Distribución normal

En teoría de la probabilidad y estadística , una distribución normal o distribución gaussiana es un tipo de distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria de valor real . La forma general de su función de densidad de probabilidad es ^[¹^]^[²^]^[³^] $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp {\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}\,.$ El parámetro $\mu$ es la media o esperanza de la distribución (y también su mediana y moda ), mientras que el parámetro ${\textstyle \sigma ^{2}}$ es la varianza . La desviación estándar de la distribución es el valor positivo . $\sigma$ ⁠ (sigma). Se dice que una variable aleatoria con distribución gaussiana tiene distribución normal y se denomina desviación normal .

Las distribuciones normales pueden ser importantes en estadística y se utilizan con frecuencia en las ciencias naturales y sociales para representar variables aleatorias de valor real cuyas distribuciones se desconocen. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Su importancia se debe en parte al teorema del límite central . Este teorema establece que el promedio de muchas muestras (observaciones) estadísticamente independientes de una variable aleatoria con media y varianza finitas es en sí mismo una variable aleatoria, cuya distribución converge a una distribución normal a medida que aumenta el número de muestras. Por lo tanto, las magnitudes físicas que se espera que sean la suma de muchos procesos independientes, como los errores de medición , suelen tener distribuciones casi normales. ^{[ 6 ]}

Además, las distribuciones gaussianas poseen propiedades únicas que resultan valiosas en estudios analíticos. Por ejemplo, cualquier combinación lineal de un conjunto fijo de desviaciones normales independientes constituye una desviación normal. Muchos resultados y métodos, como la propagación de la incertidumbre y el ajuste de parámetros por mínimos cuadrados ^{[ 7 ]} , pueden derivarse analíticamente de forma explícita cuando las variables relevantes siguen una distribución normal.

Sin embargo, las distribuciones normales se utilizan con frecuencia de forma incorrecta en contextos donde no se cumple el supuesto de que los datos se distribuyen normalmente y la distribución normal es un modelo deficiente. ^{[ 8 ]}

A la distribución normal se la denomina a veces informalmente curva de campana . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} Sin embargo, muchas otras distribuciones tienen forma de campana (como las distribuciones de Cauchy , $t$ de Student y logística ). (Para otros nombres, véase Nomenclatura ).

La distribución de probabilidad univariada se generaliza para vectores en la distribución normal multivariada y para matrices en la distribución normal matricial .

Definiciones

Distribución normal estándar

El caso más simple de una distribución normal se conoce como distribución normal estándar o distribución normal unitaria . Este es un caso especial cuando ${\textstyle \mu =0}$ y ${\textstyle \sigma ^{2}=1}$ y se describe mediante esta función de densidad de probabilidad (o densidad): ^{[ 11 ]} $\varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,.$ La variable $z$ Tiene una media de 0 y una varianza y desviación estándar de 1. La densidad ${\textstyle \varphi (z)}$ tiene su valor máximo ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ en ${\textstyle z=0}$ y puntos de inflexión en ${\textstyle z=+1}$ y $z=-1$ .

Aunque la densidad anterior se conoce más comúnmente como la normal estándar, algunos autores han utilizado ese término para describir otras versiones de la distribución normal. Carl Friedrich Gauss , por ejemplo, definió una vez la normal estándar como ${\textstyle \varphi (z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}},}$ que tiene una varianza de ⁠ ${\tfrac {1}{2}}$ ⁠ , y Stephen Stigler definió una vez la distribución normal estándar como ${\textstyle \varphi (z)=e^{-\pi z^{2}},}$ que tiene una forma funcional simple y una variación de ${\textstyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2\pi }}.}$ ^{[ 12 ]}

Distribución normal general

Si $Z$ Si es una desviación normal estándar , entonces ${\textstyle X=\sigma Z+\mu }$ tendrá una distribución normal con valor esperado ⁠ $\mu$ y desviación estándar $\sigma$ ⁠ . Esto equivale a decir que la distribución normal estándar ⁠ $Z$ ⁠ se puede escalar/estirar por un factor de ⁠ $\sigma$ y desplazado por $\mu$ para producir una distribución normal diferente, llamada $X$ .

Por el contrario, si $X$ ⁠ es una desviación normal con parámetros ⁠ $\mu$ y ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , entonces esto $X$ La distribución se puede reescalar y desplazar mediante la fórmula. ${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$ para convertirlo a la distribución normal estándar. Esta variable también se denomina forma estandarizada de $X$ .

En particular, la función de densidad de probabilidad para ⁠ $X$ Se puede expresar en términos de la distribución normal estándar . $\varphi$ ( con media cero y varianza unitaria): $f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\,.$ La densidad de probabilidad debe escalarse por ${\textstyle 1/\sigma }$ de modo que la integral siga siendo 1.

Notación

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar se suele denotar con la letra griega phi , $\phi$ ⁠ .^{[ 13 ]} La forma variante ⁠ $\varphi$ También se utiliza.

La función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar se suele denotar con la letra griega mayúscula phi, ⁠ $\Phi$ .

La distribución normal se suele denominar ${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ o ${\mathcal {N}}(\mu,\sigma ^{2})$ ⁠ .^{[ 14 ]} Cuando una variable aleatoria ⁠ $X$ ⁠ se distribuye normalmente con media ⁠ $\mu$ y desviación estándar $\sigma$ ⁠ , uno puede escribir

$X\sim {\mathcal {N}}(\mu,\sigma ^{2}).$

Parametrizaciones alternativas

Algunos autores abogan por utilizar la precisión . $\tau$ como parámetro que define la amplitud de la distribución, en lugar de la desviación estándar . $\sigma$ o la varianza $\sigma ^{2}$ La precisión se define normalmente como el recíproco de la varianza , $1/\sigma ^{2}$ ⁠ .^{[ 15 ]} La fórmula para la distribución queda entonces $f(x)={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}e^{-\tau (x-\mu )^{2}/2}.$

Se afirma que esta opción tiene ventajas en los cálculos numéricos cuando $\sigma$ es muy cercano a cero y simplifica fórmulas en algunos contextos, como en la inferencia bayesiana de variables con distribución normal multivariada .

Alternativamente, el recíproco de la desviación estándar ${\textstyle \tau '=1/\sigma }$ podría definirse como la precisión , en cuyo caso la expresión de la distribución normal se convierte en $f(x)={\frac {\tau '}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(\tau ')^{2}(x-\mu )^{2}/2}.$

Según Stigler, esta formulación es ventajosa debido a que tiene una fórmula mucho más simple y fácil de recordar, y a que utiliza fórmulas aproximadas sencillas para los cuantiles de la distribución.

Las distribuciones normales forman una familia exponencial con parámetros naturales. ${\textstyle \textstyle \theta _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}}$ y ${\textstyle \textstyle \theta _{2}=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$ y las estadísticas naturales $x$ y $x 2$ . Los parámetros de expectativa dual para la distribución normal son $η 1 = μ$ y $η 2 = μ 2 + σ 2$ .

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa (FDA) de la distribución normal estándar, generalmente denotada con la letra griega mayúscula ⁠ $\Phi$ ⁠ , es la integral $\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\,.$

La función de error relacionada ${\textstyle \operatorname {erf} (x)}$ da la probabilidad de que una variable aleatoria, con distribución normal de media 0 y varianza 1/2, caiga en el rango ⁠ $[-x,x]$ ⁠ . Es decir: $\operatorname {erf} (x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,dt={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\,.$

Estas integrales no pueden expresarse en términos de funciones elementales y, a menudo, se las denomina funciones especiales . Sin embargo, se conocen muchas aproximaciones numéricas; véase más abajo para más información.

Las dos funciones están estrechamente relacionadas, a saber: $\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].$

Para una distribución normal genérica con densidad ⁠ $f$ , significa $\mu$ y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , la función de distribución acumulativa es $F(x)=\Phi {\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right].$

Por lo tanto, la probabilidad de que $x$ se encuentre entre $a$ y $b$ con $a < b$ es ^{[ 16 ]}^{: 84} $\operatorname {P} (a<x\leq b)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {b-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)-\operatorname {erf} \left({\frac {a-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$

El complemento de la función de distribución acumulativa normal estándar, ${\textstyle Q(x)=1-\Phi (x)}$ , a menudo se la denomina función Q , especialmente en textos de ingeniería. ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} Da la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria normal estándar ⁠ $X$ excederá $x$ : $P(X>x)$ ⁠ . Otras definiciones de la ⁠ $Q$ -función , todas las cuales son transformaciones simples de $\Phi$ ⁠ , también se utilizan ocasionalmente.^{[ 19 ]}

La gráfica de la función de distribución acumulativa normal estándar $\Phi$ ⁠ tiene simetría rotacional doblealrededor del punto (0,1/2); es decir, ⁠ $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ Su antiderivada (integral indefinida) se puede expresar de la siguiente manera : $\int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.$

Se puede obtener una expansión asintótica de la función de distribución acumulativa para valores grandes $de x mediante$ integración por partes : $\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!!}}x^{2n+1}\,.$ dónde ${\textstyle$ denota el factorial doble . Para más información, véase Función de error § Expansión asintótica .^{[ 20 ]}

Representación de la serie Taylor

La serie de Taylor para la distribución normal $\varphi$ ⁠ se puede derivar sustituyendo ⁠ $-{\tfrac {1}{2}}x^{2}$ en la serie de Taylor para la función exponencial :^{[ 21 ]}

$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\,2^{n}}}x^{2n}$

Esta serie se puede integrar término a término para obtener la serie de Taylor para la función de distribución acumulativa: ^{[ 22 ]}

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\,2^{n}(2n+1)}}x^{2n+1}.$ Sin embargo, esta serie es ineficaz para el cálculo debido a la lenta convergencia, excepto cuando $x$ es pequeño . ^{[ 22 ]}

Ambas series describen funciones enteras que convergen para todos los valores reales y complejos de . $x$ .

Cálculo recursivo con series de Taylor

La relación de recurrencia para los polinomios de Hermite $He n (x)$ puede utilizarse para construir eficientemente la expansión en serie de Taylor alrededor de cualquier punto $x 0$ : $\Phi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Phi ^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\,,$ dónde: ${\begin{aligned}\Phi ^{(0)}(x_{0})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x_{0}}e^{-t^{2}/2}\,dt\\\Phi ^{(1)}(x_{0})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{0}^{2}/2}\\\Phi ^{(n)}(x_{0})&=-\left(x_{0}\Phi ^{(n-1)}(x_{0})+(n-2)\Phi ^{(n-2)}(x_{0})\right),&n\geq 2\,.\end{aligned}}$

Desviación estándar y cobertura

Aproximadamente el 68% de los valores extraídos de una distribución normal se encuentran dentro de una desviación estándar $σ$ de la media; aproximadamente el 95% de los valores se encuentran dentro de dos desviaciones estándar; y aproximadamente el 99,7% se encuentran dentro de tres desviaciones estándar. ^{[ 9 ]} Esto se conoce como la regla 68–95–99,7 (empírica) o la regla de 3 sigma .

Más precisamente, la probabilidad de que una desviación normal se encuentre en el rango entre ${\textstyle \mu -n\sigma }$ y ${\textstyle \mu +n\sigma }$ es dado por $F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right).$ Con 12 cifras significativas, los valores para ${\textstyle n=1,2,\ldots ,6}$ son:

Para grandes $n$ ⁠ , se puede utilizar la aproximación $1-p\approx {\frac {\sqrt {2}}{n{\sqrt {\pi e^{n^{2}}}}}}$

Función cuantil

La función cuantil de una distribución es la inversa de la función de distribución acumulativa. La función cuantil de la distribución normal estándar se denomina función probit y puede expresarse en términos de la función de error inversa : $\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$ Para una variable aleatoria normal con media ⁠ $\mu$ y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , la función cuantil es $F^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$ El cuantil ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)}$ de la distribución normal estándar se denota comúnmente como ⁠ $z_{p}$ Estos valores se utilizan en pruebas de hipótesis , construcción de intervalos de confianza y gráficos Q-Q . Una variable aleatoria normal . $X$ excederá ${\textstyle \mu +z_{p}\sigma }$ con probabilidad ${\textstyle 1-p}$ y quedará fuera del intervalo ${\textstyle \mu \pm z_{p}\sigma }$ con probabilidad $2(1-p)$ ⁠ . En particular, el cuantil ${\textstyle z_{0.975}}$ es 1,96 ; por lo tanto, una variable aleatoria normal estará fuera del intervalo ${\textstyle \mu \pm 1.96\sigma }$ En tan solo el 5% de los casos.

La siguiente tabla muestra el cuantil. ${\textstyle z_{p}}$ de tal manera que $X$ estará dentro del rango ${\textstyle \mu \pm z_{p}\sigma }$ con una probabilidad especificada $p$ Estos valores son útiles para determinar el intervalo de tolerancia para promedios de muestra ^y otros estimadores estadísticos condistribuciones normales (o asintóticamente normales). [ ²³^] La siguiente tabla muestra ${\textstyle {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(p)=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)}$ , no ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)}$ como se definió anteriormente.

Para pequeños $p$ ⁠ , la función cuantil tiene la útil expansión asintótica ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)=-{\sqrt {\ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln \ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln(2\pi )}}+{\mathcal {o}}(1).}$

Utilizando la búsqueda de raíces para calcular la función cuantil

Cualquiera de los métodos descritos para calcular la función de distribución acumulativa ${\textstyle \Phi (x)}$ se puede utilizar con el método de Newton (o con otro algoritmo de búsqueda de raíces como el método de Halley ) para encontrar el valor de ⁠ $x$ para el cual $\Phi (x)=q$ para algún cuantil deseado $q$ Por ejemplo, comenzando con una suposición inicial, aproximadamente correcta . $x_{0}$ , aproximaciones cada vez mejores $x_{1}$ , $x_{2}$ ⁠ , ... se puede calcular iterativamente utilizando el método de Newton con $x_{n}=x_{n-1}-{\frac {\Phi (x_{n-1})-q}{\varphi (x_{n-1})}}\,.$

Propiedades

La distribución normal es la única distribución cuyos cumulantes más allá de los dos primeros (es decir, distintos de la media y la varianza ) son cero. También es la distribución continua con la máxima entropía para una media y varianza especificadas. ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]} Geary ha demostrado, suponiendo que la media y la varianza son finitas, que la distribución normal es la única distribución en la que la media y la varianza calculadas a partir de un conjunto de extracciones independientes son independientes entre sí. ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

La distribución normal es una subclase de las distribuciones elípticas . Es simétrica respecto a su media y no es nula en toda la recta real. Por ello, puede no ser un modelo adecuado para variables inherentemente positivas o con una fuerte asimetría, como el peso de una persona o el precio de una acción . Estas variables se describen mejor mediante otras distribuciones, como la distribución log-normal o la distribución de Pareto .

El valor de la densidad normal es prácticamente cero cuando el valor ⁠ $x$ Se encuentra a más de unas pocas desviaciones estándar de la media (por ejemplo, una dispersión de tres desviaciones estándar cubre casi toda la distribución, excepto el 0,27 %). Por lo tanto, puede no ser un modelo apropiado cuando se espera una fracción significativa de valores atípicos —valores que se encuentran a muchas desviaciones estándar de la media— y los mínimos cuadrados y otros métodos de inferencia estadística que son óptimos para variables con distribución normal a menudo se vuelven muy poco fiables cuando se aplican a dichos datos. En esos casos, se debe asumiruna distribución con colas más pesadas y aplicar métodos de inferencia estadística robustos apropiados.

La distribución gaussiana pertenece a la familia de distribuciones estables, que son los atractores de sumas de distribuciones independientes e idénticamente distribuidas, independientemente de que la media o la varianza sean finitas. Excepto la gaussiana, que es un caso límite, todas las distribuciones estables tienen colas pesadas y varianza infinita. Es una de las pocas distribuciones estables cuyas funciones de densidad de probabilidad pueden expresarse analíticamente, siendo las otras la distribución de Cauchy y la distribución de Lévy .

Simetrías y derivadas

La distribución normal con densidad ${\textstyle f(x)}$ (media ⁠ $\mu$ y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}>0}$ ) tiene las siguientes propiedades:

Es simétrico con respecto al punto ${\textstyle x=\mu ,}$ que es al mismo tiempo la moda , la mediana y la media de la distribución. ^{[ 28 ]}
Es unimodal : su primera derivada es positiva para ${\textstyle x<\mu ,}$ negativo para ${\textstyle x>\mu ,}$ y cero solo en ${\textstyle x=\mu .}$
El área delimitada por la curva y el $x$ El eje x es la unidad (es decir, igual a uno).
Su primera derivada es ${\textstyle f'(x)=-{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x).}$
Su segunda derivada es ${\textstyle f''(x)={\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}f(x).}$
Su densidad tiene dos puntos de inflexión (donde la segunda derivada de ⁠ $f$ es cero y cambia de signo), ubicado a una desviación estándar de la media, es decir en ${\textstyle x=\mu -\sigma }$ y ${\textstyle x=\mu +\sigma .}$ ^{[ 28 ]}
Su densidad es logarítmicamente cóncava . ^{[ 28 ]}
Su densidad es infinitamente diferenciable , de hecho supersuave de orden 2. ^{[ 29 ]}

Además, la densidad $\varphi$ de la distribución normal estándar (es decir , ${\textstyle \mu =0}$ y ${\textstyle \sigma =1}$ ) también tiene las siguientes propiedades:

Su primera derivada es ${\textstyle \varphi '(x)=-x\varphi (x).}$
Su segunda derivada es ${\textstyle \varphi ''(x)=(x^{2}-1)\varphi (x)}$
De forma más general, su $enésima$ derivada es ${\textstyle \varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x)\varphi (x),}$ dónde ${\textstyle \operatorname {He} _{n}(x)}$ es el $n- ésimo$ polinomio de Hermite (probabilístico) . ^{[ 30 ]}
La probabilidad de que una variable con distribución normal $X$ con conocido $\mu$ y ${\textstyle \sigma ^{2}}$ está en un conjunto particular, se puede calcular dado que la fracción ${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$ tiene una distribución normal estándar.

Momentos

Los momentos simples y absolutos de una variable $X$ son los valores esperados de ${\textstyle X^{p}}$ y ${\textstyle |X|^{p}}$ , respectivamente . Si el valor esperado $\mu$ de $X$ Si es cero, estos parámetros se denominan momentos centrales; de lo contrario, se denominan momentos no centrales. Normalmente solo nos interesan los momentos de orden entero . $p$ .

Si $X$ ⁠ tiene una distribución normal, los momentos no centrales existen y son finitos para cualquier ⁠ $p$ cuya parte real es mayor que −1 . Para cualquier entero no negativo $p$ ⁠ , los momentos centrales simples son:^{[ 31 ]} $\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}$ Aquí ${\textstyle n!!}$ denota el doble factorial , es decir, el producto de todos los números desde ⁠ $n$ a 1 que tienen la misma paridad que ${\textstyle n.}$

Los momentos absolutos centrales coinciden con los momentos simples para todos los órdenes pares, pero son distintos de cero para los órdenes impares. Para cualquier entero no negativo ${\textstyle p,}$

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[|X-\mu |^{p}\right]&=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{if }}p{\text{ is odd}}\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}}\end{cases}}\\[8pt]&=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{p/2}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}.\end{aligned}}$ La última fórmula también es válida para cualquier número no entero. ${\textstyle p>-1.}$ Cuando la media ${\textstyle \mu \neq 0,}$ Los momentos simples y absolutos pueden expresarse en términos de funciones hipergeométricas confluentes. ${\textstyle {}_{1}F_{1}}$ y ${\textstyle U.}$ ^{[ 32 ]} ${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot {\left(-i{\sqrt {2}}\right)}^{p}\,U{\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)},\\\operatorname {E} \left[|X|^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot 2^{p/2}{\frac {\Gamma {\left({\frac {1+p}{2}}\right)}}{\sqrt {\pi }}}\,{}_{1}F_{1}{\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}.\end{aligned}}$

Estas expresiones siguen siendo válidas incluso cuando $p>-1$ ⁠ no es un número entero. Véase también polinomios de Hermite generalizados .

La expectativa de $X$ condicionado al evento de que $X$ ⁠ se encuentra en un intervalo ${\textstyle [a,b]}$ es dado por $\operatorname {E} \left[X\mid a<X<b\right]=\mu -\sigma ^{2}{\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}}\,,$ donde $f$ y $F$ ⁠ son respectivamente la densidad y la función de distribución acumulativa de ⁠ $X$ ⁠ . Para ${\textstyle b=\infty }$ Esto se conoce como la relación inversa de Mills . Nótese que arriba, la densidad $f$ de $X$ ⁠ se utiliza en lugar de la densidad normal estándar como en la razón inversa de Mills, por lo que aquí tenemos ${\textstyle \sigma ^{2}}$ en lugar de $\sigma$ .

transformada de Fourier y función característica

La transformada de Fourier de una densidad normal $f$ con media $\mu$ y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}}$ es ^{[ 33 ]}

${\hat {f}}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}\,,$

donde $i$ es la unidad imaginaria . Si la media ${\textstyle \mu =0}$ , el primer factor es 1, y la transformada de Fourier es, aparte de un factor constante, una densidad normal en el dominio de la frecuencia , con media 0 y varianza ⁠ $1/\sigma ^{2}$ ⁠ . En particular, la distribución normal estándar ⁠ $\varphi$ es una autofunción de la transformada de Fourier.

En teoría de la probabilidad, la transformada de Fourier de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de valor real $X$ está estrechamente relacionado con la función característica ${\textstyle \varphi _{X}(t)}$ de esa variable, que se define como el valor esperado de ${\textstyle e^{itX}}$ , como función de la variable real ⁠ $t$ ( el parámetro de frecuencia de la transformada de Fourier). Esta definición puede extenderse analíticamente a una variable de valor complejo . $t$ ⁠ .^{[ 34 ]} La relación entre ambos es: $\varphi _{X}(t)={\hat {f}}(-t)\,.$

Las partes reales e imaginarias de ${\hat {f}}(t)=\operatorname {E} [e^{-itx}]=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ dar: $\operatorname {E} [\cos(tx)]=\cos(\mu t)e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ y $\operatorname {E} [\sin(tx)]=\sin(\mu t)e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.$

Similarmente, $\operatorname {E} [\cosh(tx)]=\cosh(\mu t)e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ y $\operatorname {E} [\sinh(tx)]=\sinh(\mu t)e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.$

Estas fórmulas se evaluaron en $t=1$ dar el valor esperado de estas funciones trigonométricas e hiperbólicas básicas sobre una variable aleatoria gaussiana $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ , lo cual también podría considerarse una consecuencia del teorema de Isserlis .

Funciones generadoras de momentos y cumulantes

La función generadora de momentos de una variable aleatoria real $X$ es el valor esperado de ${\textstyle e^{tX}}$ , en función del parámetro real ⁠ $t$ ⁠ . Para una distribución normal con densidad ⁠ $f$ , significa $\mu$ y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , la función generadora de momentos existe y es igual a

$M(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]={\hat {f}}(it)=e^{\mu t}e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}\,.$ Para cualquier ⁠ $k$ ⁠ , el coeficiente de ⁠ $t^{k}/k!$ en la función generadora de momentos (expresada como una serie de potencias exponenciales en $t$ ) es el valor esperado de la distribución normal $\operatorname {E} [X^{k}]$ .

La función generadora de cumulantes es el logaritmo de la función generadora de momentos, a saber: $g(t)=\ln M(t)=\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\,.$

Los coeficientes de esta serie de potencias exponenciales definen los cumulantes, pero debido a que se trata de un polinomio cuadrático en ⁠ $t$ ⁠ , solo los dos primeros cumulantes son distintos de cero, es decir, la media ⁠ $\mu$ y la varianza $\sigma ^{2}$ .

Algunos autores prefieren trabajar en cambio con la función característica $E[e itX] = e iμt - σ 2 t 2 /2$ y $ln E[e itX] = iμt - ⁠ 1 / 2 ⁠ σ 2 t 2$ .

Operador y clase de Stein

Dentro del método de Stein, el operador de Stein y la clase de una variable aleatoria ${\textstyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ son ${\textstyle {\mathcal {A}}f(x)=\sigma ^{2}f'(x)-(x-\mu )f(x)}$ y ${\textstyle {\mathcal {F}}}$ la clase de todas las funciones absolutamente continuas $\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ de tal manera que $\operatorname {E} [\vert f'(X)\vert ]<\infty$ .

Límite de varianza cero

En el límite cuando ${\textstyle \sigma ^{2}}$ La densidad de probabilidad se acerca a cero ${\textstyle f}$ se aproxima a cero en todas partes excepto en ${\textstyle \mu }$ , donde se acerca ${\textstyle \infty }$ mientras que su integral permanece igual a 1. Se puede definir una extensión de la distribución normal al caso con varianza cero utilizando la medida delta de Dirac. ${\textstyle \delta _{\mu }}$ , aunque las variables aleatorias resultantes no son absolutamente continuas y, por lo tanto, no tienen funciones de densidad de probabilidad . La función de distribución acumulativa de dicha variable aleatoria es entonces la función escalón de Heaviside trasladada por la media. ${\textstyle \mu }$ , es decir $F(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<\mu \\1&{\text{if }}x\geq \mu .\end{cases}}$

entropía máxima

De todas las distribuciones de probabilidad sobre los números reales con una media finita especificada $\mu$ y varianza finita $\sigma ^{2}$ ⁠ , la distribución normal ${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ es la que tiene máxima entropía . ^{[ 24 ]} Para ver esto, sea ⁠ $X$ Sea una variable aleatoria continua con densidad de probabilidad . $f(x)$ ⁠ . La entropía de ⁠ $X$ ⁠ se define como^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}^{[ 37 ]} $H(X)=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx\,,$ dónde ${\textstyle f(x)\log f(x)}$ se entiende que es cero siempre que $f(x)=0$ Este funcional puede maximizarse, sujeto a las restricciones de que la distribución esté debidamente normalizada y tenga una media y varianza especificadas, mediante el cálculo variacional . Se define una función con tres multiplicadores de Lagrange : $L=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx-\lambda _{0}\left(1-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\right)-\lambda _{1}\left(\mu -\int _{-\infty }^{\infty }f(x)x\,dx\right)-\lambda _{2}\left(\sigma ^{2}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx\right)\,.$

En la entropía máxima, una pequeña variación ${\textstyle \delta f(x)}$ acerca de ${\textstyle f(x)}$ producirá una variación ${\textstyle \delta L}$ sobre $L$ que es igual a 0: $0=\delta L=\int _{-\infty }^{\infty }\delta f(x)\left(-\ln f(x)-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,dx\,.$

Dado que esto debe cumplirse para cualquier pequeño $\delta f(x)$ ⁠ , el factor multiplicador ⁠ $\delta f(x)$ ⁠ debe ser cero, y resolver para ⁠ $f(x)$ ⁠ produce: $f(x)=\exp \left(-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,.$

Las restricciones de Lagrange que $f(x)$ ⁠ está correctamente normalizado y tiene la media y varianza especificadas se satisfacen si y solo si ⁠ $\lambda _{0}$ , $\lambda _{1}$ y $\lambda _{2}$ ⁠ se eligen de manera que $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,.$ La entropía de una distribución normal ${\textstyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ es igual a $H(X)={\tfrac {1}{2}}(1+\ln 2\sigma ^{2}\pi )\,,$ que es independiente de la media $\mu$ .

Otras propiedades

Si la función característica ${\textstyle \phi _{X}}$ de alguna variable aleatoria $X$ es de la forma ${\textstyle \phi _{X}(t)=\exp Q(t)}$ en un vecindario de cero, donde ${\textstyle Q(t)}$ es un polinomio , entonces el teorema de Marcinkiewicz (llamado así por Józef Marcinkiewicz ) afirma que ⁠ $Q$ ⁠ puede ser como máximo un polinomio cuadrático, y por lo tanto ⁠ $X$ es una variable aleatoria normal.^{[ 38 ]} La consecuencia de este resultado es que la distribución normal es la única distribución con un número finito (dos) de cumulantes distintos de cero.
Si $X$ y $Y$ Si son conjuntamente normales y no están correlacionadas , entonces son independientes . El requisito de que $X$ y $Y$ ⁠ debe ser conjuntamente normal es esencial; sin ello la propiedad no se cumple.^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}^[prueba] Para variables aleatorias no normales la falta de correlación no implica independencia.
La divergencia de Kullback-Leibler de una distribución normal ${\textstyle X_{1}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$ de otro ${\textstyle X_{2}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$ está dado por: ^{[ 41 ]} $D_{\mathrm {KL} }(X_{1}\parallel X_{2})={\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}-1-\ln {\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)$ La distancia de Hellinger entre las mismas distribuciones es igual a $H^{2}(X_{1},X_{2})=1-{\sqrt {\frac {2\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}\exp \left(-{\frac {1}{4}}{\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}\right)$
La matriz de información de Fisher para una distribución normal con respecto a $\mu$ y ${\textstyle \sigma ^{2}}$ es diagonal y toma la forma ${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}&0\\0&{\frac {1}{2\sigma ^{4}}}\end{pmatrix}}$
La distribución a priori conjugada de la media de una distribución normal es otra distribución normal. ^{[ 42 ]} Específicamente, si ${\textstyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ son iid ${\textstyle \sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ y el anterior es ${\textstyle \mu \sim N(\mu _{0},\sigma _{0}^{2})}$ , entonces la distribución posterior para el estimador de ⁠ $\mu$ será $\mu \mid x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\mu _{0}+\sigma _{0}^{2}{\bar {x}}}{{\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\sigma _{0}^{2}}},\left({\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}\right)^{-1}\right)$
La familia de distribuciones normales no solo forma una familia exponencial (FE), sino que, de hecho, forma una familia exponencial natural (FEN) con función de varianza cuadrática ( FEN-FVC ). Muchas propiedades de las distribuciones normales se generalizan a las propiedades de las distribuciones FEN-FVC, las distribuciones FE o las distribuciones FE en general. Las distribuciones FEN-FVC comprenden 6 familias, incluidas las distribuciones de Poisson, Gamma, binomial y binomial negativa, mientras que muchas de las familias comunes estudiadas en probabilidad y estadística son FEN o FE.
En geometría de la información , la familia de distribuciones normales forma una variedad estadística con curvatura constante . $-1$ ⁠ . La misma familia es plana con respecto a las conexiones (±1) ${\textstyle \nabla ^{(e)}}$ y ${\textstyle \nabla ^{(m)}}$ . ^{[ 43 ]}
Si ${\textstyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ se distribuyen según ${\textstyle N(0,\sigma ^{2})}$ , entonces ${\textstyle E[\max _{i}X_{i}]\leq \sigma {\sqrt {2\ln n}}}$ . Nótese que no se asume independencia. ^{[ 44 ]}

Distribuciones relacionadas

Teorema del límite central

A medida que aumenta el número de eventos discretos, la función comienza a asemejarse a una distribución normal.

El teorema del límite central establece que, bajo ciertas condiciones (bastante comunes), la suma de muchas variables aleatorias tendrá una distribución aproximadamente normal. Más específicamente, donde ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con la misma distribución arbitraria, media cero y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}}$ y $Z$ es su media escalada por ${\textstyle {\sqrt {n}}}$ $Z={\sqrt {n}}{\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\biggr )}$ Entonces, como $n$ ⁠ aumenta, la distribución de probabilidad de ⁠ $Z$ tenderá a la distribución normal con media cero y varianza cero . $\sigma ^{2}$ .

El teorema puede extenderse a variables ${\textstyle (X_{i})}$ que no son independientes y/o no están distribuidas de forma idéntica si se imponen ciertas restricciones al grado de dependencia y a los momentos de las distribuciones.

Muchos estadísticos de prueba , puntuaciones y estimadores que se encuentran en la práctica contienen sumas de ciertas variables aleatorias, e incluso más estimadores pueden representarse como sumas de variables aleatorias mediante el uso de funciones de influencia . El teorema del límite central implica que estos parámetros estadísticos tendrán distribuciones asintóticamente normales.

El teorema del límite central también implica que ciertas distribuciones pueden aproximarse mediante la distribución normal, por ejemplo:

La distribución binomial ${\textstyle B(n,p)}$ es aproximadamente normal con media ${\textstyle np}$ y varianza ${\textstyle np(1-p)}$ para grandes $n$ y para $p$ ⁠ no demasiado cerca de 0 o 1.
La distribución de Poisson con parámetro ⁠ $\lambda$ ⁠ es aproximadamente normal con media ⁠ $\lambda$ y varianza $\lambda$ ⁠ , para valores grandes de ⁠ $\lambda$ ⁠ .^{[ 45 ]}
La distribución chi-cuadrado ${\textstyle \chi ^{2}(k)}$ es aproximadamente normal con media ⁠ $k$ y varianza ${\textstyle 2k}$ , para grandes $k$ .
Distribución t de Student ${\textstyle t(\nu )}$ es aproximadamente normal con media 0 y varianza 1 cuando $\nu$ es grande.

La precisión de estas aproximaciones depende del propósito para el que se necesiten y de la velocidad de convergencia a la distribución normal. Por lo general, estas aproximaciones son menos precisas en los extremos de la distribución.

El teorema de Berry-Esseen proporciona una cota superior general para el error de aproximación en el teorema del límite central , y las expansiones de Edgeworth proporcionan mejoras en la aproximación .

Este teorema también puede utilizarse para justificar la modelización de la suma de muchas fuentes de ruido uniforme como ruido gaussiano . Véase AWGN .

Operaciones y funciones de variables normales

Operaciones sobre una única variable normal

Si $X$ ⁠ se distribuye normalmente con media ⁠ $\mu$ y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , entonces

${\textstyle aX+b}$ , para cualquier número real $a$ y $b$ ⁠ , también se distribuye normalmente, con media ${\textstyle a\mu +b}$ y varianza ${\textstyle a^{2}\sigma ^{2}}$ . Es decir, la familia de distribuciones normales es cerrada bajo transformaciones lineales .
La exponencial de ⁠ $X$ Se distribuye log-normalmente : ${\textstyle e^{X}\sim \ln(N(\mu ,\sigma ^{2}))}$ .
La sigmoide estándar de ⁠ $X$ tiene una distribución logit -normal : ${\textstyle \sigma (X)\sim P({\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}))}$ .
El valor absoluto de $X$ ⁠ tiene distribución normal plegada : ${\textstyle {\left|X\right|\sim N_{f}(\mu ,\sigma ^{2})}}$ . Si ${\textstyle \mu =0}$ Esto se conoce como distribución seminormal .
El valor absoluto de los residuos normalizados, ${\textstyle |X-\mu |/\sigma }$ , tiene una distribución chi con un grado de libertad: ${\textstyle |X-\mu |/\sigma \sim \chi _{1}}$ .
El cuadrado de ${\textstyle X/\sigma }$ tiene una distribución chi-cuadrado no central con un grado de libertad: ${\textstyle X^{2}/\sigma ^{2}\sim \chi _{1}^{2}(\mu ^{2}/\sigma ^{2})}$ . Si ${\textstyle \mu =0}$ , la distribución se denomina simplemente chi-cuadrado .
La log-verosimilitud de una variable normal $x$ es simplemente el logaritmo de su función de densidad de probabilidad : $\ln p(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right).$ Dado que se trata de un cuadrado escalado y desplazado de una variable normal estándar, se distribuye como una variable chi-cuadrado escalada y desplazada.
La distribución de la variable $X$ restringido a un intervalo ${\textstyle [a,b]}$ se denomina distribución normal truncada .
${\textstyle (X-\mu )^{-2}}$ tiene una distribución de Lévy con ubicación 0 y escala ${\textstyle \sigma ^{-2}}$ .

Operaciones con dos variables normales independientes

Si ${\textstyle X_{1}}$ y ${\textstyle X_{2}}$ son dos variables aleatorias normales independientes , con medias ${\textstyle \mu _{1}}$ , ${\textstyle \mu _{2}}$ y variaciones ${\textstyle \sigma _{1}^{2}}$ , ${\textstyle \sigma _{2}^{2}}$ , entonces su suma ${\textstyle X_{1}+X_{2}}$ También se distribuirá normalmente, ^[prueba] con media ${\textstyle \mu _{1}+\mu _{2}}$ y varianza ${\textstyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$ .
En particular, si $X$ y $Y$ son desviaciones normales independientes con media cero y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , entonces ${\textstyle X+Y}$ y ${\textstyle X-Y}$ También son independientes y se distribuyen normalmente, con media cero y varianza ${\textstyle 2\sigma ^{2}}$ . Este es un caso especial de la identidad de polarización . ^{[ 46 ]}
Si ${\textstyle X_{1}}$ , ${\textstyle X_{2}}$ son dos desviaciones normales independientes con media ⁠ $\mu$ y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}}$ y $a$ , $b$ Si son números reales arbitrarios, entonces la variable $X_{3}={\frac {aX_{1}+bX_{2}-(a+b)\mu }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\mu$ También se distribuye normalmente con media ⁠ $\mu$ y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}}$ De ello se deduce que la distribución normal es estable (con exponente ${\textstyle \alpha =2}$ ).
Si ${\textstyle X_{k}\sim {\mathcal {N}}(m_{k},\sigma _{k}^{2})}$ , ${\textstyle k\in \{0,1\}}$ Si las distribuciones son normales, entonces su media geométrica normalizada ${\textstyle {\frac {1}{\int _{\mathbb {R} ^{n}}X_{0}^{\alpha }(x)X_{1}^{1-\alpha }(x)\,{\text{d}}x}}X_{0}^{\alpha }X_{1}^{1-\alpha }}$ es una distribución normal ${\textstyle {\mathcal {N}}(m_{\alpha },\sigma _{\alpha }^{2})}$ con ${\textstyle m_{\alpha }={\frac {\alpha m_{0}\sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )m_{1}\sigma _{0}^{2}}{\alpha \sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )\sigma _{0}^{2}}}}$ y ${\textstyle \sigma _{\alpha }^{2}={\frac {\sigma _{0}^{2}\sigma _{1}^{2}}{\alpha \sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )\sigma _{0}^{2}}}}$ .

Operaciones con dos variables normales estándar independientes

Si ${\textstyle X_{1}}$ y ${\textstyle X_{2}}$ son dos variables aleatorias normales estándar independientes con media 0 y varianza 1, entonces

Su suma y diferencia se distribuyen normalmente con media cero y varianza dos: ${\textstyle X_{1}\pm X_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,2)}$ .
Su producto ${\textstyle Z=X_{1}X_{2}}$ sigue la distribución del producto ^{[ 47 ]} con función de densidad ${\textstyle f_{Z}(z)=\pi ^{-1}K_{0}(|z|)}$ dónde ${\textstyle K_{0}}$ es la función de Bessel modificada de segundo tipo . Esta distribución es simétrica alrededor de cero, no acotada en ${\textstyle z=0}$ y tiene la función característica ${\textstyle \phi _{Z}(t)=(1+t^{2})^{-1/2}}$ .
Su proporción sigue la distribución de Cauchy estándar : ${\textstyle X_{1}/X_{2}\sim \operatorname {Cauchy} (0,1)}$ .
Su norma euclidiana ${\textstyle {\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}}}$ tiene la distribución de Rayleigh .

Operaciones sobre múltiples variables normales independientes

Cualquier combinación lineal de desviaciones normales independientes es una desviación normal.
Si ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ Si son variables aleatorias normales estándar independientes, entonces la suma de sus cuadrados tiene la distribución chi-cuadrado con ⁠ $n$ grados de libertad $X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\sim \chi _{n}^{2}.$
Si ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ son variables aleatorias independientes con distribución normal y medias $\mu$ y variaciones ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , entonces su media muestral es independiente de la desviación estándar muestral , ^{[ 48 ]} lo cual puede demostrarse utilizando el teorema de Basu o el teorema de Cochran . ^{[ 49 ]} La razón de estas dos cantidades tendrá la distribución t de Student con ${\textstyle n-1}$ grados de libertad: $t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\left[(X_{1}-{\overline {X}})^{2}+\cdots +(X_{n}-{\overline {X}})^{2}\right]}}}\sim t_{n-1}.$
Si ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ , ${\textstyle Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}}$ son variables aleatorias normales estándar independientes, entonces la razón de sus sumas de cuadrados normalizadas tendrá la distribución F con $(n, m)$ grados de libertad: ^{[ 50 ]} $F={\frac {\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\right)/n}{\left(Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots +Y_{m}^{2}\right)/m}}\sim F_{n,m}.$

Operaciones sobre múltiples variables normales correlacionadas

Una forma cuadrática de un vector normal, es decir, una función cuadrática. ${\textstyle q=\sum x_{i}^{2}+\sum x_{j}+c}$ De múltiples variables normales independientes o correlacionadas, es una variable chi-cuadrado generalizada .

Operaciones sobre la función de densidad

La distribución normal dividida se define de forma más directa mediante la unión de secciones escaladas de las funciones de densidad de diferentes distribuciones normales y el reescalado de la densidad para que su integral sea igual a uno. La distribución normal truncada resulta del reescalado de una sección de una única función de densidad.

Divisibilidad infinita y el teorema de Cramér

Para cualquier entero positivo $n$ , cualquier distribución normal con media ⁠ $\mu$ y varianza ${\textstyle \sigma ^{2}}$ es la distribución de la suma de $n$ desviaciones normales independientes, cada una con media ${\textstyle {\frac {\mu }{n}}}$ y varianza ${\textstyle {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$ Esta propiedad se denomina divisibilidad infinita . ^{[ 51 ]}

Por el contrario, si ${\textstyle X_{1}}$ y ${\textstyle X_{2}}$ son variables aleatorias independientes y su suma ${\textstyle X_{1}+X_{2}}$ tiene una distribución normal, entonces ambos ${\textstyle X_{1}}$ y ${\textstyle X_{2}}$ deben ser desviaciones normales. ^{[ 52 ]}

Este resultado se conoce como el teorema de descomposición de Cramér y equivale a decir que la convolución de dos distribuciones es normal si y solo si ambas son normales. El teorema de Cramér implica que una combinación lineal de variables independientes no gaussianas nunca tendrá una distribución exactamente normal, aunque puede aproximarse a ella de forma arbitraria. ^{[ 38 ]}

El teorema de Kac-Bernstein

El teorema de Kac-Bernstein establece que si ${\textstyle X}$ y $Y$ son independientes y ${\textstyle X+Y}$ y ${\textstyle X-Y}$ Si también son independientes, entonces tanto $X$ como $Y$ deben necesariamente tener distribuciones normales. ^{[ 53 ]}^{[ 54 ]}

En términos más generales, si ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ son variables aleatorias independientes, entonces dos combinaciones lineales distintas ${\textstyle \sum {a_{k}X_{k}}}$ y ${\textstyle \sum {b_{k}X_{k}}}$ será independiente si y solo si todos ${\textstyle X_{k}}$ son normales y ${\textstyle \sum {a_{k}b_{k}\sigma _{k}^{2}=0}}$ , dónde ${\textstyle \sigma _{k}^{2}}$ denota la varianza de ${\textstyle X_{k}}$ . ^{[ 53 ]}

Extensiones

La noción de distribución normal, una de las distribuciones más importantes en la teoría de la probabilidad, se ha extendido mucho más allá del marco estándar del caso univariado (es decir, unidimensional) (Caso 1). Todas estas extensiones también se denominan leyes normales o gaussianas , por lo que existe cierta ambigüedad en la terminología.

La distribución normal multivariada describe la ley gaussiana en el espacio euclidiano $k$ -dimensional . Un vector $X$ $\in$ $R$ $k$ tiene una distribución normal multivariada si cualquier combinación lineal de sus componentes $Σ$ $k$ $j$ $=1$ $a$ $j$ $X$ $j$ tiene una distribución normal (univariada). La varianza de $X$ es una matriz $V$ simétrica definida positiva de $k$ $\times$ $k$ . La distribución normal multivariada es un caso especial de las distribuciones elípticas . Como tal, sus lugares de isodensidad en el caso $k$ $= 2$ son elipses y en el caso de $k$ arbitrario son elipsoides .
Distribución gaussiana rectificada: una versión rectificada de la distribución normal con todos los elementos negativos restablecidos a 0.
La distribución normal compleja se ocupa de los vectores normales complejos. Un vector complejo $X \in C k$ se denomina normal si tanto su componente real como su componente imaginaria poseen conjuntamente una distribución normal multivariada de 2 k dimensiones. La estructura de varianza-covarianza de X $se describe$ $mediante$ dos matrices: la matriz de varianza $Γ$ y la matriz de relación $C.$
La distribución normal de matrices describe el caso de matrices con distribución normal.
Los procesos gaussianos son procesos estocásticos con distribución normal . Estos pueden considerarse elementos de un espacio de Hilbert H de dimensión infinita y, por lo tanto, son análogos a los vectores normales multivariados para el caso k = ∞ . Se dice que un elemento aleatorio h ∈ H es normal si, para cualquier constante a ∈ H, el producto escalar ( a , h ) tiene una distribución normal (univariada). La estructura de varianza de dicho elemento aleatorio gaussiano puede describirse en términos del operador de covarianza lineal K : H → H. Varios procesos gaussianos se hicieron lo suficientemente populares como para tener sus propios nombres:
La distribución q gaussiana es una construcción matemática abstracta que representa un análogo q de la distribución normal.
La distribución q-gaussiana es análoga a la distribución gaussiana, en el sentido de que maximiza la entropía de Tsallis y es un tipo de distribución de Tsallis . Esta distribución es diferente de la distribución q gaussiana descrita anteriormente.
La distribución $κ$ -gaussiana de Kaniadakis es una generalización de la distribución gaussiana que surge de la estadística de Kaniadakis , siendo una de las distribuciones de Kaniadakis .

Una variable aleatoria $X$ tiene una distribución normal de dos partes si tiene una distribución $f_{X}(x)={\begin{cases}N(\mu ,\sigma _{1}^{2}),&{\text{ if }}x\leq \mu \\N(\mu ,\sigma _{2}^{2}),&{\text{ if }}x\geq \mu \end{cases}}$ donde $μ$ es la media y $σ 2 1$ y $σ 2 2$ son las varianzas de la distribución a la izquierda y a la derecha de la media respectivamente.

Se han determinado la media $E(X)$ , la varianza $V(X)$ y el tercer momento central $T(X) de esta distribución$ ^{[ 55 ].} ${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\mu +{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1}),\\\operatorname {V} (X)&=\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2},\\\operatorname {T} (X)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\left[\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}\right].\end{aligned}}$

Uno de los principales usos prácticos de la ley gaussiana es modelar las distribuciones empíricas de muchas variables aleatorias diferentes que se encuentran en la práctica. En tal caso, una posible extensión sería una familia más rica de distribuciones, con más de dos parámetros y, por lo tanto, capaz de ajustarse con mayor precisión a la distribución empírica. Algunos ejemplos de tales extensiones son:

Distribución de Pearson : una familia de distribuciones de probabilidad de cuatro parámetros que extienden la ley normal para incluir diferentes valores de asimetría y curtosis.
La distribución normal generalizada , también conocida como distribución de potencia exponencial, permite colas de distribución con comportamientos asintóticos más gruesos o más delgados.

Inferencia estadística

Estimación de parámetros

A menudo ocurre que no conocemos los parámetros de la distribución normal, sino que queremos estimarlos . Es decir, teniendo una muestra ${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ de un normal ${\textstyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ Población de la que nos gustaría conocer los valores aproximados de los parámetros . $\mu$ y ${\textstyle \sigma ^{2}}$ El enfoque estándar para este problema es el método de máxima verosimilitud , que requiere la maximización de la función de log-verosimilitud : ${\begin{aligned}\ln {\mathcal {L}}(\mu ,\sigma ^{2})&=\sum _{i=1}^{n}\ln f(x_{i}\mid \mu ,\sigma ^{2})\\&=-{\frac {n}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {n}{2}}\ln \sigma ^{2}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.\end{aligned}}$ Tomando derivadas con respecto a ⁠ $\mu$ y ${\textstyle \sigma ^{2}}$ y al resolver el sistema resultante de condiciones de primer orden se obtienen las estimaciones de máxima verosimilitud : ${\hat {\mu }}={\overline {x}}\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$

Entonces ${\textstyle \ln {\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})}$ es el siguiente: $\ln {\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})=-{\frac {n}{2}}[\ln \left(2\pi {\hat {\sigma }}^{2}\right)+1]$

Media de la muestra

Estimador $\textstyle {\hat {\mu }}$ se llama media muestral , ya que es la media aritmética de todas las observaciones. El estadístico $\textstyle {\overline {x}}$ es completo y suficiente para $\mu$ ⁠ , y por lo tanto, según el teorema de Lehmann-Scheffé , $\textstyle {\hat {\mu }}$ es el estimador insesgado de varianza mínima uniforme (UMVU). ^{[ 56 ]} En muestras finitas se distribuye normalmente: ${\hat {\mu }}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n).$ La varianza de este estimador es igual al elemento μμ de la matriz de información de Fisher inversa. $\textstyle {\mathcal {I}}^{-1}$ Esto implica que el estimador es eficiente para muestras finitas . De importancia práctica es el error estándar de $\textstyle {\hat {\mu }}$ ser proporcional a $\textstyle 1/{\sqrt {n}}$ Es decir, si se desea disminuir el error estándar en un factor de 10, se debe aumentar el número de puntos en la muestra en un factor de 100. Este hecho se utiliza ampliamente para determinar el tamaño de la muestra en encuestas de opinión y el número de ensayos en simulaciones de Monte Carlo .

Desde el punto de vista de la teoría asintótica , $\textstyle {\hat {\mu }}$ es consistente , es decir, converge en probabilidad a $\mu$ como ${\textstyle n\rightarrow \infty }$ El estimador también es asintóticamente normal , lo cual es un corolario simple de que sea normal en muestras finitas: ${\sqrt {n}}({\hat {\mu }}-\mu )\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}).$

Varianza de la muestra

El estimador $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ se denomina varianza muestral , puesto que es la varianza de la muestra ( ${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ). En la práctica, a menudo se utiliza otro estimador en lugar del $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ Este otro estimador se denota ${\textstyle s^{2}}$ y también se denomina varianza muestral , lo que representa cierta ambigüedad en la terminología; su raíz cuadrada $s$ Se denomina desviación estándar de la muestra . El estimador ${\textstyle s^{2}}$ difiere de $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ al tener $(n - 1)$ en lugar de $n$ en el denominador (la llamada corrección de Bessel ): $s^{2}={\frac {n}{n-1}}{\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$ La diferencia entre ${\textstyle s^{2}}$ y $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ se vuelve insignificante para valores grandes de $n$ . Sin embargo, en muestras finitas, la motivación detrás del uso de ${\textstyle s^{2}}$ es que es un estimador insesgado del parámetro subyacente ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , mientras $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ está sesgado. Además, por el teorema de Lehmann-Scheffé, el estimador ${\textstyle s^{2}}$ es uniformemente insesgado de varianza mínima ( UMVU ), ^{[ 56 ]} lo que lo convierte en el "mejor" estimador entre todos los insesgados. Sin embargo, se puede demostrar que el estimador sesgado $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ es mejor que el ${\textstyle s^{2}}$ en términos del criterio del error cuadrático medio (ECM). En muestras finitas ambos ${\textstyle s^{2}}$ y $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ Se ha ajustado la distribución chi-cuadrado con $(n - 1)$ grados de libertad: $s^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\cdot \chi _{n-1}^{2},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot \chi _{n-1}^{2}.$ La primera de estas expresiones muestra que la varianza de ${\textstyle s^{2}}$ es igual a ${\textstyle 2\sigma ^{4}/(n-1)}$ , que es ligeramente mayor que el elemento σσ de la matriz de información de Fisher inversa $\textstyle {\mathcal {I}}^{-1}$ , que es ${\textstyle 2\sigma ^{4}/n}$ . De este modo, ${\textstyle s^{2}}$ no es un estimador eficiente para ${\textstyle \sigma ^{2}}$ y además, puesto que ${\textstyle s^{2}}$ es UMVU, podemos concluir que el estimador eficiente de muestra finita para ${\textstyle \sigma ^{2}}$ No existe.

Aplicando la teoría asintótica, ambos estimadores ${\textstyle s^{2}}$ y $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ son consistentes, es decir, convergen en probabilidad a ${\textstyle \sigma ^{2}}$ como el tamaño de la muestra ${\textstyle n\rightarrow \infty }$ . Ambos estimadores son también asintóticamente normales: ${\sqrt {n}}({\hat {\sigma }}^{2}-\sigma ^{2})\simeq {\sqrt {n}}(s^{2}-\sigma ^{2})\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,2\sigma ^{4}).$ En particular, ambos estimadores son asintóticamente eficientes para ${\textstyle \sigma ^{2}}$ .

Intervalos de confianza

Según el teorema de Cochran , para distribuciones normales la media muestral $\textstyle {\hat {\mu }}$ y la varianza muestral $s 2$ son independientes , lo que significa que no puede haber ninguna ventaja en considerar su distribución conjunta . También existe un teorema recíproco: si en una muestra la media muestral y la varianza muestral son independientes, entonces la muestra debe provenir de la distribución normal. La independencia entre $\textstyle {\hat {\mu }}$ y $s$ se puede emplear para construir el llamado estadístico t : $t={\frac {{\hat {\mu }}-\mu }{s/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {x}}-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}\sim t_{n-1}$ Esta cantidad $t$ tiene la distribución t de Student con $(n - 1)$ grados de libertad, y es una estadística auxiliar (independiente del valor de los parámetros). Invertir la distribución de esta estadística $t$ nos permitirá construir el intervalo de confianza $para$ μ $;$ [ ^{57 ] de} $manera$ similar, invertir la distribución $χ² de la estadística$ $s²$ nos dará el intervalo de confianza ^para $σ²$ : ^[ $58$ ^] $\mu \in \left[{\hat {\mu }}-t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}},\,{\hat {\mu }}+t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]$ $\sigma ^{2}\in \left[{\frac {n-1}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}}s^{2},\,{\frac {n-1}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}}s^{2}\right]$ donde $t k, p$ y χ 2 k,p son los cuantiles $p$ de las distribuciones $t$ y $χ$ $2$ respectivamente. Estos intervalos de confianza son del nivel de confianza $1 -$ $α$ , lo que significa que los valores verdaderos $μ$ y $σ$ $2$ caen fuera de estos intervalos con una probabilidad (o nivel de significancia ) $α$ . En la práctica, se suele tomar $α$ $= 5%$ , lo que resulta en intervalos de confianza del 95%. El intervalo de confianza para $σ$ se puede encontrar tomando la raíz cuadrada de los límites del intervalo para $σ$ $2$ .

Se pueden derivar fórmulas aproximadas a partir de las distribuciones asintóticas de $\textstyle {\hat {\mu }}$ y $s 2$ : $\mu \in \left[{\hat {\mu }}-{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s,\,{\hat {\mu }}+{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s\right]$ $\sigma ^{2}\in \left[s^{2}-{\sqrt {2}}{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s^{2},\,s^{2}+{\sqrt {2}}{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s^{2}\right]$ Las fórmulas aproximadas se vuelven válidas para valores grandes de $n$ y son más convenientes para el cálculo manual ya que los cuantiles normales estándar $z α /2$ no dependen de $n$ . En particular, el valor más popular de $α = 5%$ , resulta en $| z 0.025 | = 1.96$ .

Pruebas de normalidad

Las pruebas de normalidad evalúan la probabilidad de que el conjunto de datos ${x₁, ..., xn}$ provenga de una distribución normal. Normalmente, la $hipótesis$ nula $H₀$ plantea que las observaciones se distribuyen normalmente con una media $μ$ y una varianza $σ²$ no especificadas , frente a la hipótesis alternativa $Hₐ$ $,$ $que plantea$ que la distribución es arbitraria. Se han diseñado numerosas pruebas (más de 40) para abordar este problema. Las más destacadas se describen a continuación:

Los gráficos de diagnóstico resultan más intuitivos, pero a la vez son subjetivos, ya que dependen del juicio humano informal para aceptar o rechazar la hipótesis nula.

El gráfico Q-Q , también conocido como gráfico de probabilidad normal o gráfico de Rankit , es un gráfico de los valores ordenados del conjunto de datos frente a los valores esperados de los cuantiles correspondientes de la distribución normal estándar. Es decir, es un gráfico de puntos de la forma $(Φ -1 (p k), x (k))$ , donde los puntos de trazado $p k$ son iguales a $p k = (k - α)/(n + 1 - 2 α)$ y $α$ es una constante de ajuste, que puede ser cualquier valor entre 0 y 1. Si la hipótesis nula es verdadera, los puntos trazados deberían estar aproximadamente sobre una línea recta.
Gráfico P–P : similar al gráfico Q–Q, pero utilizado con mucha menos frecuencia. Este método consiste en graficar los puntos $(Φ (z (k)), p k)$ , donde ${\textstyle \textstyle z_{(k)}=(x_{(k)}-{\hat {\mu }})/{\hat {\sigma }}}$ . Para datos con distribución normal, este gráfico debería estar situado en una línea recta entre $(0, 0)$ y $(1, 1)$ .

Pruebas de bondad de ajuste :

Pruebas basadas en momentos :

Prueba K-cuadrada de D'Agostino
Prueba de Jarque-Bera
Prueba de Shapiro-Wilk : Esta prueba se basa en que la línea del gráfico Q-Q tenga una pendiente de $σ$ . La prueba compara la estimación de mínimos cuadrados de esa pendiente con el valor de la varianza muestral y rechaza la hipótesis nula si estas dos cantidades difieren significativamente.

Pruebas basadas en la función de distribución empírica :

Prueba de Anderson-Darling
Prueba de Lilliefors (una adaptación de la prueba de Kolmogorov-Smirnov )

Análisis bayesiano de la distribución normal

El análisis bayesiano de datos con distribución normal se complica por las muchas posibilidades diferentes que se pueden considerar:

Tanto la media como la varianza, o ninguna de las dos, pueden considerarse una cantidad fija.
Cuando se desconoce la varianza, el análisis puede realizarse directamente en función de la varianza o en función de la precisión , que es su recíproca. La razón para expresar las fórmulas en términos de precisión es que, en la mayoría de los casos, el análisis se simplifica.
Es necesario considerar tanto los casos univariados como los multivariados .
Se pueden asignar distribuciones previas conjugadas o impropias a las variables desconocidas.
En la regresión lineal bayesiana se presenta un conjunto adicional de casos , donde en el modelo básico se asume que los datos siguen una distribución normal y se asignan distribuciones a priori normales a los coeficientes de regresión . El análisis resultante es similar a los casos básicos de datos independientes e idénticamente distribuidos .

Las fórmulas para los casos de regresión no lineal se resumen en el artículo anterior conjugado .

Suma de dos ecuaciones cuadráticas

Forma escalar

La siguiente fórmula auxiliar resulta útil para simplificar las ecuaciones de actualización posteriores , que de otro modo se vuelven bastante tediosas.

$a(x-y)^{2}+b(x-z)^{2}=(a+b)\left(x-{\frac {ay+bz}{a+b}}\right)^{2}+{\frac {ab}{a+b}}(y-z)^{2}$

Esta ecuación reescribe la suma de dos ecuaciones cuadráticas en $x$ mediante la expansión de cuadrados, la agrupación de términos en $x$ y la completación del cuadrado . Nótese lo siguiente acerca de los factores constantes complejos asociados a algunos de los términos:

El factor ${\textstyle {\frac {ay+bz}{a+b}}}$ tiene la forma de un promedio ponderado de $y$ y $z$ .
${\textstyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}=(a^{-1}+b^{-1})^{-1}.}$ Esto demuestra que este factor puede considerarse como resultado de una situación en la que los recíprocos de las cantidades $a$ y $b$ se suman directamente, por lo que para combinar $a$ y $b$ entre sí, es necesario recíprocos, sumar y volver a recíprocos el resultado para regresar a las unidades originales. Este es exactamente el tipo de operación que realiza la media armónica , por lo que no es sorprendente que ${\textstyle {\frac {ab}{a+b}}}$ es la mitad de la media armónica de $a$ y $b$ .

Forma vectorial

Se puede escribir una fórmula similar para la suma de dos cuadráticos vectoriales: Si $x$ , $y$ , $z$ son vectores de longitud $k$ , y $A$ y $B$ son matrices simétricas e invertibles de tamaño ${\textstyle k\times k}$ , entonces

${\begin{aligned}&(\mathbf {y} -\mathbf {x} )'\mathbf {A} (\mathbf {y} -\mathbf {x} )+(\mathbf {x} -\mathbf {z} )'\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {z} )\\={}&(\mathbf {x} -\mathbf {c} )'(\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {x} -\mathbf {c} )+(\mathbf {y} -\mathbf {z} )'(\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {B} ^{-1})^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {z} )\end{aligned}}$ dónde $\mathbf {c} =(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {y} +\mathbf {B} \mathbf {z} )$

La forma $x' A x$ se llama forma cuadrática y es un escalar : $\mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {x} =\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}x_{j}$ En otras palabras, suma todas las combinaciones posibles de productos de pares de elementos de $x$ , con un coeficiente separado para cada uno. Además, dado que ${\textstyle x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}}$ , solo la suma ${\textstyle a_{ij}+a_{ji}}$ importa para cualquier elemento fuera de la diagonal de $A$ , y no hay pérdida de generalidad al suponer que $A$ es simétrico . Además, si $A$ es simétrico, entonces la forma ${\textstyle \mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {y} =\mathbf {y} '\mathbf {A} \mathbf {x} .}$

Suma de las diferencias con respecto a la media

Otra fórmula útil es la siguiente: $\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}$ dónde ${\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

Con varianza conocida

Para un conjunto de puntos de datos $X$ distribuidos normalmente e i.i.d. de tamaño $n,$ donde cada punto individual $x$ sigue ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ Con una varianza conocida $σ 2$ , la distribución previa conjugada también tiene una distribución normal.

Esto se puede demostrar más fácilmente reescribiendo la varianza como la precisión , es decir, usando $τ = 1/ σ 2$ . Entonces, si ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1/\tau )}$ y ${\textstyle \mu \sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},1/\tau _{0}),}$ Procedemos de la siguiente manera.

En primer lugar, la función de verosimilitud es (utilizando la fórmula anterior para la suma de las diferencias con respecto a la media): ${\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\tau )&=\prod _{i=1}^{n}{\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau (x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right].\end{aligned}}$

A continuación, procedemos de la siguiente manera: ${\begin{aligned}p(\mu \mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \mu )p(\mu )\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]{\sqrt {\frac {\tau _{0}}{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)+\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(n\tau ({\bar {x}}-\mu )^{2}+\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}(n\tau +\tau _{0})\left(\mu -{\dfrac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\right)^{2}+{\frac {n\tau \tau _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(n\tau +\tau _{0})\left(\mu -{\dfrac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}$

En la derivación anterior, utilizamos la fórmula anterior para la suma de dos ecuaciones cuadráticas y eliminamos todos los factores constantes que no involucran $a μ$ . El resultado es el núcleo de una distribución normal, con media ${\textstyle {\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}}$ y precisión ${\textstyle n\tau +\tau _{0}}$ , es decir $p(\mu \mid \mathbf {X} )\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}},{\frac {1}{n\tau +\tau _{0}}}\right)$

Esto se puede escribir como un conjunto de ecuaciones de actualización bayesianas para los parámetros posteriores en términos de los parámetros previos: ${\begin{aligned}\tau _{0}'&=\tau _{0}+n\tau \\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}$

Es decir, combinar $n$ puntos de datos con una precisión total de $nτ$ (o equivalentemente, una varianza total de $n / σ 2$ ) y una media de valores. ${\textstyle {\bar {x}}}$ Se obtiene una nueva precisión total simplemente sumando la precisión total de los datos a la precisión total previa, y se forma una nueva media mediante un promedio ponderado por precisión , es decir, un promedio ponderado de la media de los datos y la media previa, cada una ponderada por la precisión total asociada. Esto tiene sentido lógico si se considera que la precisión indica la certeza de las observaciones: en la distribución de la media posterior, cada uno de los componentes de entrada se pondera por su certeza, y la certeza de esta distribución es la suma de las certezas individuales. (Para comprender mejor esto, compárese con la expresión «el todo es (o no es) mayor que la suma de sus partes». Además, considérese que el conocimiento de la distribución posterior proviene de una combinación del conocimiento de la distribución previa y la verosimilitud, por lo que tiene sentido que tengamos mayor certeza sobre ella que sobre cualquiera de sus componentes).

La fórmula anterior revela por qué es más conveniente realizar un análisis bayesiano de distribuciones a priori conjugadas para la distribución normal en términos de precisión. La precisión posterior es simplemente la suma de las precisiones a priori y de verosimilitud, y la media posterior se calcula mediante un promedio ponderado por precisión, como se describió anteriormente. Las mismas fórmulas pueden escribirse en términos de varianza invirtiendo todas las precisiones, lo que da como resultado fórmulas más complejas. ${\begin{aligned}{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {1}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {{\frac {n{\bar {x}}}{\sigma ^{2}}}+{\frac {\mu _{0}}{\sigma _{0}^{2}}}}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}$

Con media conocida

Para un conjunto de puntos de datos $X$ distribuidos normalmente e i.i.d. de tamaño $n,$ donde cada punto individual $x$ sigue ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ Con una media $μ$ conocida , la distribución a priori conjugada de la varianza tiene una distribución gamma inversa o una distribución chi-cuadrado inversa escalada . Ambas son equivalentes, excepto por tener parametrizaciones diferentes . Aunque la distribución gamma inversa es la más utilizada, por conveniencia usamos la chi-cuadrado inversa escalada. La distribución a priori para $σ²$ $es$ la siguiente: $p(\sigma ^{2}\mid \nu _{0},\sigma _{0}^{2})={\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\nu _{0}/2}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\propto {\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}$

La función de verosimilitud anterior, escrita en términos de la varianza, es: ${\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\sigma ^{2})&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right]\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}$ dónde $S=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.$

Entonces: ${\begin{aligned}p(\sigma ^{2}\mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \sigma ^{2})p(\sigma ^{2})\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]{\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\frac {\nu _{0}}{2}}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\\&\propto \left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{n/2}{\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}+n}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}$

Lo anterior también es una distribución chi-cuadrado inversa escalada donde ${\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\end{aligned}}$ o equivalentemente ${\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\nu _{0}+n}}\end{aligned}}$

Reparametrizando en términos de una distribución gamma inversa , el resultado es: ${\begin{aligned}\alpha '&=\alpha +{\frac {n}{2}}\\\beta '&=\beta +{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2}}\end{aligned}}$

Con media desconocida y varianza desconocida

Para un conjunto de puntos de datos $X$ distribuidos normalmente e i.i.d. de tamaño $n,$ donde cada punto individual $x$ sigue ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ Con una media desconocida $μ$ y una varianza desconocida $σ²$ , $se$ coloca una distribución a priori conjugada combinada (multivariada) sobre la media y la varianza, que consiste en una distribución normal-gamma inversa . Lógicamente, esto se origina de la siguiente manera:

Del análisis del caso con media desconocida pero varianza conocida, vemos que las ecuaciones de actualización implican estadísticas suficientes calculadas a partir de los datos, que consisten en la media de los puntos de datos y la varianza total de los puntos de datos, calculada a su vez a partir de la varianza conocida dividida por el número de puntos de datos.
Del análisis del caso con varianza desconocida pero media conocida, vemos que las ecuaciones de actualización implican estadísticas suficientes sobre los datos que consisten en el número de puntos de datos y la suma de las desviaciones cuadradas .
Tenga en cuenta que los valores de actualización posteriores sirven como distribución previa al procesar datos adicionales. Por lo tanto, debemos considerar lógicamente nuestras distribuciones previas en términos de las estadísticas suficientes descritas, manteniendo la misma semántica en la medida de lo posible.
Para abordar el caso en que tanto la media como la varianza son desconocidas, podríamos establecer distribuciones a priori independientes para la media y la varianza, con estimaciones fijas de la media promedio, la varianza total, el número de puntos de datos utilizados para calcular la distribución a priori de la varianza y la suma de las desviaciones al cuadrado. Sin embargo, cabe señalar que, en realidad, la varianza total de la media depende de la varianza desconocida, y la suma de las desviaciones al cuadrado que se incluye en la distribución a priori de la varianza (aparentemente) depende de la media desconocida. En la práctica, esta última dependencia es relativamente poco importante: al modificar la media real, los puntos generados se desplazan en la misma cantidad, y, en promedio, las desviaciones al cuadrado se mantienen constantes. No obstante, esto no ocurre con la varianza total de la media: a medida que aumenta la varianza desconocida, la varianza total de la media aumenta proporcionalmente, y nos interesa capturar esta dependencia.
Esto sugiere que creemos una distribución a priori condicional de la media sobre la varianza desconocida, con un hiperparámetro que especifica la media de las pseudoobservaciones asociadas a la distribución a priori, y otro parámetro que especifica el número de pseudoobservaciones. Este número sirve como parámetro de escala sobre la varianza, lo que permite controlar la varianza general de la media en relación con el parámetro de varianza real. La distribución a priori para la varianza también tiene dos hiperparámetros: uno que especifica la suma de las desviaciones cuadradas de las pseudoobservaciones asociadas a la distribución a priori, y otro que especifica, una vez más, el número de pseudoobservaciones. Cada una de las distribuciones a priori tiene un hiperparámetro que especifica el número de pseudoobservaciones, y en cada caso esto controla la varianza relativa de esa distribución a priori. Estos se dan como dos hiperparámetros separados para que la varianza (también conocida como confianza) de las dos distribuciones a priori se pueda controlar por separado.
Esto conduce inmediatamente a la distribución normal-gamma inversa , que es el producto de las dos distribuciones que acabamos de definir, utilizando distribuciones a priori conjugadas (una distribución gamma inversa sobre la varianza y una distribución normal sobre la media, condicionada a la varianza) y con los mismos cuatro parámetros que acabamos de definir.

Las probabilidades a priori se definen normalmente de la siguiente manera: ${\begin{aligned}p(\mu \mid \sigma ^{2};\mu _{0},n_{0})&\sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma ^{2}/n_{0})\\p(\sigma ^{2};\nu _{0},\sigma _{0}^{2})&\sim I\chi ^{2}(\nu _{0},\sigma _{0}^{2})=IG(\nu _{0}/2,\nu _{0}\sigma _{0}^{2}/2)\end{aligned}}$

Las ecuaciones de actualización se pueden derivar y tienen el siguiente aspecto: ${\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\\\mu _{0}'&={\frac {n_{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{n_{0}+n}}\\n_{0}'&=n_{0}+n\\\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n_{0}n}{n_{0}+n}}(\mu _{0}-{\bar {x}})^{2}\end{aligned}}$ Los respectivos números de pseudo-observaciones suman el número de observaciones reales. El nuevo hiperparámetro medio es, una vez más, un promedio ponderado, esta vez ponderado por los números relativos de observaciones. Finalmente, la actualización para ${\textstyle \nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'}$ es similar al caso con media conocida, pero en este caso la suma de las desviaciones al cuadrado se toma con respecto a la media de los datos observados en lugar de la media verdadera, y como resultado es necesario agregar un nuevo término de interacción para tener en cuenta la fuente de error adicional que proviene de la desviación entre la media previa y la media de los datos.

Ocurrencia y aplicaciones

La aparición de la distribución normal en problemas prácticos se puede clasificar, a grandes rasgos, en cuatro categorías:

Distribuciones exactamente normales;
Leyes aproximadamente normales, por ejemplo, cuando dicha aproximación está justificada por el teorema del límite central ; y
Distribuciones modeladas como normales: la distribución normal es la distribución con máxima entropía para una media y varianza dadas.
Problemas de regresión: se encuentra la distribución normal después de que los efectos sistemáticos se hayan modelado suficientemente bien.

normalidad exacta

El estado fundamental de un oscilador armónico cuántico tiene una distribución gaussiana.

En algunas teorías físicas se da una distribución normal :

La distribución de velocidad de esferas perfectamente elásticas que se mueven independientemente, que es una consecuencia de la Teoría Dinámica de los Gases de Maxwell, Parte I (1860) . ^{[ 59 ]}^{[ 60 ]}
La función de onda del estado fundamental en el espacio de posiciones del oscilador armónico cuántico . ^[⁶¹^]
La posición de una partícula que experimenta difusión . Si inicialmente la partícula se encuentra en un punto específico (es decir, su distribución de probabilidad es la función delta de Dirac ), entonces después de un tiempo $t$ su ubicación se describe mediante una distribución normal con varianza $t$ , que satisface la ecuación de difusión. ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x,t)}$ Si la ubicación inicial viene dada por una determinada función de densidad ${\textstyle g(x)}$ , entonces la densidad en el tiempo $t$ es la convolución de $g$ y la función de densidad de probabilidad normal.

Normalidad aproximada

En muchas situaciones se observan distribuciones aproximadamente normales, como explica el teorema del límite central . Cuando el resultado se produce por la acción aditiva e independiente de múltiples efectos pequeños , su distribución será cercana a la normal. Esta aproximación no será válida si los efectos actúan de forma multiplicativa (en lugar de aditiva) o si existe una única influencia externa con una magnitud considerablemente mayor que la del resto de los efectos.

En problemas de conteo, donde el teorema del límite central incluye una aproximación de discreto a continuo y donde se involucran distribuciones infinitamente divisibles y descomponibles , como por ejemplo:
- Variables aleatorias binomiales , asociadas a variables de respuesta binarias;
- Variables aleatorias de Poisson , asociadas a eventos raros;
La radiación térmica tiene una distribución de Bose-Einstein en escalas de tiempo muy cortas y una distribución normal en escalas de tiempo más largas debido al teorema del límite central.

normalidad asumida

Considero que la aparición de la curva normal —la curva laplaciana de errores— es un fenómeno sumamente anómalo. Se aproxima a ella en ciertas distribuciones; por esta razón, y debido a su notable simplicidad, podríamos utilizarla como primera aproximación, especialmente en investigaciones teóricas.

— Pearson (1901)

Existen métodos estadísticos para comprobar empíricamente esa suposición; véase la sección anterior sobre pruebas de normalidad .

En biología , el logaritmo de varias variables tiende a tener una distribución normal, es decir, tiende a tener una distribución log-normal (después de la separación en subpoblaciones masculinas/femeninas), con ejemplos que incluyen:
- Medidas del tamaño del tejido vivo (longitud, altura, área de piel, peso); ^{[ 62 ]}
- La longitud de los apéndices inertes (pelo, garras, uñas, dientes) de los especímenes biológicos, en la dirección del crecimiento ; presumiblemente, el grosor de la corteza de los árboles también entra en esta categoría;
- Ciertas mediciones fisiológicas, como la presión arterial en humanos adultos.
En finanzas, en particular en el modelo Black-Scholes , se asume que las variaciones en el logaritmo de los tipos de cambio, los índices de precios y los índices bursátiles siguen una distribución normal (estas variables se comportan como interés compuesto , no como interés simple, por lo que son multiplicativas). Algunos matemáticos, como Benoit Mandelbrot, han argumentado que las distribuciones log-Lévy , que poseen colas pesadas , serían un modelo más apropiado, especialmente para el análisis de las caídas del mercado bursátil . El uso de la suposición de distribución normal en los modelos financieros también ha sido criticado por Nassim Nicholas Taleb en sus trabajos.
Los errores de medición en experimentos físicos suelen modelarse mediante una distribución normal. El uso de esta distribución no implica asumir que los errores de medición siguen una distribución normal, sino que su utilización produce las predicciones más conservadoras posibles, dado únicamente el conocimiento de la media y la varianza de los errores. ^{[ 63 ]}
En las pruebas estandarizadas , los resultados pueden ajustarse a una distribución normal seleccionando el número y la dificultad de las preguntas (como en el test de CI ) o transformando las puntuaciones brutas en puntuaciones finales mediante el ajuste a la distribución normal. Por ejemplo, el rango tradicional del SAT , de 200 a 800, se basa en una distribución normal con una media de 500 y una desviación estándar de 100.

Distribución normal acumulativa ajustada a las precipitaciones de octubre, véase el ajuste de la distribución.

Muchas puntuaciones se derivan de la distribución normal, incluyendo percentiles (o cuantiles), equivalentes de curvas normales , estaninos , puntuaciones z y puntuaciones T. Además, algunos procedimientos estadísticos conductuales asumen que las puntuaciones siguen una distribución normal; por ejemplo, las pruebas t y los análisis de varianza (ANOVA ). La calificación mediante curva de campana asigna calificaciones relativas basadas en una distribución normal de las puntuaciones.
En hidrología, la distribución de la descarga fluvial o la precipitación de larga duración, por ejemplo, los totales mensuales y anuales, se suele considerar prácticamente normal según el teorema del límite central . ^{[ 64 ]} El gráfico de la derecha ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución normal a las precipitaciones de octubre ordenadas, mostrando el cinturón de confianza del 90 % basado en la distribución binomial . Los datos de precipitación se representan trazando posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .

Problemas metodológicos y revisión por pares

John Ioannidis argumentó que usar desviaciones estándar con distribución normal como criterios para validar los resultados de la investigación deja sin comprobar predicciones falsables sobre fenómenos que no siguen una distribución normal. Esto incluye, por ejemplo, fenómenos que solo aparecen cuando se cumplen todas las condiciones necesarias y en los que uno no puede sustituir al otro de forma aditiva, así como fenómenos que no se distribuyen aleatoriamente. Ioannidis sostiene que la validación centrada en la desviación estándar da una falsa apariencia de validez a las hipótesis y teorías en las que algunas, pero no todas, las predicciones falsables tienen una distribución normal, ya que la parte de las predicciones falsables contra las que existe evidencia puede estar, y en algunos casos lo está, en las partes no normales del rango de predicciones falsables. Además, descarta sin fundamento hipótesis para las que ninguna de las predicciones falsables tiene una distribución normal, como si fueran infalsificables, cuando en realidad sí hacen predicciones falsables. Ioannidis argumenta que muchos casos de teorías mutuamente excluyentes aceptadas como validadas por revistas de investigación se deben a que las revistas no aceptan falsificaciones empíricas de predicciones con distribución no normal, y no a que las teorías mutuamente excluyentes sean verdaderas, lo cual no es posible, aunque dos teorías mutuamente excluyentes pueden ser erróneas y una tercera correcta. ^{[ 65 ]}

Métodos computacionales

Generación de valores a partir de la distribución normal

En las simulaciones por ordenador, especialmente en las aplicaciones del método de Montecarlo , suele ser deseable generar valores con distribución normal. Los algoritmos que se enumeran a continuación generan desviaciones normales estándar, ya que una distribución normal estándar $N (μ, σ²)$ se puede generar como $X = μ +$ $σZ$ , donde $Z es$ $la$ distribución normal estándar. Todos estos algoritmos dependen de la disponibilidad de un generador de números aleatorios $U$ capaz de producir variables aleatorias uniformes .

El método más directo se basa en la propiedad de la transformación integral de probabilidad : si $U$ se distribuye uniformemente en (0,1), entonces $Φ -1 (U)$ tendrá la distribución normal estándar. El inconveniente de este método es que depende del cálculo de la función probit Φ ⁻¹ , lo cual no se puede hacer analíticamente. Algunos métodos aproximados se describen en Hart (1968) y en el artículo de erf . Wichura proporciona un algoritmo rápido para calcular esta función con 16 decimales, ^{[ 66 ]} que R utiliza para calcular variables aleatorias de la distribución normal.
Un enfoque aproximado fácil de programar que se basa en el teorema del límite central es el siguiente: generar 12 desviaciones uniformes $U (0,1)$ , sumarlas todas y restar 6; la variable aleatoria resultante tendrá aproximadamente una distribución normal estándar. En realidad, la distribución será de Irwin-Hall , que es una aproximación polinómica de undécimo orden de 12 secciones a la distribución normal. Esta desviación aleatoria tendrá un rango limitado de $(-6, 6)$ . ^{[ 67 ]} Nótese que en una distribución normal verdadera, solo el 0,00034% de todas las muestras caerán fuera de $\pm6$ $σ$ .
El método Box-Muller utiliza dos números aleatorios independientes $U$ y $V$ distribuidos uniformemente en (0,1). Luego, las dos variables aleatorias $X$ e $Y$ $X={\sqrt {-2\ln U}}\,\cos(2\pi V),\qquad Y={\sqrt {-2\ln U}}\,\sin(2\pi V).$ ambas tendrán la distribución normal estándar y serán independientes . Esta formulación surge porque para un vector aleatorio $normal$ bivariado $(X, Y),$ $la$ norma al cuadrado $X² + Y²$ tendrá la distribución chi-cuadrado con dos grados de libertad, que es una variable aleatoria exponencial fácilmente generada correspondiente a la cantidad $-2 ln(U)$ en estas ecuaciones; y el ángulo se distribuye uniformemente alrededor del círculo, elegido por la variable aleatoria $V.$
El método polar de Marsaglia es una modificación del método de Box-Muller que no requiere el cálculo de las funciones seno y coseno. En este método, $U$ y $V$ se extraen de la distribución uniforme (−1,1), y luego se calcula $S = U² + V² .$ Si $S$ es mayor o igual a 1, el método comienza de nuevo; de lo contrario, las dos $cantidades$ $X=U{\sqrt {\frac {-2\ln S}{S}}},\qquad Y=V{\sqrt {\frac {-2\ln S}{S}}}$ se devuelven. Nuevamente, $X$ e $Y$ son variables aleatorias normales estándar independientes.
El método de la razón ^{[ 68 ]} es un método de rechazo. El algoritmo procede de la siguiente manera:
- Generar dos desviaciones uniformes independientes $U$ y $V$ ;
- Calcula $X = \sqrt 8/ e (V - 0.5)/ U$ ;
- Opcional: si $X 2 \leq 5 - 4 e 1/4 U$ entonces aceptar $X$ y terminar el algoritmo;
- Opcional: si $X 2 \geq 4 e -1.35 / U + 1.4$ entonces rechace $X$ y comience de nuevo desde el paso 1;
- Si $X 2 \leq -4 ln U$ entonces acepte $X$ , de lo contrario comience de nuevo el algoritmo.
Los dos pasos opcionales permiten evitar la evaluación del logaritmo en el último paso en la mayoría de los casos. Estos pasos pueden mejorarse considerablemente ^{[ 69 ]} para que el logaritmo rara vez se evalúe.
El algoritmo zigurat ^{[ 70 ]} es más rápido que la transformada de Box-Muller y sigue siendo exacto. En aproximadamente el 97% de los casos, utiliza solo dos números aleatorios: un entero y un número aleatorio uniforme, una multiplicación y una prueba condicional. Únicamente en el 3% de los casos, cuando la combinación de estos dos números queda fuera del "núcleo del zigurat" (un tipo de muestreo por rechazo mediante logaritmos), es necesario emplear exponenciales y números aleatorios más uniformes.
La aritmética entera se puede utilizar para muestrear de la distribución normal estándar. ^{[ 71 ]}^{[ 72 ]} Este método es exacto en el sentido de que satisface las condiciones de aproximación ideal ; ^{[ 73 ]} es decir, es equivalente a muestrear un número real de la distribución normal estándar y redondearlo al número de punto flotante representable más cercano.
También se ha investigado ^{[ 74 ]} la relación entre la transformada rápida de Hadamard y la distribución normal, ya que la transformada emplea únicamente sumas y restas, y, según el teorema del límite central, los números aleatorios de casi cualquier distribución se transformarán en una distribución normal. En este sentido, se puede combinar una serie de transformadas de Hadamard con permutaciones aleatorias para convertir conjuntos de datos arbitrarios en datos con distribución normal.

Aproximaciones numéricas para la función de distribución acumulativa normal y la función cuantil normal.

La función de distribución acumulativa normal estándar se utiliza ampliamente en la computación científica y estadística.

Los valores $Φ (x)$ pueden aproximarse con gran precisión mediante diversos métodos, como la integración numérica , las series de Taylor , las series asintóticas y las fracciones continuas . Se utilizan diferentes aproximaciones según el nivel de precisión deseado.

Zelen y Severo (1964) dan la aproximación para $Φ (x)$ para $x > 0$ con el error absoluto $| ε (x) | < 7,5\cdot10 -8$ (algoritmo 26.2.17 ): $\Phi (x)=1-\varphi (x)\left(b_{1}t+b_{2}t^{2}+b_{3}t^{3}+b_{4}t^{4}+b_{5}t^{5}\right)+\varepsilon (x),\qquad t={\frac {1}{1+b_{0}x}},$ donde $ϕ (x)$ es la función de densidad de probabilidad normal estándar, y $b 0 = 0,2316419$ , $b 1 = 0,319381530$ , $b 2 = -0,356563782$ , $b 3 = 1,781477937$ , $b 4 = -1,821255978$ , $b 5 = 1,330274429$ .
Hart (1968) enumera docenas de aproximaciones mediante funciones racionales, con o sin exponenciales, para la función erfc() , donde erfc(x) = 1 - erf(x). Sus algoritmos varían en el grado de complejidad y la precisión resultante, con una precisión absoluta máxima de 24 dígitos. Un algoritmo de West (2009) combina el algoritmo 5666 de Hart con una aproximación de fracción continua en la cola para proporcionar un algoritmo de cálculo rápido con una precisión de 16 dígitos.
Cody (1969) , después de recordar que la solución de Hart68 no es adecuada para erf, dio una solución tanto para erf como para erfc, con límite de error relativo máximo, a través de la aproximación racional de Chebyshev .
Marsaglia (2004) propuso un algoritmo sencillo ^{[ nota 1 ]} basado en la expansión en serie de Taylor. $\Phi (x)={\frac {1}{2}}+\varphi (x)\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+{\frac {x^{7}}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots \right)$ para calcular $Φ (x)$ con precisión arbitraria. La desventaja de este algoritmo es el tiempo de cálculo relativamente lento (por ejemplo, se necesitan más de 300 iteraciones para calcular la función con 16 dígitos de precisión cuando $x = 10$ ).
La biblioteca científica GNU calcula los valores de la función de distribución acumulativa normal estándar utilizando los algoritmos de Hart y aproximaciones con polinomios de Chebyshev .
Dia (2023) propone la siguiente aproximación de ${\textstyle 1-\Phi }$ con un error relativo máximo menor que ${\textstyle 2^{-53}}$ ${\textstyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$ en valor absoluto: para ${\textstyle x\geq 0}$ ${\textstyle {\begin{aligned}1-\Phi \left(x\right)&=\left({\frac {0.39894228040143268}{x+2.92678600515804815}}\right)\left({\frac {x^{2}+8.42742300458043240x+18.38871225773938487}{x^{2}+5.81582518933527391x+8.97280659046817350}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+7.30756258553673541x+18.25323235347346525}{x^{2}+5.70347935898051437x+10.27157061171363079}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.66479518878470765x+18.61193318971775795}{x^{2}+5.51862483025707963x+12.72323261907760928}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+4.91396098895240075x+24.14804072812762821}{x^{2}+5.26184239579604207x+16.88639562007936908}}\right)\left({\frac {x^{2}+3.83362947800146179x+11.61511226260603247}{x^{2}+4.92081346632882033x+24.12333774572479110}}\right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\end{aligned}}}$ y para ${\textstyle x<0}$ ,

$1-\Phi \left(x\right)=1-\left(1-\Phi \left(-x\right)\right)$

Shore (1982) introdujo aproximaciones simples que pueden incorporarse en modelos de optimización estocástica de ingeniería e investigación operativa, como la ingeniería de confiabilidad y el análisis de inventarios. Denotando $p = Φ (z)$ , la aproximación más simple para la función cuantil es: $z=\Phi ^{-1}(p)=5.5556\left[1-\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{0.1186}\right],\qquad p\geq 1/2$

Esta aproximación proporciona para $z$ un error absoluto máximo de 0,026 (para $0,5 \leq p \leq 0,9999$ , correspondiente a $0 \leq z \leq 3,719$ ). Para $p < 1/2,$ sustituya $p$ por $1 - p$ y cambie el signo. Otra aproximación, algo menos precisa, es la aproximación de un solo parámetro: $z=-0.4115\left\{{\frac {1-p}{p}}+\log \left[{\frac {1-p}{p}}\right]-1\right\},\qquad p\geq 1/2$

Este último había servido para derivar una aproximación simple para la integral de pérdida de la distribución normal, definida por ${\begin{aligned}L(z)&=\int _{z}^{\infty }(u-z)\varphi (u)\,du=\int _{z}^{\infty }[1-\Phi (u)]\,du\\[5pt]L(z)&\approx {\begin{cases}0.4115\left({\dfrac {p}{1-p}}\right)-z,&p<1/2,\\\\0.4115\left({\dfrac {1-p}{p}}\right),&p\geq 1/2.\end{cases}}\\[5pt]{\text{or, equivalently,}}\\L(z)&\approx {\begin{cases}0.4115\left\{1-\log \left[{\frac {p}{1-p}}\right]\right\},&p<1/2,\\\\0.4115{\dfrac {1-p}{p}},&p\geq 1/2.\end{cases}}\end{aligned}}$

Esta aproximación es particularmente precisa para la cola derecha extrema (error máximo de 10 ⁻³ para $z \geq 1,4$ ). En Shore (2005) se muestran aproximaciones muy precisas para la función de distribución acumulativa, basadas en la Metodología de Modelado de Respuesta (RMM, Shore, 2011, 2012).

Se pueden encontrar algunas aproximaciones adicionales en: Función de error#Aproximación con funciones elementales . En particular, un pequeño error relativo en todo el dominio para la función de distribución acumulativa . $\Phi$ y la función cuantil ${\textstyle \Phi ^{-1}}$ Asimismo, esto se logra mediante una fórmula explícitamente invertible propuesta por Sergei Winitzki en 2008.

Historia

Desarrollo

Algunos autores ^{[ 75 ]}^{[ 76 ]} atribuyen el descubrimiento de la distribución normal a de Moivre , quien en 1738 ^{[ nota 2 ]} publicó en la segunda edición de su Doctrina de las probabilidades el estudio de los coeficientes en la expansión binomial de $(a + b) n$ . De Moivre demostró que el término central en esta expansión tiene una magnitud aproximada de ${\textstyle 2^{n}/{\sqrt {2\pi n}}}$ y que "Si $m$ o $1/2$ $n$ $es$ $una cantidad infinitamente grande, entonces$ el logaritmo de la razón que un término alejado del medio por el intervalo $ℓ tiene$ $con$ $respecto$ al término medio es ${\textstyle -{\frac {2\ell \ell }{n}}}$ ." ^{[ 77 ]} Aunque este teorema puede interpretarse como la primera expresión oscura de la ley de probabilidad normal, Stigler señala que el propio de Moivre no interpretó sus resultados como algo más que la regla aproximada para los coeficientes binomiales, y en particular de Moivre carecía del concepto de función de densidad de probabilidad. ^{[ 78 ]}

En 1823, Gauss publicó su monografía " Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae ", donde, entre otras cosas, introduce varios conceptos estadísticos importantes, como el método de mínimos cuadrados , el método de máxima verosimilitud y la distribución normal . Gauss utilizó $M$ , $M'$ , $M'', ...$ para denotar las mediciones de alguna cantidad desconocida $V$ , y buscó el estimador más probable de esa cantidad: aquel que maximiza la probabilidad $φ$ $($ $M$ $-$ $V$ $) \cdot$ $φ$ $($ $M$ $' -$ $V$ $) \cdot$ $φ$ $($ $M$ $'' -$ $V$ $) \cdot ...$ de obtener los resultados experimentales observados. En su notación, φΔ es la función de densidad de probabilidad de los errores de medición de magnitud Δ. Sin saber cuál es la función $φ$ , Gauss requiere que su método se reduzca a la respuesta bien conocida: la media aritmética de los valores medidos. ^[^{nota 3}^] Partiendo de estos principios, Gauss demuestra que la única ley que racionaliza la elección de la media aritmética como estimador del parámetro de localización es la ley normal de errores: ^[⁷⁹^] $\varphi {\mathit {\Delta }}={\frac {h}{\surd \pi }}\,e^{-\mathrm {hh} \Delta \Delta },$ donde $h$ es "la medida de la precisión de las observaciones". Utilizando esta ley normal como modelo genérico para los errores en los experimentos, Gauss formula lo que ahora se conoce como el método de mínimos cuadrados ponderados no lineales . ^[⁸⁰^]

Aunque Gauss fue el primero en sugerir la ley de distribución normal, Laplace hizo contribuciones significativas. ^{[ nota 4 ]} Fue Laplace quien planteó por primera vez el problema de agregar varias observaciones en 1774, ^{[ 81 ]} aunque su propia solución condujo a la distribución laplaciana . Fue Laplace quien calculó por primera vez el valor de la integral $\int e - t 2 dt = \sqrt π$ en 1782, proporcionando la constante de normalización para la distribución normal. ^{[ 82 ]} Por este logro, Gauss reconoció la prioridad de Laplace. ^{[ 83 ]} Finalmente, fue Laplace quien en 1810 demostró y presentó a la academia el teorema fundamental del límite central , que enfatizó la importancia teórica de la distribución normal. ^{[ 84 ]}

Es interesante señalar que en 1809 el matemático irlandés-estadounidense Robert Adrain publicó dos derivaciones perspicaces pero defectuosas de la ley de probabilidad normal, de forma simultánea e independiente de Gauss. ^{[ 85 ]} Sus trabajos pasaron en gran medida desapercibidos para la comunidad científica hasta que en 1871 fueron rescatados por Abbe . ^{[ 86 ]}

A mediados del siglo XIX, Maxwell demostró que la distribución normal no es solo una herramienta matemática conveniente, sino que también puede ocurrir en fenómenos naturales: ^{[ 59 ]} El número de partículas cuya velocidad, resuelta en una dirección determinada, se encuentra entre $x$ y $x + dx$ es $\operatorname {N} {\frac {1}{\alpha \;{\sqrt {\pi }}}}\;e^{-{\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}}\,dx$

Nomenclatura

Actualmente, este concepto se conoce comúnmente en inglés como distribución normal o distribución gaussiana . Otros nombres menos comunes incluyen distribución de Gauss, distribución de Laplace-Gauss, ley de error, ley de facilidad de error, segunda ley de Laplace y ley gaussiana.

Aparentemente, el propio Gauss acuñó el término en referencia a las "ecuaciones normales" involucradas en sus aplicaciones, donde "normal" tiene el significado técnico de ortogonal en lugar de usual. ^{[ 87 ]} Sin embargo, a finales del siglo XIX, algunos autores ^{[ nota 5 ]} comenzaron a usar el nombre de distribución normal , donde la palabra "normal" se usaba como adjetivo ; el término ahora se veía como un reflejo de que esta distribución se consideraba típica, común y, por lo tanto, normal. Peirce (uno de esos autores) definió "normal" de la siguiente manera: "... lo 'normal' no es el promedio (o cualquier otro tipo de media) de lo que realmente ocurre, sino de lo que , a largo plazo, ocurriría bajo ciertas circunstancias." ^{[ 88 ]} Alrededor del cambio de siglo XX, Pearson popularizó el término normal como designación para esta distribución. ^{[ 89 ]}

Hace muchos años, denominé a la curva de Laplace-Gauss curva normal , nombre que, si bien evita una cuestión internacional de prioridad, tiene la desventaja de llevar a la gente a creer que todas las demás distribuciones de frecuencia son, en un sentido u otro, "anormales".

— Pearson (1920)

Además, fue Pearson quien primero escribió la distribución en términos de la desviación estándar $σ,$ como en la notación moderna. Poco después, en 1915, Fisher añadió el parámetro de localización a la fórmula de la distribución normal, expresándola de la forma en que se escribe hoy en día: $df={\frac {1}{\sqrt {2\sigma ^{2}\pi }}}e^{-(x-m)^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dx.$

El término distribución normal estándar , que denota la distribución normal con media cero y varianza unitaria, se generalizó alrededor de la década de 1950, apareciendo en los libros de texto populares de P. G. Hoel (1947) Introducción a la estadística matemática y Alexander M. Mood (1950) Introducción a la teoría de la estadística . ^{[ 90 ]}^{[ 91 ]}^{[ 92 ]}

Véase también

Distribución de Bates : similar a la distribución de Irwin-Hall, pero reescalada al rango de 0 a 1.
Problema de Behrens-Fisher : el antiguo problema de comprobar si dos muestras normales con varianzas diferentes tienen la misma media;
Distancia de Bhattacharyya : método utilizado para separar mezclas de distribuciones normales.
Teorema de Erdős-Kac : sobre la aparición de la distribución normal en la teoría de números.
Ancho total a la mitad del máximo
Desenfoque gaussiano : convolución , que utiliza la distribución normal como núcleo.
función gaussiana
Distribución seminormal modificada ^{[ 93 ]} con la pdf en ${\textstyle (0,\infty )}$ se da como ${\textstyle f(x)={\frac {2\beta ^{\alpha /2}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}$ , dónde ${\textstyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$ denota la función Psi de Fox-Wright .
Una distribución normal y la ausencia de correlación no implican independencia.
Distribución normal de razón
Distribución normal recíproca
Tabla normal estándar
El lema de Stein
Distribución subgaussiana
Suma de variables aleatorias con distribución normal
Distribución de Tweedie : La distribución normal es un miembro de la familia de modelos de dispersión exponencial de Tweedie .
Distribución normal envuelta : la distribución normal aplicada a un dominio circular.
Prueba Z : utilizando la distribución normal
Distribución gaussiana en un grupo abeliano localmente compacto

Notas

↑ Por ejemplo, este algoritmo se presenta en el artículo Lenguaje de programación Bc .
↑ De Moivre publicó por primera vez sus hallazgos en 1733, en un folleto titulado Approximatio ad Summam Terminorum Binomii $(a + b) n$ in Seriem Expansi , destinado únicamente a la circulación privada. Pero no fue hasta el año 1738 que hizo públicos sus resultados. El folleto original se reimprimió varias veces; véase, por ejemplo, Walker (1985) .
↑ «Desde hace tiempo se considera un axioma la hipótesis de que si una cantidad se ha determinado mediante varias observaciones directas, realizadas en las mismas circunstancias y con igual cuidado, la media aritmética de los valores observados proporciona el valor más probable, si no de forma rigurosa, al menos muy aproximada, de modo que siempre es más seguro atenerse a ella.» — Gauss (1809 , sección 177)
↑ "Mi costumbre de denominar a la curva curva gaussiana-laplaciana o curva normal nos evita tener que repartir el mérito del descubrimiento entre los dos grandes astrónomos matemáticos." (Cita de Pearson, 1905 , p. 189)
↑ Además de los específicamente mencionados aquí, dicho uso se encuentra en las obras de Peirce , Galton ( Galton (1889 , capítulo V)) y Lexis ( Lexis (1878) , Rohrbasser y Véron (2003) ) c. 1875.

Referencias

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External links

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Normal distribution calculator

[75] Por ejemplo, este algoritmo se presenta en el artículo Lenguaje de programación Bc .

[78] De Moivre publicó por primera vez sus hallazgos en 1733, en un folleto titulado Approximatio ad Summam Terminorum Binomii $(a + b) n$ in Seriem Expansi , destinado únicamente a la circulación privada. Pero no fue hasta el año 1738 que hizo públicos sus resultados. El folleto original se reimprimió varias veces; véase, por ejemplo, Walker (1985) .

[81] «Desde hace tiempo se considera un axioma la hipótesis de que si una cantidad se ha determinado mediante varias observaciones directas, realizadas en las mismas circunstancias y con igual cuidado, la media aritmética de los valores observados proporciona el valor más probable, si no de forma rigurosa, al menos muy aproximada, de modo que siempre es más seguro atenerse a ella.» — Gauss (1809 , sección 177)

[84] "Mi costumbre de denominar a la curva curva gaussiana-laplaciana o curva normal nos evita tener que repartir el mérito del descubrimiento entre los dos grandes astrónomos matemáticos." (Cita de Pearson, 1905 , p. 189)

[92] Además de los específicamente mencionados aquí, dicho uso se encuentra en las obras de Peirce , Galton ( Galton (1889 , capítulo V)) y Lexis ( Lexis (1878) , Rohrbasser y Véron (2003) ) c. 1875.

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[85] Laplace (1774 , Problema III)

[86] Pearson (1905 , pág. 189)

[87] Gauss (1809 , sección 177)

[88] Stigler (1986 , pág. 144)

[89] Stigler (1978 , pág. 243)

[90] Stigler (1978 , pág. 244)

[91] Jaynes, Edwin J.; Teoría de la probabilidad: La lógica de la ciencia , Cap. 7 .

[93] Peirce, Charles S. (c. 1909 MS), Collected Papers v. 6, párrafo 327.

[94] Kruskal y Stigler (1997) .

[95] "Primeros usos... (Curva normal estándar de entrada)" .

[96] Hoel (1947) introduce los términos curva normal estándar (pág. 33) y distribución normal estándar (pág. 69) .

[97] Mood (1950) define explícitamente la distribución normal estándar (p. 112) .

[Sun-2021-98] Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). "La distribución seminormal modificada: propiedades y un esquema de muestreo eficiente" . Communications in Statistics – Theory and Methods . 52 (5): 1591– 1613. doi : 10.1080/03610926.2021.1934700 . ISSN 0361-0926 . S2CID 237919587 .

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