Métrica de Kähler de curvatura escalar constante

El funcional de Calabi es un funcional definido en el espacio de potenciales de Kähler en una clase de cohomología de Kähler-de Rham específica en una variedad de Kähler compacta. Es decir, sea${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)}$ser una clase Kähler en un colector Kähler compacto${\displaystyle (X,\omega )}$y dejar${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$sea ​​cualquier métrica de Kähler en esta clase, que difiere de${\displaystyle \omega }$por el potencial${\displaystyle \varphi }$. El funcional de Calabi${\displaystyle C}$se define por

${\displaystyle C(\omega _{\varphi })=\int _{X}S(\omega _{\varphi })^{2}\omega _{\varphi }^{n}}$

dónde${\ Displaystyle S (\ omega _ {\ varphi})}$es la curvatura escalar de la métrica riemanniana asociada a${\displaystyle \omega _ {\varphi}}$y${\displaystyle \dim X=n}$Este funcional es esencialmente la norma al cuadrado de la curvatura escalar para métricas de Kähler en la clase de Kähler.${\displaystyle [\omega ]}$Comprender el flujo de este funcional, el flujo de Calabi , es un objetivo clave para comprender la existencia de métricas de Kähler canónicas.

Por definición, una métrica de Kähler extremal es un punto crítico del funcional de Calabi, ^{[ 1 ]} ya sea un minimizador local o global. En este sentido, las métricas de Kähler extremales pueden considerarse como la mejor opción o elección canónica de métrica de Kähler en cualquier variedad de Kähler compacta.

Las métricas de Kähler de curvatura escalar constante son ejemplos de métricas de Kähler extremales que minimizan en absoluto el funcional de Calabi. En este sentido, el funcional de Calabi es similar al funcional de Yang-Mills y las métricas extremales son similares a las conexiones de Yang-Mills . El papel de las métricas de curvatura escalar constante lo desempeñan ciertos minimizadores absolutos del funcional de Yang-Mills, conexiones duales anti-auto o conexiones hermíticas de Yang-Mills .

En ciertas circunstancias, las métricas de Kähler de curvatura escalar constante pueden no existir en una variedad de Kähler compacta, pero aún pueden existir métricas extremales. Por ejemplo, algunas variedades pueden admitir solitones de Kähler-Ricci , que son ejemplos de métricas de Kähler extremales, y se pueden construir métricas extremales explícitas en el caso de superficies. ^{[ 3 ]}

Los minimizadores absolutos del funcional de Calabi, las métricas de curvatura escalar constante, pueden caracterizarse alternativamente como los puntos críticos de otro funcional, el funcional de Mabuchi . Esta perspectiva variacional alternativa sobre las métricas de curvatura escalar constante posee mejores propiedades formales que el funcional de Calabi, debido a su relación con los mapas de momentos en el espacio de las métricas de Kähler.

Existe una caracterización alternativa de los puntos críticos del funcional de Calabi en términos de los llamados potenciales de holomorfía. ^{[ 2 ] [ 4 ]} Los potenciales de holomorfía son ciertas funciones suaves en una variedad de Kähler compacta cuyo flujo hamiltoniano genera automorfismos de la variedad de Kähler. En otras palabras, sus campos vectoriales gradiente son holomorfos.

Un potencial de holomorfía es una función de valores complejos.${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$de tal manera que el campo vectorial${\displaystyle \xi }$definido por${\displaystyle \xi ^{j}=g^{j{\bar {k}}}\partial _{\bar {k}}f}$es un campo vectorial holomorfo , donde${\displaystyle g}$es la métrica riemanniana asociada a la forma de Kähler, y la suma aquí se toma con la notación de suma de Einstein . El espacio vectorial de potenciales de holomorfía, denotado por${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, puede identificarse con el álgebra de Lie del grupo de automorfismos de la variedad de Kähler${\displaystyle (X,\omega )}$.

Una métrica de Kähler${\displaystyle \omega }$es extremal, un minimizador del funcional de Calabi, si y solo si la curvatura escalar${\displaystyle S(\omega )}$es un potencial de holomorfía. Si la curvatura escalar es constante de modo que${\displaystyle \omega }$Si cscK, entonces el potencial de holomorfía asociado es una función constante, y el campo vectorial holomorfo inducido es el campo vectorial cero. En particular, en una variedad de Kähler que no admite campos vectoriales holomorfos no nulos, los únicos potenciales de holomorfía son funciones constantes y toda métrica extremal es una métrica de Kähler de curvatura escalar constante.

La existencia de métricas de curvatura constante está íntimamente ligada a las obstrucciones que surgen de los campos vectoriales holomorfos, lo que conduce al invariante de Futaki y a la K-estabilidad . Esta teoría ha sido ampliamente estudiada para el caso específico de las métricas de Kähler-Einstein .