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Retícula de Bravais

Los siete sistemas reticulares y sus redes de Bravais en tres dimensiones En geometría y cristalografía , una red de Bravais , llamada así en honor a Auguste Bravais ( 1850 ) , ...

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Los siete sistemas reticulares y sus redes de Bravais en tres dimensiones

En geometría y cristalografía , una red de Bravais , llamada así en honor a Auguste Bravais ( 1850 ) , [ 1 ] es una matriz infinita de puntos discretos generados por un conjunto de operaciones de traslación discretas descritas en el espacio tridimensional por 

R=norte1a1+norte2a2+norte3a3,{\displaystyle \mathbf {R} =n_ {1}\mathbf {a} _ {1}+n_ {2}\mathbf {a} _ {2}+n_ {3}\mathbf {a} _ {3},}

donde los n i son enteros cualesquiera, y a i son vectores de traslación primitivos , o vectores primitivos , que se encuentran en diferentes direcciones (no necesariamente perpendiculares entre sí) y abarcan la red. La elección de vectores primitivos para una red de Bravais dada no es única. Un aspecto fundamental de cualquier red de Bravais es que, para cualquier elección de dirección, la red se ve exactamente igual desde cada uno de los puntos discretos de la red cuando se observa en esa dirección elegida.

El concepto de red de Bravais se utiliza para definir formalmente una disposición cristalina y sus fronteras (finitas). Un cristal está formado por uno o más átomos, denominados base o motivo , en cada punto de la red. La base puede consistir en átomos , moléculas o cadenas poliméricas de materia sólida , y la red proporciona la ubicación de dicha base.

Dos retículos de Bravais se consideran equivalentes si tienen grupos de simetría isomorfos . En este sentido, existen 5 retículos de Bravais posibles en el espacio bidimensional y 14 en el espacio tridimensional. Los 14 grupos de simetría posibles de los retículos de Bravais corresponden a 14 de los 230 grupos espaciales . En el contexto de la clasificación de grupos espaciales, los retículos de Bravais también se denominan clases de Bravais, clases aritméticas de Bravais o grupos de Bravais. [ 2 ]

Celda unitaria

En cristalografía, existe el concepto de celda unitaria que comprende el espacio entre puntos de la red adyacentes, así como cualquier átomo en ese espacio. Una celda unitaria se define como un espacio que, cuando se traslada a través de un subconjunto de todos los vectores descritos porR=norte1a1+norte2a2+norte3a3{\displaystyle \mathbf {R} =n_ {1}\mathbf {a} _ {1}+n_ {2}\mathbf {a} _ {2}+n_ {3}\mathbf {a} _ {3}}, llena el espacio reticular sin superposiciones ni huecos. (Es decir, un espacio reticular es un múltiplo de una celda unitaria). [ 3 ]

Existen principalmente dos tipos de celdas unitarias: celdas unitarias primitivas y celdas unitarias convencionales. Una celda primitiva es el componente más pequeño de una red (o cristal) que, al apilarse mediante operaciones de traslación de la red, reproduce la red (o cristal) completa. [ 4 ] Cabe señalar que las traslaciones deben ser operaciones de traslación de la red que hagan que esta parezca inalterada después de la traslación. Si se permitieran traslaciones arbitrarias, se podría crear una celda primitiva de la mitad del tamaño de la verdadera y trasladarla el doble de veces, por ejemplo.

Otra forma de definir el tamaño de una celda primitiva, evitando operaciones de traslación de la red, consiste en decir que la celda primitiva es el componente más pequeño posible de una red (o cristal) que se puede repetir para reproducir toda la red (o cristal) y que contiene exactamente un punto de la red. En ambas definiciones, la celda primitiva se caracteriza por su pequeño tamaño.

Es evidente que existen muchas opciones de celdas que pueden reproducir la red completa al apilarse (por ejemplo, dos mitades de la red), y el requisito de tamaño mínimo distingue a la celda primitiva de todas las demás unidades repetitivas válidas. Si la red o el cristal es bidimensional, la celda primitiva tiene un área mínima; de igual modo, en tres dimensiones, la celda primitiva tiene un volumen mínimo.

A pesar de este estricto requisito de tamaño mínimo, no existe una única celda unitaria primitiva. De hecho, todas las celdas cuyos límites sean vectores de traslación primitivos serán celdas unitarias primitivas. El hecho de que no exista una única elección de vectores de traslación primitivos para una red dada da lugar a la multiplicidad de posibles celdas unitarias primitivas. Por otro lado, las celdas unitarias convencionales no son necesariamente celdas de tamaño mínimo. Se eligen simplemente por conveniencia y se utilizan a menudo con fines ilustrativos. Su definición es imprecisa.

celda unitaria primitiva

Las celdas unitarias primitivas se definen como aquellas con el menor volumen para un cristal dado. (Un cristal es una red y una base en cada punto de la red). Para tener el menor volumen, una celda unitaria primitiva debe contener (1) un solo punto de la red y (2) la cantidad mínima de constituyentes de la base (por ejemplo, el número mínimo de átomos en una base). Para el primer requisito, el número de puntos de la red en una celda unitaria se cuenta de tal manera que, si un punto de la red es compartido por m celdas unitarias adyacentes alrededor de ese punto, entonces el punto se cuenta como 1/ m . El segundo requisito es necesario ya que existen cristales que pueden describirse mediante más de una combinación de red y base. Por ejemplo, un cristal, visto como una red con un solo tipo de átomo ubicado en cada punto de la red (la forma de base más simple), también puede verse como una red con una base de dos átomos. En este caso, una celda unitaria primitiva es una celda unitaria que tiene solo un punto de la red en la primera forma de describir el cristal para garantizar el menor volumen de celda unitaria posible.

Puede haber más de una forma de elegir una celda primitiva para un cristal dado, y cada elección tendrá una forma de celda primitiva diferente, pero el volumen de la celda primitiva es el mismo para cada elección y cada elección tendrá la propiedad de que se puede establecer una correspondencia uno a uno entre las celdas unitarias primitivas y los puntos de la red discretos sobre la red asociada. Todas las celdas unitarias primitivas con diferentes formas para un cristal dado tienen el mismo volumen por definición; para un cristal dado, si n es la densidad de puntos de la red en una red que asegura la cantidad mínima de constituyentes base y v es el volumen de una celda primitiva elegida, entonces nv = 1 resultando en v = 1/ n , por lo que cada celda primitiva tiene el mismo volumen de 1/ n . [ 3 ]

Entre todas las posibles celdas primitivas para un cristal dado, una celda primitiva obvia puede ser el paralelepípedo formado por un conjunto elegido de vectores de traslación primitivos. (Nuevamente, estos vectores deben formar una red con la cantidad mínima de constituyentes base). [ 3 ] Es decir, el conjunto de todos los puntosr=incógnita1a1+incógnita2a2+incógnita3a3{\displaystyle \mathbf {r} =x_ {1}\mathbf {a} _ {1}+x_ {2}\mathbf {a} _ {2}+x_ {3}\mathbf {a} _ {3}}dónde0≤incógnitai<1{\displaystyle 0\leq x_{i}<1}yai{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}es el vector primitivo elegido. Esta celda primitiva no siempre muestra la simetría clara de un cristal dado. En este caso, se suele utilizar una celda unitaria convencional que muestra fácilmente la simetría del cristal. El volumen de la celda unitaria convencional será un múltiplo entero del volumen de la celda unitaria primitiva.

Origen del concepto

En dos dimensiones, cualquier red se puede especificar mediante la longitud de sus dos vectores de traslación primitivos y el ángulo entre ellos. De esta forma, se puede describir un número infinito de redes posibles. Se busca una manera de categorizar los diferentes tipos de redes. Una forma de hacerlo es reconocer que algunas redes poseen simetría inherente. Se pueden imponer condiciones a la longitud de los vectores de traslación primitivos y al ángulo entre ellos para producir diversas redes simétricas. Estas simetrías, a su vez, se clasifican en diferentes tipos, como grupos puntuales (que incluyen simetrías especulares, de inversión y de rotación ) y simetrías traslacionales. Por lo tanto, las redes se pueden categorizar según el grupo puntual o la simetría traslacional que les corresponda.

En dos dimensiones, el grupo puntual más básico corresponde a la invariancia rotacional bajo 2π y π, o simetría rotacional de orden 1 y 2. Esto se aplica automáticamente a todas las redes 2D y es el grupo puntual más general. Las redes contenidas en este grupo (técnicamente todas las redes, pero convencionalmente todas las redes que no pertenecen a ninguno de los otros grupos puntuales) se denominan redes oblicuas. A partir de ahí, existen cuatro combinaciones adicionales de grupos puntuales con elementos traslacionales (o, equivalentemente, cuatro tipos de restricción en las longitudes/ángulos de los vectores de traslación primitivos) que corresponden a las cuatro categorías de redes restantes: cuadrada, hexagonal, rectangular y rectangular centrada. Por lo tanto, en total hay cinco redes de Bravais en dos dimensiones.

Asimismo, en tres dimensiones existen 14 redes de Bravais: una categoría general tipo "cesta" (triclínica) y otras 13 categorías. Estos 14 tipos de redes se clasifican, según sus grupos puntuales, en 7 sistemas reticulares (triclínica, monoclínica, ortorrómbica, tetragonal, cúbica, romboédrica y hexagonal).

En 2 dimensiones

En el espacio bidimensional hay 5 redes de Bravais, [ 5 ] agrupadas en cuatro sistemas de redes , que se muestran en la tabla siguiente. Debajo de cada diagrama se encuentra el símbolo de Pearson para esa red de Bravais.

Nota: En los diagramas de celdas unitarias de la siguiente tabla, los puntos de la red se representan con círculos negros y las celdas unitarias con paralelogramos (que pueden ser cuadrados o rectángulos) delineados en negro. Si bien cada uno de los cuatro vértices de cada paralelogramo se conecta a un punto de la red, técnicamente solo uno de los cuatro puntos pertenece a una celda unitaria determinada, y los otros tres pertenecen a una de las celdas unitarias adyacentes. Esto se puede observar imaginando que el paralelogramo de la celda unitaria se desplaza ligeramente hacia la izquierda y hacia abajo, manteniendo fijos los círculos negros que representan los puntos de la red.

Las celdas unitarias se definen según las longitudes relativas de sus aristas ( a y b ) y el ángulo entre ellas ( θ ) . El área de la celda unitaria se calcula evaluando la norma ‖a × b‖ , donde a y b son los vectores de la red. Las propiedades de los sistemas reticulares se describen a continuación:

En 3 dimensiones

Celdas unitarias de 2 × 2 × 2 de una red cúbica de diamante.

En el espacio tridimensional existen 14 redes de Bravais. Estas se obtienen combinando uno de los siete sistemas de redes con uno de los tipos de centrado. Los tipos de centrado identifican las ubicaciones de los puntos de la red en la celda unitaria de la siguiente manera:

  • Primitivo (P): puntos de la red solo en las esquinas de la celda (a veces llamado simple)
  • Centrado en la base (S: A, B o C): puntos de la red en las esquinas de la celda con un punto adicional en el centro de cada cara de un par de caras paralelas de la celda (a veces llamado centrado en el extremo).
  • Centrado en el cuerpo (I): puntos de la red en las esquinas de la célula, con un punto adicional en el centro de la célula.
  • Centrado en las caras (F): puntos de la red en las esquinas de la celda, con un punto adicional en el centro de cada una de las caras de la celda.

No se necesitan todas las combinaciones de sistemas reticulares y tipos de centrado para describir todas las redes posibles, ya que se puede demostrar que varias de ellas son, de hecho, equivalentes entre sí. Por ejemplo, la red monoclínica I puede describirse mediante una red monoclínica C con una elección diferente de ejes cristalinos. De manera similar, todas las redes centradas en A o B pueden describirse mediante un centrado en C o P. Esto reduce el número de combinaciones a 14 redes de Bravais convencionales, que se muestran en la tabla siguiente. [ 6 ] : 744 Debajo de cada diagrama se encuentra el símbolo de Pearson para esa red de Bravais.

Nota: En los diagramas de celdas unitarias de la siguiente tabla, se muestran todos los puntos de la red en el límite de la celda (esquinas y caras); sin embargo, no todos estos puntos pertenecen técnicamente a la celda unitaria dada. Esto se puede observar imaginando que la celda unitaria se mueve ligeramente en la dirección negativa de cada eje, manteniendo fijos los puntos de la red. En términos generales, esto se puede considerar como mover la celda unitaria ligeramente hacia la izquierda, ligeramente hacia abajo y ligeramente hacia fuera de la pantalla. Esto demuestra que solo uno de los ocho puntos de la red de las esquinas (específicamente el frontal, el izquierdo y el inferior) pertenece a la celda unitaria dada (los otros siete puntos de la red pertenecen a celdas unitarias adyacentes). Además, solo uno de los dos puntos de la red mostrados en la cara superior e inferior en la columna "Centrado en la base" pertenece a la celda unitaria dada. Finalmente, solo tres de los seis puntos de la red en las caras en la columna "Centrado en la cara" pertenecen a la celda unitaria dada.

Las celdas unitarias se especifican según seis parámetros de red , que son las longitudes relativas de las aristas de la celda ( a , b , c ) y los ángulos entre ellas ( α , β , γ ), donde α es el ángulo entre b y c , β es el ángulo entre a y c , y γ es el ángulo entre a y b . El volumen de la celda unitaria se puede calcular evaluando el producto triple a · ( b × c ) , donde a , b y c son los vectores de la red. Las propiedades de los sistemas de red se detallan a continuación:

En el diagrama que aparece al inicio de esta página se resume información básica sobre los sistemas reticulares y las redes de Bravais en tres dimensiones. El polígono de siete lados (heptágono) y el número 7 en el centro indican los siete sistemas reticulares. Los heptágonos interiores representan los ángulos reticulares, los parámetros reticulares, las redes de Bravais y la notación de Schönflies correspondientes a cada sistema reticular.

En 4 dimensiones

En cuatro dimensiones, existen 64 redes de Bravais. De estas, 23 son primitivas y 41 están centradas. Diez redes de Bravais se dividen en pares enantiomórficos . [ 7 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Aroyo, Mois I.; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans (2006). "Introducción histórica" . Tablas internacionales de cristalografía . A1 (1.1): 2– 5. CiteSeerX 10.1.1.471.4170 . doi : 10.1107/97809553602060000537 . Archivado del original el 21 de agosto de 2019. Recuperado el 21 de abril de 2008 . 
  2. ↑ "Clase Bravais" . Diccionario en línea de cristalografía . IUCr . Consultado el 8 de agosto de 2019 .
  3. 1 2 3 Ashcroft, Neil; Mermin, Nathaniel (1976). Física del estado sólido . Saunders College Publishing. págs. 71–72 . ISBN  0030839939.
  4. ↑ Peidong Yang (2016). "Materiales y Química del Estado Sólido (apuntes del curso)" (PDF) . UC Berkeley. Química 253.
  5. ↑ Kittel, Charles (1996) [1953]. «Capítulo 1» . Introducción a la física del estado sólido (séptima ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. pág. 10. ISBN   978-0-471-11181-8Consultado el 21 de abril de 2008 .
  6. 1 2 3 Hahn, Theo, ed. (2002). Tablas internacionales de cristalografía, volumen A: simetría del grupo espacial . Vol. A (5.ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1107/97809553602060000100 . ISBN   978-0-7923-6590-7.
  7. ↑ Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans (1978), Grupos cristalográficos del espacio tetradimensional , Nueva York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179 

Lecturas adicionales

  • Bravais, A. (1850). "Mémoire sur les systèmes formés par les point distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace" [ Memoria sobre los sistemas formados por puntos regularmente distribuidos en un plano o en el espacio ] . J. École Polytech. (en francés). 19 : 1-128 .(Inglés: Memoria 1, Sociedad Cristalográfica de América, 1949).
  • Catálogo de celosías (por Nebe y Sloane)
  • Smith, Walter Fox (2002). "La canción de las celosías de Bravais" .