Álgebra de Cuntz

Las álgebras de Cuntz no son isomorfas por pares , es decir,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$y${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$no son isomorfos para${\displaystyle n\neq m}$. El grupo K ₀ de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$es${\displaystyle \mathbb {Z} /(n-1)\mathbb {Z} }$, el grupo cíclico de orden${\displaystyle n-1}$. Desde${\displaystyle K_{0}}$es un functor ,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$y${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$no son isomorfos.

Teorema. El álgebra C* concreta${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es isomorfo al álgebra C* universal${\displaystyle {\mathcal {L}}}$generado por${\displaystyle n}$generadores${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{n}}$sujeto a relaciones${\displaystyle s_{i}^{*}s_{i}=1}$a pesar de${\displaystyle i}$y${\displaystyle \textstyle \sum s_{i}s_{i}^{*}=1}$.

La demostración del teorema se basa en el siguiente hecho: cualquier C*-álgebra generada por${\displaystyle n}$isometrías${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{n}}$con rangos ortogonales contiene una copia del álgebra UHF${\displaystyle {\mathcal {F}}}$tipo${\displaystyle n^{\infty }}$. Es decir,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$está abarcado por palabras de la forma

${\displaystyle s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}s_{j_{1}}^{*}\cdots s_{j_{k}}^{*},\quad k\geq 0.}$

La *-subálgebra${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, al ser aproximadamente de dimensión finita , tiene una norma C* única. La subálgebra${\displaystyle {\mathcal {F}}}$desempeña el papel del espacio de coeficientes de Fourier para elementos del álgebra. Un lema técnico clave, debido a Cuntz, es que un elemento en el álgebra es cero si y solo si todos sus coeficientes de Fourier se anulan. Usando esto, se puede demostrar que el mapa cociente de ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$a${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es inyectivo , lo que demuestra el teorema.

El álgebra UHF${\displaystyle {\mathcal {F}}}$tiene una subálgebra no unitaria${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$que es canónicamente isomorfo a${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en sí mismo: en el${\displaystyle M_{n}}$etapa del sistema directo que define${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, considere la proyección de rango 1 e ₁₁ , la matriz que es 1 en la esquina superior izquierda y cero en el resto. Propaga esta proyección a través del sistema directo. En el${\displaystyle M_{n^{k}}}$etapa del sistema directo, uno tiene un rango${\displaystyle n^{k-1}}$proyección. En el límite directo , esto da una proyección${\displaystyle P}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$La esquina

${\displaystyle P{\mathcal {F}}P={\mathcal {F'}}}$

es isomorfo a${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. El *-endomorfismo${\displaystyle \phi }$que mapas${\displaystyle {\mathcal {F}}}$sobre${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$se implementa mediante la isometría${\displaystyle s_{1}}$, es decir,${\displaystyle \phi (\cdot )=s_{1}(\cdot )s_{1}^{*}}$.${\displaystyle \;{\mathcal {O}}_{n}}$es de hecho el producto cruzado de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$con el endomorfismo${\displaystyle \phi }$.

Las relaciones que definen las álgebras de Cuntz coinciden con la definición del biproducto para categorías preaditivas . Esta similitud se precisa en la C*-categoría de *-endomorfismos unitarios sobre C*-álgebras. Los objetos de esta categoría son *-endomorfismos unitarios, y los morfismos son los elementos.${\displaystyle a\in A}$, dónde${\displaystyle a:\rho \to \sigma }$si${\displaystyle a\rho (b)=\sigma (b)a}$por cada${\displaystyle b\in A}$. Un *-endomorfismo unitario${\displaystyle \rho :A\to A}$es la suma directa de endomorfismos${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{n}}$si hay isometrías${\displaystyle \{S_{k}\}_{k=1}^{n}}$satisfacer la${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$relaciones y

${\displaystyle \rho (x)=\sum _{k=1}^{n}S_{k}\sigma _{k}(x)S_{k}^{*},\forall x\in A.}$

En esta suma directa, los morfismos de inclusión son${\displaystyle S_{k}:\sigma _{k}\to \rho }$y los morfismos de proyección son${\displaystyle S_{k}^{*}:\rho \to \sigma _{k}}$.

Las álgebras de Cuntz se han generalizado de muchas maneras. Entre ellas destacan las álgebras de Cuntz-Krieger , las álgebras C* de grafos y las álgebras C* de k-grafos .