Álgebra C* gráfica

En matemáticas , un álgebra C* de grafos es un álgebra C* universal construida a partir de un grafo dirigido . Las álgebras C* de grafos son generalizaciones directas de las álgebras de Cuntz y de Cuntz-Krieger, pero se ha demostrado que la clase de álgebras C* de grafos también incluye otras clases de álgebras C* ampliamente estudiadas . Como resultado, las álgebras C* de grafos proporcionan un marco común para investigar muchas clases conocidas de álgebras C* que antes se estudiaban de forma independiente. Entre otras ventajas, esto proporciona un contexto en el que se pueden formular teoremas que se aplican simultáneamente a todas estas subclases y que contienen resultados específicos para cada una de ellas como casos particulares.

Aunque las C*-álgebras de grafos incluyen numerosos ejemplos, proporcionan una clase de C*-álgebras sorprendentemente fáciles de estudiar y mucho más manejables que las C*-álgebras generales. El grafo no solo determina el C*-álgebra asociada al especificar relaciones para los generadores, sino que también proporciona una herramienta útil para describir y visualizar las propiedades del C*-álgebra. Esta cualidad visual ha llevado a que las C*-álgebras de grafos se denominen " álgebras de operadores que podemos ver". ^{[ 1 ] [ 2 ]} Otra ventaja de las C*-álgebras de grafos es que gran parte de su estructura y muchos de sus invariantes se pueden calcular fácilmente. Utilizando datos provenientes del grafo, se puede determinar si el C*-álgebra asociada tiene propiedades particulares, describir la red de ideales y calcular invariantes K-teóricos .

La terminología para grafos utilizada por los algebristas de C* difiere ligeramente de la utilizada por los teóricos de grafos . El término grafo se suele entender como un grafo dirigido.${\displaystyle E=(E^{0},E^{1},r,s)}$que consta de un conjunto numerable de vértices${\displaystyle E^{0}}$, un conjunto contable de aristas${\displaystyle E^{1}}$y mapas${\displaystyle r,s:E^{1}\rightarrow E^{0}}$identificando el rango y la fuente de cada arista, respectivamente. Un vértice${\displaystyle v\in E^{0}}$se llama fregadero cuando${\displaystyle s^{-1}(v)=\emptyset}$; es decir, no hay bordes en${\displaystyle E}$con fuente${\displaystyle v}$. Un vértice${\displaystyle v\in E^{0}}$se denomina emisor infinito cuando${\displaystyle s^{-1}(v)}$es infinito; es decir, hay infinitas aristas en${\displaystyle E}$con fuente${\displaystyle v}$Un vértice se denomina vértice singular si es un sumidero o un emisor infinito, y un vértice se denomina vértice regular si no es un vértice singular. Tenga en cuenta que un vértice${\displaystyle v}$es regular si y solo si el número de aristas en${\displaystyle E}$con fuente${\displaystyle v}$es finito y distinto de cero. Un grafo se denomina finito por filas si no tiene emisores infinitos; es decir, si cada vértice es un vértice regular o un sumidero.

Un camino es una secuencia finita de aristas.${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$con${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$a pesar de${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$Un camino infinito es una secuencia infinita numerable de aristas .${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots }$con${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$a pesar de${\displaystyle i\geq 1}$Un ciclo es un camino${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$con${\displaystyle r(e_{n})=s(e_{1})}$y una salida para un ciclo${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$es una ventaja${\displaystyle f\in E^{1}}$de tal manera que${\displaystyle s(f)=s(e_{i})}$y${\displaystyle f\neq e_{i}}$para algunos${\displaystyle 1\leq i\leq n}$Un ciclo${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$se denomina ciclo simple si${\ Displaystyle s (e_ {i}) \ neq s (e_ {1})}$a pesar de${\displaystyle 2\leq i\leq n}$.

Las siguientes son dos condiciones importantes de los grafos que surgen en el estudio de las C*-álgebras de grafos.

Condición (L): Cada ciclo en el gráfico tiene una salida.

Condición (K): No hay ningún vértice en el grafo que se encuentre en exactamente un ciclo simple. Es decir, un grafo satisface la condición (K) si y solo si cada vértice del grafo no se encuentra en ningún ciclo o se encuentra en dos o más ciclos simples.

Un Cuntz-Krieger${\displaystyle E}$-familia es una colección${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$en un álgebra C* tal que los elementos de${\displaystyle \left\{s_{e}:e\in E^{1}\right\}}$son isometrías parciales con rangos mutuamente ortogonales, los elementos de${\displaystyle \left\{p_{v}:v\in E^{0}\right\}}$son proyecciones mutuamente ortogonales, y se satisfacen las siguientes tres relaciones (llamadas relaciones de Cuntz-Krieger ):

1. (CK1)${\displaystyle s_{e}^{*}s_{e}=p_{r(e)}}$a pesar de${\displaystyle e\in E^{1}}$,
2. (CK2)${\displaystyle p_{v}=\sum _ {s(e)=v}s_{e}s_{e}^{*}}$cuando sea${\displaystyle v}$es un vértice regular y
3. (CK3)${\displaystyle s_{e}s_{e}^{*}\leq p_{s(e)}}$a pesar de${\displaystyle e\in E^{1}}$.

El grafo C*-álgebra correspondiente a${\displaystyle E}$, denotado por${\displaystyle C^{*}(E)}$, se define como el álgebra C* generada por un Cuntz-Krieger${\displaystyle E}$-familia que es universal en el sentido de que siempre que${\displaystyle \left\{t_{e},q_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$es un Cuntz-Krieger${\displaystyle E}$-familia en un álgebra C*${\displaystyle A}$existe un${\displaystyle *}$-homomorfismo${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$con${\displaystyle \phi (s_ {e}) = t_ {e}}$a pesar de${\displaystyle e\in E^{1}}$y${\displaystyle \phi (p_{v})=q_{v}}$a pesar de${\displaystyle v\in E^{0}}$. Existencia de${\displaystyle C^{*}(E)}$para cualquier gráfico${\displaystyle E}$fue establecida por Kumjian, Pask y Raeburn. ^{[ 3 ]} Singularidad de${\displaystyle C^{*}(E)}$(arriba a${\displaystyle *}$-isomorfismo ) se deduce directamente de la propiedad universal .

El álgebra C* de grafos se ha calculado para muchos grafos. Por el contrario, para ciertas clases de álgebras C* se ha demostrado cómo construir un grafo cuya álgebra C* es${\displaystyle *}$-isomorfo o equivalente de Morita a un álgebra C* dada de esa clase.

La siguiente tabla muestra una serie de grafos dirigidos y sus C*-álgebras. Usamos la convención de que una flecha doble dibujada de un vértice a otro y etiquetada${\displaystyle \infty }$indica que hay un número infinito numerable de aristas desde el primer vértice hasta el segundo.

Se ha demostrado que la clase de álgebras C* de grafos contiene varias clases de álgebras C*. Las álgebras C* de cada una de las siguientes clases pueden realizarse como álgebras C* de grafos hasta${\displaystyle *}$-isomorfismo :

• Álgebras de Cuntz
• álgebras de Cuntz-Krieger
• álgebras C* de dimensión finita
• álgebras AF estables

Las C*-álgebras de cada una de las siguientes clases pueden realizarse como C*-álgebras gráficas hasta la equivalencia de Morita:

• Álgebras AF ^{[ 6 ]}
• Álgebras de Kirchberg con grupo K _{1 libre}

Un aspecto notable de las C*-álgebras de grafos es que el grafo${\displaystyle E}$no solo describe las relaciones para los generadores de${\displaystyle C^{*}(E)}$, pero también diversas propiedades de la teoría de grafos de${\displaystyle E}$Se puede demostrar que es equivalente a las propiedades algebraicas C* de${\displaystyle C^{*}(E)}$De hecho, gran parte del estudio de las C*-álgebras de grafos se centra en desarrollar un léxico para la correspondencia entre estas propiedades y establecer teoremas de la forma "El grafo${\displaystyle E}$tiene una determinada propiedad de teoría de grafos si y solo si el álgebra C*${\displaystyle C^{*}(E)}$tiene una propiedad algebraica C* correspondiente ." La siguiente tabla proporciona una breve lista de algunas de las equivalencias más conocidas.

La propiedad universal produce una acción natural del grupo circular.${\displaystyle \mathbb {T}$ :=\{z\in \mathbb {C}  :|z|=1\}} en${\displaystyle C^{*}(E)}$de la siguiente manera: Si${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$es un Cuntz-Krieger universal${\displaystyle E}$-familia, entonces para cualquier número complejo unimodular${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$, la colección${\displaystyle \left\{zs_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$es un Cuntz-Krieger${\displaystyle E}$-familia y la propiedad universal de${\displaystyle C^{*}(E)}$implica que existe un${\displaystyle *}$-homomorfismo${\displaystyle \gamma _{z}:C^{*}(E)\to C^{*}(E)}$con${\displaystyle \gamma _{z}(s_{e})=zs_{e}}$a pesar de${\displaystyle e\in E^{1}}$y${\displaystyle \gamma _{z}(p_{v})=p_{v}}$a pesar de${\displaystyle v\in E^{0}}$. Para cada${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$el${\displaystyle *}$-homomorfismo${\displaystyle \gamma _{\overline {z}}}$es un inverso para${\displaystyle \gamma _{z}}$y por lo tanto${\displaystyle \gamma _{z}}$es un automorfismo . Esto produce una acción fuertemente continua.${\displaystyle \gamma$ :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} C^{*}(E)} definiendo${\displaystyle \gamma (z):=\gamma _{z}}$. La acción del indicador${\displaystyle \gamma }$a veces se le llama la acción de calibre canónica en${\displaystyle C^{*}(E)}$Es importante señalar que la acción de calibre canónica depende de la elección del generador Cuntz-Krieger.${\displaystyle E}$-familia${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$La acción de calibre canónica es una herramienta fundamental en el estudio de${\displaystyle C^{*}(E)}$Aparece en enunciados de teoremas y también se utiliza de forma implícita como recurso técnico en las demostraciones.

Existen dos teoremas de unicidad bien conocidos para las C*-álgebras de grafos: el teorema de unicidad invariante de gauge y el teorema de unicidad de Cuntz-Krieger. Los teoremas de unicidad son resultados fundamentales en el estudio de las C*-álgebras de grafos y sirven como pilares de la teoría. Cada uno proporciona condiciones suficientes para una${\displaystyle *}$-homomorfismo de${\displaystyle C^{*}(E)}$en un álgebra C* para ser inyectiva . En consecuencia, los teoremas de unicidad pueden usarse para determinar cuándo un álgebra C* generada por un Cuntz-Krieger${\displaystyle E}$-familia es isomorfa a${\displaystyle C^{*}(E)}$; en particular, si${\displaystyle A}$es un álgebra C* generada por un Cuntz-Krieger${\displaystyle E}$-familia, propiedad universal de${\displaystyle C^{*}(E)}$produce una sobreyectiva${\displaystyle *}$-homomorfismo${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$y los teoremas de unicidad dan cada uno condiciones bajo las cuales${\displaystyle \phi }$es inyectiva y, por lo tanto, un isomorfismo. Las formulaciones formales de los teoremas de unicidad son las siguientes:

El teorema de unicidad invariante de gauge: Sea${\displaystyle E}$Sea un grafo y dejemos que${\displaystyle C^{*}(E)}$sea ​​el grafo C*-álgebra asociado. Si${\displaystyle A}$es un álgebra C* y${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$es un${\displaystyle *}$-homomorfismo que satisface las dos condiciones siguientes:

1. existe una acción de calibre${\displaystyle \beta$ :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} A} tal que${\displaystyle \phi \circ \beta _{z}=\gamma _{z}\circ \phi }$a pesar de${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$, dónde${\displaystyle \gamma }$denota la acción de calibre canónica en${\displaystyle C^{*}(E)}$, y
2. ${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$a pesar de${\displaystyle v\in E^{0}}$,

entonces${\displaystyle \phi }$es inyectivo.

El teorema de unicidad de Cuntz-Krieger: Sea${\displaystyle E}$Sea un grafo que satisface la condición (L), y sea${\displaystyle C^{*}(E)}$sea ​​el grafo C*-álgebra asociado. Si${\displaystyle A}$es un álgebra C* y${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$es un${\displaystyle *}$-homomorfismo con${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$a pesar de${\displaystyle v\in E^{0}}$, entonces${\displaystyle \phi }$es inyectivo.

El teorema de unicidad invariante de gauge implica que si${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$es un Cuntz-Krieger${\displaystyle E}$-familia con proyecciones distintas de cero y existe una acción de calibre${\displaystyle \beta }$con${\displaystyle \beta _{z}(p_{v})=p_{v}}$y${\displaystyle \beta _{z}(s_{e})=zs_{e}}$a pesar de${\displaystyle v\in E^{0}}$,${\displaystyle e\in E^{1}}$, y${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$, entonces${\displaystyle \{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$genera un álgebra C* isomorfa a${\displaystyle C^{*}(E)}$El teorema de unicidad de Cuntz-Krieger muestra que cuando el grafo satisface la condición (L), la existencia de la acción de calibre es innecesaria; si un grafo${\displaystyle E}$Si se cumple la condición (L), entonces cualquier Cuntz-Krieger${\displaystyle E}$-familia con proyecciones no nulas genera un álgebra C* isomorfa a${\displaystyle C^{*}(E)}$.

La estructura ideal de${\displaystyle C^{*}(E)}$se puede determinar a partir de${\displaystyle E}$. Un subconjunto de vértices${\displaystyle H\subseteq E^{0}}$se denomina hereditario si para todos${\displaystyle e\in E^{1}}$,${\displaystyle s(e)\in H}$implica${\displaystyle r(e)\in H}$Un subconjunto hereditario${\displaystyle H}$se llama saturado si siempre que${\displaystyle v}$es un vértice regular con${\displaystyle \{r(e):e\in E^{0},s(e)=v\}\subseteq H}$, entonces${\displaystyle v\in H}$. Los subconjuntos hereditarios saturados de${\displaystyle E}$están parcialmente ordenados por inclusión y forman una red con encuentro${\displaystyle H_{1}\wedge H_{2}:=H_{1}\cap H_{2}}$y únase${\displaystyle H_{1}\vee H_{2}}$definido como el subconjunto hereditario saturado más pequeño que contiene${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$.

Si${\displaystyle H}$es un subconjunto hereditario saturado,${\displaystyle I_{H}}$se define como un ideal cerrado de dos lados en${\displaystyle C^{*}(E)}$generado por${\displaystyle \{p_{v}:v\in H\}}$Un ideal cerrado de dos lados${\displaystyle I}$de${\displaystyle C^{*}(E)}$se denomina invariante de calibre si${\displaystyle \gamma _{z}(a)\in C^{*}(E)}$a pesar de${\displaystyle a\in I}$y${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$Los ideales invariantes de gauge están parcialmente ordenados por inclusión y forman una red con puntos de encuentro.${\displaystyle I_{1}\wedge I_{2}:=I_{1}\cap I_{2}}$y conjunto${\displaystyle I_{1}\vee I_{2}}$definido como el ideal generado por${\displaystyle I_{1}\cup I_{2}}$. Para cualquier subconjunto hereditario saturado${\displaystyle H}$, el ideal${\displaystyle I_{H}}$es invariante de calibre.

El siguiente teorema demuestra que los ideales invariantes de gauge corresponden a subconjuntos hereditarios saturados.

Teorema: Sea${\displaystyle E}$Sea un grafo con filas finitas. Entonces se cumplen las siguientes condiciones:

1. La función${\displaystyle H\mapsto I_{H}}$es un isomorfismo reticular del retículo de subconjuntos hereditarios saturados de${\displaystyle E}$sobre la red de ideales invariantes de gauge de${\displaystyle C^{*}(E)}$con el inverso dado por${\displaystyle I\mapsto \left\{v\in E^{0}:p_{v}\in I\right\}}$.
2. Para cualquier subconjunto hereditario saturado${\displaystyle H}$, el cociente${\displaystyle C^{*}(E)/I_{H}}$es${\displaystyle *}$-isomorfo a${\displaystyle C^{*}(E\setminus H)}$, dónde${\displaystyle E\setminus H}$es el subgrafo de${\displaystyle E}$con conjunto de vértices${\displaystyle (E\setminus H)^{0}:=E^{0}\setminus H}$y conjunto de bordes${\displaystyle (E\setminus H)^{1}:=E^{1}\setminus r^{-1}(H)}$.
3. Para cualquier subconjunto hereditario saturado${\displaystyle H}$, el ideal${\displaystyle I_{H}}$¿Es Morita equivalente a?${\displaystyle C^{*}(E_{H})}$, dónde${\displaystyle E_{H}}$es el subgrafo de${\displaystyle E}$con conjunto de vértices${\displaystyle E_{H}^{0}:=H}$y conjunto de bordes${\displaystyle E_{H}^{1}:=s^{-1}(H)}$.
4. Si${\displaystyle E}$satisface la condición (K), entonces todo ideal de${\displaystyle C^{*}(E)}$es invariante de calibre y los ideales de${\displaystyle C^{*}(E)}$están en correspondencia uno a uno con los subconjuntos hereditarios saturados de${\displaystyle E}$.

La desingularización de Drinen-Tomforde , a menudo llamada simplemente desingularización , es una técnica utilizada para extender los resultados de las C*-álgebras de grafos finitos por filas a las C*-álgebras de grafos numerables. Si${\displaystyle E}$es un gráfico, una desingularización de${\displaystyle E}$es un grafo finito por filas${\displaystyle F}$de tal manera que${\displaystyle C^{*}(E)}$¿Es Morita equivalente a?${\displaystyle C^{*}(F)}$. ^{[ 7 ]} Drinen y Tomforde describieron un método para construir una desingularización a partir de cualquier grafo numerable: Si${\displaystyle E}$es un grafo numerable, entonces para cada vértice${\displaystyle v_{0}}$que emite un número infinito de aristas, primero se elige una lista de las aristas salientes como${\displaystyle s^{-1}(v_{0})=\{e_{0},e_{1},e_{2},\ldots \}}$, a continuación se adjunta una cola de la forma

a${\displaystyle E}$en${\displaystyle v_{0}}$y finalmente se borran los bordes${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2},\ldots }$a partir del gráfico y redistribuye cada uno a lo largo de la cola dibujando una nueva arista${\displaystyle f_{i}}$de${\displaystyle v_{i}}$a${\displaystyle r(e_{i})}$para cada${\displaystyle i=0,1,2,\ldots }$.

Aquí hay algunos ejemplos de esta construcción. Para el primer ejemplo, observe que si${\displaystyle E}$es el gráfico

luego una desingularización${\displaystyle F}$viene dado por el gráfico

Para el segundo ejemplo, supongamos que...${\displaystyle E}$es el${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\infty }}$grafo con un vértice y un número infinito numerable de aristas (cada una comenzando y terminando en este vértice). Luego una desingularización${\displaystyle F}$viene dado por el gráfico

La desingularización se ha convertido en una herramienta estándar en la teoría de las C*-álgebras de grafos, ^{[ 8 ]} y puede simplificar las demostraciones de resultados al permitir primero demostrar el resultado en el caso finito de filas (normalmente mucho más fácil) y luego extender el resultado a grafos numerables mediante la desingularización, a menudo con poco esfuerzo adicional.

La técnica de desingularización puede no funcionar para grafos que contienen un vértice que emite un número incontable de aristas. Sin embargo, en el estudio de las C*-álgebras es común restringir la atención a las C*-álgebras separables . Dado que un grafo C*-álgebra${\displaystyle C^{*}(E)}$es separable precisamente cuando el gráfico${\displaystyle E}$es numerable, gran parte de la teoría de las C*-álgebras de grafos se ha centrado en grafos numerables.

Los K-grupos de un álgebra C* de grafos se pueden calcular completamente en términos de información proveniente del grafo. Si${\displaystyle E}$es un grafo de filas finitas, la matriz de vértices de${\displaystyle E}$es el${\displaystyle E^{0}\!\times \!E^{0}}$matriz${\displaystyle A_{E}}$con entrada${\displaystyle A_{E}(v,w)}$definido como el número de aristas en${\displaystyle E}$de${\displaystyle v}$a${\displaystyle w}$. Desde${\displaystyle E}$es finito en filas,${\displaystyle A_{E}}$tiene entradas en${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$y cada fila de${\displaystyle A_{E}}$tiene solo un número finito de entradas distintas de cero. (De hecho, de aquí proviene el término "finitud de filas"). En consecuencia, cada columna de la transpuesta${\displaystyle A_{E}^{t}}$contiene solo un número finito de entradas distintas de cero, y obtenemos un mapa${\textstyle A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$dado por la multiplicación izquierda. Asimismo, si${\displaystyle I}$denota el${\displaystyle E^{0}\!\times \!E^{0}}$matriz identidad , entonces${\textstyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$proporciona un mapa dado por la multiplicación por la izquierda.

Teorema: Sea${\displaystyle E}$Sea un grafo finito por filas sin sumideros, y sea${\displaystyle A_{E}}$denotemos la matriz de vértices de${\displaystyle E}$. Entonces $${\displaystyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$$ proporciona un mapa bien definido mediante multiplicación por la izquierda. Además, $${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})\quad {\text{ and }}\quad K_{1}(C^{*}(E))\cong \ker(I-A_{E}^{t}).}$$ Además, si${\displaystyle C^{*}(E)}$es unitario (o, equivalentemente,${\displaystyle E^{0}}$es finito), entonces el isomorfismo${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})}$toma la clase de la unidad en${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))}$a la clase del vector${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$en${\displaystyle \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})}$.

Desde${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$es isomorfo a un subgrupo del grupo libre${\textstyle \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$, podemos concluir que${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$es un grupo libre. Se puede demostrar que en el caso general (es decir, cuando${\displaystyle E}$se permite que contenga sumideros o emisores infinitos) que${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$sigue siendo un grupo libre. Esto permite producir ejemplos de C*-álgebras que no son C*-álgebras de grafos: Cualquier C*-álgebra con un K ₁ -grupo no libre no es Morita equivalente (y por lo tanto no es isomorfa) a un C*-álgebra de grafos.

• Álgebra C* de k-grafos
• Álgebra de caminos de Leavitt