Trapezoedro triangular truncado

En geometría , el trapezoedro triangular truncado es el primero de una serie infinita de trapezoedros truncados . Tiene 6 caras pentagonales y 2 caras triangulares .

Este poliedro se puede construir truncando dos vértices opuestos de un cubo , de un trapezoedro trigonal (un poliedro convexo con seis lados romboidales congruentes, formado al estirar o encoger un cubo a lo largo de una de sus diagonales largas), o de un romboedro o paralelepípedo (poliedros menos simétricos que aún tienen la misma estructura combinatoria que un cubo). En el caso de un cubo, o de un trapezoedro trigonal donde los dos vértices truncados son los de los ejes de estiramiento, la forma resultante tiene simetría rotacional triple .

Este poliedro se denomina a veces sólido de Durero , por su aparición en el grabado Melencolia I de Alberto Durero de 1514. El grafo formado por sus aristas y vértices se denomina grafo de Durero .

La forma del sólido representado por Durero es objeto de cierto debate académico. ^[1] Según Lynch (1982), la hipótesis de que la forma es un cubo truncado mal dibujado fue promovida por Strauss (1972); sin embargo, la mayoría de las fuentes coinciden en que se trata del truncamiento de un romboedro . A pesar de este acuerdo, la geometría exacta de este romboedro es objeto de varias teorías contradictorias:

• Richter (1957) afirma que los rombos del romboedro a partir del cual se forma esta figura tienen una relación entre sus diagonales corta y larga de 5:6, a partir de la cual los ángulos agudos de los rombos serían aproximadamente 80°.
• Schröder (1980) y Lynch (1982) en cambio concluyen que la relación es y que el ángulo es aproximadamente 82°.${\displaystyle {\sqrt {3}}:2}$
• MacGillavry (1981) mide las características del dibujo y descubre que el ángulo es de aproximadamente 79°. Ella y un autor posterior, Wolf von Engelhardt (ver Hideko 2009) sostienen que esta elección del ángulo proviene de su presencia física en los cristales de calcita .
• Schreiber (1999) sostiene, basándose en los escritos de Durero, que todos los vértices del sólido de Durero se encuentran en una esfera común, y afirma además que los ángulos del rombo son de 72°. Hideko (2009) enumera a otros académicos que también están a favor de la teoría de los 72°, comenzando por Paul Grodzinski en 1955. Sostiene que esta teoría está motivada menos por el análisis del dibujo real, y más por principios estéticos relacionados con los pentágonos regulares y la proporción áurea .
• Weitzel (2004) analiza un boceto de Durero de 1510 del mismo sólido, a partir del cual confirma la hipótesis de Schreiber de que la forma tiene una circunsfera pero con ángulos romboidales de aproximadamente 79,5°.
• Hideko (2009) sostiene que la forma pretende representar una solución al famoso problema geométrico de duplicar el cubo , sobre el que Durero también escribió en 1525. Por lo tanto, concluye que (antes de cortar las esquinas) la forma es un cubo estirado a lo largo de su diagonal larga. Más específicamente, sostiene que Durero dibujó un cubo real, con la diagonal larga paralela al plano de perspectiva , y luego amplió su dibujo por algún factor en la dirección de la diagonal larga; el resultado sería el mismo que si hubiera dibujado el sólido alargado. El factor de ampliación que es relevante para duplicar el cubo es 2 ^1/3  ≈ 1,253, pero Hideko deriva un factor de ampliación diferente que se ajusta mejor al dibujo, 1,277, de una manera más complicada.
• Futamura, Frantz y Crannell (2014) clasifican las soluciones propuestas a este problema mediante dos parámetros: el ángulo agudo y el nivel de corte, denominado razón cruzada. Su estimación de la razón cruzada es cercana a la de MacGillavry, y tiene un valor numérico cercano a la proporción áurea . Con base en esto, postulan que el ángulo agudo es y que la razón cruzada es exactamente .${\displaystyle 2\arctan(\varphi /2)\aproximadamente 78^{\circ }}$${\estilo de visualización \varphi}$

• Tetraedro achaflanado , otra forma formada al truncar un subconjunto de los vértices de un cubo.

• Futamura, F .; Frantz, M.; Crannell, A. (2014), "La relación cruzada como parámetro de forma para el sólido de Durero", Journal of Mathematics and the Arts , 8 (3–4): 111–119, arXiv : 1405.6481 , doi :10.1080/17513472.2014.974483, S2CID  120958490.
• Hideko, Ishizu (2009), "Otra solución al poliedro en la Melencolia de Durero: una demostración visual del problema de Delos" (PDF) , Estética , 13 , The Japanese Society for Aesthetics: 179–194.
• Lynch, Terence (1982), "El cuerpo geométrico en el grabado de Durero Melencolia I ", Journal of the Warburg and Courtauld Institutes , 45 , The Warburg Institute: 226–232, doi :10.2307/750979, JSTOR  750979, S2CID  195047691.
• MacGillavry, C. (1981), "El poliedro en A. Dürers Melencolia I", Nederl. Akád. Wetensch. Proc. Ser. B , 84 : 287–294Como lo cita Weitzel (2004).
• Richter, DH (1957), "Perspektive und Proportionen in Albrecht Dürers "Melancholie"", Z. Vermessungswesen , 82 : 284–288 y 350–357Como lo cita Weitzel (2004).
• Schreiber, Peter (1999), "Una nueva hipótesis sobre el enigmático poliedro de Durero en su grabado en cobre "Melencolia I"", Historia Mathematica , 26 (4): 369–377, doi : 10.1006/hmat.1999.2245.
• Schröder, E. (1980), Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner "Underweysung" , Basilea{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )Como lo cita Weitzel (2004).
• Strauss, Walter L. (1972), Los grabados completos de Durero , Nueva York, pág. 168, ISBN 0-486-22851-7{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )Como lo cita Lynch (1982).
• Weber, P. (1900), Beiträge zu Dürers Weltanschauung—Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus , Estrasburgo{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )Como lo cita Weitzel (2004).
• Weitzel, Hans (2004), "Una hipótesis adicional sobre el poliedro del grabado Melencolia I de A. Durero", Historia Mathematica , 31 (1): 11–14, doi : 10.1016/S0315-0860(03)00029-6.
• Ziegler, Günter M. (3 de diciembre de 2014), "El poliedro de Durero: 5 teorías que explican el cubo loco de Melencolia", Las aventuras de Alex Bellos en el país de los números, The Guardian.

• Weisstein, Eric W. , "El sólido de Durero", MathWorld
• Cómo construir el poliedro de Durero - por DUPLICON (en alemán)
• Modelos 3D de código abierto del Sólido de Durero