Eugenio Calabi

En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1954 , Calabi anunció un teorema sobre cómo se podía prescribir la curvatura de Ricci de una métrica de Kähler . ^[C54] Posteriormente descubrió que su demostración, mediante el método de continuidad , era defectuosa, y el resultado se conoció como la conjetura de Calabi . En 1957, Calabi publicó un artículo en el que la conjetura se enunciaba como una proposición, pero con una demostración abiertamente incompleta. ^[C57] Dio una demostración completa de que cualquier solución del problema debe estar definida de forma única, pero solo pudo reducir el problema de existencia al problema de establecer estimaciones a priori para ciertas ecuaciones diferenciales parciales . En la década de 1970, Shing-Tung Yau comenzó a trabajar en la conjetura de Calabi, intentando inicialmente refutarla. Después de varios años de trabajo, encontró una demostración de la conjetura y pudo establecer varias consecuencias algebraico-geométricas notables de su validez. Como caso particular de la conjetura, se establecen métricas de Kähler con curvatura de Ricci cero en varias variedades complejas ; estas se conocen ahora como métricas de Calabi-Yau . Han adquirido gran importancia en la investigación de la teoría de cuerdas desde la década de 1980. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

En 1982, Calabi introdujo un flujo geométrico , ahora conocido como flujo de Calabi , como una propuesta para encontrar métricas de Kähler de curvatura escalar constante . ^[C82a] De manera más amplia, Calabi introdujo la noción de una métrica de Kähler extremal y estableció (entre otros resultados) que proporcionan mínimos globales estrictos del funcional de Calabi y que cualquier métrica de curvatura escalar constante es también un mínimo global. ^[C85] Posteriormente, Calabi y Xiuxiong Chen realizaron un estudio extenso de la métrica introducida por Toshiki Mabuchi y demostraron que el flujo de Calabi contrae la distancia de Mabuchi entre dos métricas de Kähler cualesquiera. ^[CC02] Además, demostraron que la métrica de Mabuchi dota al espacio de métricas de Kähler con la estructura de un espacio de Alexandrov de curvatura no positiva. La dificultad técnica de su trabajo radica en que las geodésicas en su contexto de dimensión infinita pueden tener baja diferenciabilidad. ^{[ 14 ]}

Una construcción bien conocida de Calabi coloca métricas de Kähler completas en los espacios totales de haces vectoriales hermíticos cuya curvatura está acotada inferiormente. ^[C79] En el caso de que la base sea una variedad de Kähler-Einstein completa y el haz vectorial tenga rango uno y curvatura constante, se obtiene una métrica de Kähler-Einstein completa en el espacio total. En el caso del haz cotangente de una forma espacial compleja, se obtiene una métrica hiperkähler . El espacio de Eguchi-Hanson es un caso especial de la construcción de Calabi. ^{[ 14 ]}

Calabi descubrió el teorema de comparación laplaciana en geometría riemanniana , que relaciona el operador de Laplace-Beltrami , aplicado a la función de distancia riemanniana , con la curvatura de Ricci. ^[C58a] La función de distancia riemanniana generalmente no es diferenciable en todas partes, lo que plantea una dificultad para formular una versión global del teorema. Calabi utilizó una noción generalizada de desigualdades diferenciales, anterior a las soluciones de viscosidad introducidas posteriormente por Michael Crandall y Pierre-Louis Lions . Al extender el principio del máximo fuerte de Eberhard Hopf a su noción de soluciones de viscosidad, Calabi pudo utilizar su teorema de comparación laplaciana para extender resultados recientes de Joseph Keller y Robert Osserman a contextos riemannianos. Posteriormente , Shiu-Yuen Cheng y Yau, entre otros, encontraron extensiones adicionales basadas en diferentes usos del principio del máximo . ^{[ 14 ] [ 17 ] [ 18 ]}

Paralelamente al problema clásico de Bernstein para superficies mínimas , Calabi consideró el problema análogo para superficies máximas , resolviendo la cuestión en dimensiones bajas. ^[C70] Posteriormente , Shiu-Yuen Cheng y Shing-Tung Yau hallaron una respuesta incondicional al problema de Bernstein para superficies máximas , utilizando el truco de Calabi , que él mismo había desarrollado para sortear la no diferenciabilidad de la función de distancia riemanniana. En un trabajo análogo, Calabi había considerado previamente las soluciones convexas de la ecuación de Monge-Ampère , definidas en todo el espacio euclidiano y con el lado derecho igual a uno. Konrad Jörgens había estudiado este problema para funciones de dos variables, demostrando que cualquier solución es un polinomio cuadrático. Al interpretar el problema como uno de geometría afín , Calabi pudo aplicar su trabajo anterior sobre el teorema de comparación laplaciana para extender el trabajo de Jörgens a dimensiones superiores. ^[C58b] El problema fue resuelto completamente más tarde por Aleksei Pogorelov , y el resultado se conoce comúnmente como el teorema de Jörgens-Calabi-Pogorelov . ^{[ 19 ]}

Posteriormente, Calabi consideró el problema de las hiperesferas afines , caracterizando inicialmente dichas superficies como aquellas para las cuales la transformada de Legendre resuelve una determinada ecuación de Monge-Ampère. Adaptando sus métodos anteriores y extendiendo el teorema de Jörgens, Calabi logró clasificar las hiperesferas elípticas afines completas. ^[C72] Posteriormente, Cheng y Yau obtuvieron resultados adicionales. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

Calabi y Beno Eckmann descubrieron la variedad de Calabi-Eckmann en 1953. ^[CE53] Es notable por ser una variedad compleja simplemente conexa que no admite ninguna métrica de Kähler . ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Inspirados por el trabajo reciente de Kunihiko Kodaira , Calabi y Edoardo Vesentini consideraron la rigidez infinitesimal de los cocientes holomorfos compactos de dominios de Cartan . ^[CV60] Utilizando la técnica de Bochner y los desarrollos de Kodaira sobre la cohomología de haces , demostraron la rigidez de casos de dimensiones superiores. Su trabajo influyó en el trabajo posterior de George Mostow y Grigori Margulis , quienes establecieron sus resultados de rigidez global a partir de intentos por comprender resultados de rigidez infinitesimal como los de Calabi y Vesentini, junto con trabajos relacionados de Atle Selberg y André Weil . ^{[ 23 ]}

Calabi y Lawrence Markus consideraron el problema de las formas espaciales de curvatura positiva en la geometría lorentziana . ^[CM62] Sus resultados, que Joseph A. Wolf consideró "muy sorprendentes", ^{[ 24 ]} afirman que el grupo fundamental debe ser finito y que el grupo correspondiente de isometrías del espaciotiempo de De Sitter (bajo una condición de orientabilidad) actuará fielmente mediante isometrías en una esfera ecuatorial. De este modo, su problema de formas espaciales se reduce al problema de las formas espaciales riemannianas de curvatura positiva. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

El trabajo de John Nash en la década de 1950 consideró el problema de las incrustaciones isométricas . Su trabajo demostró que dichas incrustaciones son muy flexibles y deformables. En su tesis doctoral, Calabi había considerado previamente el caso especial de incrustaciones isométricas holomorfas en formas espaciales de geometría compleja . ^[C53] Un resultado notable suyo muestra que dichas incrustaciones están completamente determinadas por la geometría intrínseca y la curvatura de la forma espacial en cuestión. Además, pudo estudiar el problema de la existencia mediante la introducción de la función diastática , que es una función definida localmente construida a partir de potenciales de Kähler y que imita la función de distancia riemanniana. Calabi demostró que una incrustación isométrica holomorfa debe preservar la función diastática. Como consecuencia, pudo obtener un criterio para la existencia local de incrustaciones isométricas holomorfas. ^{[ 22 ]}

Posteriormente, Calabi estudió las superficies mínimas bidimensionales (de alta codimensión) en esferas redondas. ^[C67] Demostró que el área de las superficies mínimas topológicamente esféricas solo puede tomar un conjunto discreto de valores, y que las superficies mismas se clasifican mediante curvas racionales en un cierto espacio simétrico hermitiano . ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}