[ 10 ]}

• Relación cruzada
• Razón de probabilidades
• Trairāśika
• Giro (ángulo)
• Método unitario

• Brian Burell: Guía de matemáticas cotidianas de Merriam-Webster: Una referencia para el hogar y el negocio . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213págs. 85-101
• 'Dr. Matemáticas', Regla de tres
• 'Dr. Matemáticas', Abraham Lincoln y la regla de tres
• Sistema aritmético de Pike abreviado: diseñado para facilitar el estudio de la ciencia de los números, que comprende las reglas más claras y precisas, ilustradas con ejemplos útiles; al que se añaden preguntas apropiadas para el examen de los estudiantes y un breve sistema de contabilidad. , 1827 - facsímil de la sección correspondiente
• La regla de tres aplicada por Miguel de Rodas en el siglo XV.
• La regla de tres en Mamá Ganso
• Rudyard Kipling: Puedes resolverlo con fracciones o con la simple regla de tres, pero el camino de Tweedle-dum no es el camino de Tweedle-dee.

• Contenido multimedia relacionado con la multiplicación cruzada en Wikimedia Commons.