Transformada de Fourier de tiempo discreto

En matemáticas , la transformada de Fourier de tiempo discreto ( DTFT ) es una forma de análisis de Fourier que se puede aplicar a una secuencia de valores discretos.

La DTFT se utiliza a menudo para analizar muestras de una función continua . El término "tiempo discreto" se refiere al hecho de que la transformada opera sobre datos discretos, a menudo muestras cuyo intervalo tiene unidades de tiempo. A partir de muestras uniformemente espaciadas, produce una función de frecuencia que es una suma periódica de la transformada de Fourier continua de la función continua original. En términos más sencillos, al tomar la DTFT de muestras espaciadas regularmente de una señal continua, se obtienen copias repetidas (y posiblemente superpuestas) del espectro de frecuencia de la señal, espaciadas a intervalos que corresponden a la frecuencia de muestreo. Bajo ciertas condiciones teóricas, descritas por el teorema de muestreo , la función continua original se puede recuperar perfectamente a partir de la DTFT y, por lo tanto, a partir de las muestras discretas originales. La DTFT en sí misma es una función continua de frecuencia, pero sus muestras discretas se pueden calcular fácilmente mediante la transformada discreta de Fourier (DFT) (véase §  Muestreo de la DTFT ), que es, con mucho, el método más común del análisis de Fourier moderno.

Ambas transformadas son invertibles. La transformada de Fourier discreta inversa (DTFT inversa) reconstruye la secuencia de datos muestreada original, mientras que la transformada discreta de Fourier inversa (DFT inversa) produce una suma periódica de la secuencia original. La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular un ciclo de la DFT, y su inversa produce un ciclo de la DFT inversa.

Dejar${\displaystyle s(t)}$sea ​​una función continua en el dominio del tiempo . Comenzamos con una definición común de la transformada de Fourier continua , donde${\displaystyle f}$representa la frecuencia en hercios y${\displaystyle t}$representa el tiempo en segundos:

${\displaystyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.}$

Podemos reducir la integral a una suma mediante muestreo.${\displaystyle s(t)}$a intervalos de${\displaystyle T}$segundos (véase Transformada de Fourier §  Integración numérica de una serie de pares ordenados ). Específicamente, podemos reemplazar${\displaystyle s(t)}$con una secuencia discreta de sus muestras,${\displaystyle s(nT)}$, para valores enteros de${\displaystyle n}$y reemplazar el elemento diferencial${\displaystyle dt}$con el período de muestreo${\displaystyle T}$De este modo, obtenemos una formulación para la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT):

${\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi fTn}.}$

Esta serie de Fourier (en frecuencia) es una función periódica continua , cuya periodicidad es la frecuencia de muestreo.${\displaystyle 1/T}$. El subíndice${\displaystyle 1/T}$lo distingue de la transformada continua de Fourier${\displaystyle S(f)}$y de la forma de frecuencia angular de la DTFT. Esta última se obtiene definiendo una variable de frecuencia angular,${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT}$(que tiene unidades normalizadas de radianes/muestra ), lo que nos da una función periódica de frecuencia angular, con periodicidad${\displaystyle 2\pi }$: ^{[ a ]}

La utilidad de la DTFT radica en la fórmula de suma de Poisson , que nos dice que la función periódica representada por la serie de Fourier es una suma periódica de la transformada continua de Fourier : ^{[ b ]}

Los componentes de la suma periódica están centrados en valores enteros (denotados por${\displaystyle k}$) de una frecuencia normalizada (ciclos por muestra). La frecuencia ordinaria/física (ciclos por segundo) es el producto de${\displaystyle k}$y la frecuencia de muestreo,${\displaystyle f_{s}=1/T.}$ Para suficientemente grande${\displaystyle f_{s},}$el${\displaystyle k=0}$El término puede observarse en la región.${\displaystyle [-f_{s}/2,f_{s}/2]}$con poca o ninguna distorsión ( aliasing ) de los otros términos. La figura 1 muestra un ejemplo donde${\displaystyle 1/T}$no es lo suficientemente grande como para evitar el aliasing.

También observamos que${\displaystyle e^{-i2\pi fTn}}$es la transformada de Fourier de${\displaystyle \delta (t-nT).}$Por lo tanto, una definición alternativa de DTFT es : ^{[ A ]}

La función peine de Dirac modulada es una abstracción matemática a la que a veces se hace referencia como muestreo de impulsos . ^{[ 3 ]}

Una operación que recupera la secuencia de datos discretos a partir de la función DTFT se denomina DTFT inversa . Por ejemplo, la transformada de Fourier continua inversa de ambos lados de la ecuación 3 produce la secuencia en forma de una función peine de Dirac modulada :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{S_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}$

Sin embargo, cabe señalar que${\displaystyle S_{1/T}(f)}$es periódico, toda la información necesaria está contenida dentro de cualquier intervalo de longitud${\displaystyle 1/T.}$ En ambas ecuaciones , la 1 y la 2 , las sumas sobre${\displaystyle n}$son una serie de Fourier , con coeficientes${\displaystyle s[n].}$ Las fórmulas estándar para los coeficientes de Fourier son también las transformadas inversas :

Cuando la secuencia de datos de entrada${\displaystyle s[n]}$es${\displaystyle N}$-periódica, la ecuación 2 se puede reducir computacionalmente a una transformada discreta de Fourier (DFT), porque :

• Toda la información disponible está contenida en${\displaystyle N}$muestras.
• ${\displaystyle S_{1/T}(f)}$converge a cero en todas partes excepto en múltiplos enteros de${\displaystyle 1/(NT),}$conocidas como frecuencias armónicas . En esas frecuencias, la DTFT diverge a diferentes velocidades dependientes de la frecuencia. Y esas velocidades vienen dadas por la DFT de un ciclo de la${\displaystyle s[n]}$secuencia.
• La DTFT es periódica, por lo que el número máximo de amplitudes armónicas únicas es${\displaystyle (1/T)/(1/(NT))=N.}$

La DFT de un ciclo de la${\displaystyle s[n]}$La secuencia es :

${\displaystyle S[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},\quad k\in \mathbf {Z} .}$

Y${\displaystyle s[n]}$puede expresarse en términos de la transformada inversa, que a veces se denomina serie discreta de Fourier (DFS) : ^{[ 1 ] : p 542}

${\displaystyle s[n]={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any k-sequence of length N}},\quad n\in \mathbf {Z} .}$

Con estas definiciones, podemos demostrar la relación entre la DTFT y la DFT :

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{1/T}(f)&\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\underbrace {\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\cdot e^{-i2\pi fnT}\right]} _{\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot {\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}$   ^{[ c ] [ B ]}

Debido a la${\displaystyle N}$-periodicidad de ambas funciones de${\displaystyle k,}$Esto se puede simplificar a :

${\displaystyle S_{1/T}(f)={\frac {1}{NT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right),}$

que satisface el requisito de transformación inversa :

${\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{0}^{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\underbrace {\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df} _{{\text{zero for }}k\ \notin \ [0,N-1]}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{NT}}nT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\end{aligned}}}$

Cuando la DTFT es continua, una práctica común es calcular un número arbitrario de muestras.${\displaystyle (N)}$de un ciclo de la función periódica${\displaystyle S_{1/T}}$: ^{[ 1 ] : págs. 557–559 y 703 [ 2 ] : pág. 76}  

${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {S_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle s_{_{N}}}$es una suma periódica :

${\displaystyle s_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN].}$  (véase Series de Fourier discretas )

El${\displaystyle s_{_{N}}}$La secuencia es la DFT inversa. Por lo tanto, nuestro muestreo de la DTFT hace que la transformada inversa se vuelva periódica. La matriz de${\displaystyle |S_{k}|^{2}}$Los valores se conocen como periodograma y el parámetro${\displaystyle N}$se denomina NFFT en la función de Matlab del mismo nombre. ^{[ 4 ]}

Para evaluar un ciclo de${\displaystyle s_{_{N}}}$Numéricamente, requerimos una longitud finita.${\displaystyle s[n]}$secuencia. Por ejemplo, una secuencia larga podría truncarse mediante una función de ventana de longitud${\displaystyle L}$lo que da como resultado tres casos dignos de mención especial. Para simplificar la notación, considérese el${\displaystyle s[n]}$Los valores que se muestran a continuación representan los valores modificados por la función de ventana.

Caso: Decimación de frecuencia.${\displaystyle L=N\cdot I,}$para algún número entero${\displaystyle I}$(normalmente 6 u 8)

Un ciclo de${\displaystyle s_{_{N}}}$se reduce a una suma de${\displaystyle I}$segmentos de longitud${\displaystyle N.}$ La DFT recibe entonces varios nombres, como por ejemplo :

• ventana-presum FFT ^{[ 5 ]}
• Peso, superposición, adición (WOLA) ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ C ] [ D ]}
• DFT polifásica ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• banco de filtros polifásicos ^{[ 12 ]}
• Múltiples ventanas de bloques y alias de tiempo . ^{[ 13 ]}

Recordemos que la decimación de datos muestreados en un dominio (tiempo o frecuencia) produce superposición (a veces conocida como aliasing ) en el otro, y viceversa. En comparación con un${\displaystyle L}$-longitud DFT, el${\displaystyle s_{_{N}}}$La suma/superposición causa diezmo en frecuencia, ^{[ 1 ] : p.558} dejando solo las muestras DTFT menos afectadas por fugas espectrales . Eso suele ser una prioridad al implementar un banco de filtros FFT ( canalizador ). Con una función de ventana convencional de longitud${\displaystyle L,}$La pérdida por ondulación sería inaceptable. Por lo tanto, se crean ventanas de múltiples bloques utilizando herramientas de diseño de filtros FIR . ^{[ 14 ] [ 15 ]}  Su perfil de frecuencia es plano en el punto más alto y cae rápidamente en el punto medio entre las muestras DTFT restantes. Cuanto mayor sea el valor del parámetro${\displaystyle I,}$cuanto mejor sea el rendimiento potencial.

Caso:${\displaystyle L=N+1}$

Cuando es simétrico,${\displaystyle L}$-función de ventana de longitud (${\displaystyle s}$) se trunca por 1 coeficiente, se denomina periódica o DFT-par . Esa es una práctica común, pero el truncamiento afecta a la DTFT (fuga espectral) en una pequeña cantidad. Es al menos de interés académico caracterizar ese efecto. Un${\displaystyle N}$La DFT de longitud de la ventana truncada produce muestras de frecuencia a intervalos de${\displaystyle 1/N,}$en lugar de${\displaystyle 1/L.}$ Las muestras son de valor real, ^{[ 16 ] : p.52}  pero sus valores no coinciden exactamente con la DTFT de la ventana simétrica. La suma periódica,${\displaystyle s_{_{N}},}$junto con un${\displaystyle N}$-longitud DFT, también se puede utilizar para muestrear la DTFT a intervalos de${\displaystyle 1/N.}$ Esas muestras también son de valor real y coinciden exactamente con la DTFT (ejemplo: Archivo:Muestreo de la transformada de Fourier de tiempo discreto.svg ). Para utilizar la ventana simétrica completa para el análisis espectral en el${\displaystyle 1/N}$espaciado, uno combinaría el${\displaystyle n=0}$y${\displaystyle n=N}$muestras de datos (por adición, porque la ventana simétrica las pondera por igual) y luego aplicar la ventana simétrica truncada y la${\displaystyle N}$-DFT de longitud.

Caso: Interpolación de frecuencia.${\displaystyle L\leq N}$

En este caso, la DFT se simplifica a una forma más familiar :

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}$

Para aprovechar un algoritmo de transformada rápida de Fourier para calcular la DFT, la suma se realiza generalmente sobre todos los${\displaystyle N}$términos, aunque${\displaystyle N-L}$de ellos son ceros. Por lo tanto, el caso${\displaystyle L<N}$A menudo se le denomina relleno de ceros .

Fuga espectral, que aumenta a medida que${\displaystyle L}$disminuye, es perjudicial para ciertas métricas de rendimiento importantes, como la resolución de múltiples componentes de frecuencia y la cantidad de ruido medida por cada muestra DTFT. Pero esas cosas no siempre importan, por ejemplo cuando${\displaystyle s[n]}$La secuencia es una sinusoide sin ruido (o una constante), moldeada por una función de ventana. Por lo tanto, es práctica común usar relleno de ceros para mostrar gráficamente y comparar los patrones de fuga detallados de las funciones de ventana. Para ilustrar esto con una ventana rectangular, consideremos la siguiente secuencia:

${\displaystyle s[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }$y${\displaystyle L=64.}$

Las figuras 2 y 3 son gráficas de la magnitud de dos DFT de diferente tamaño, como se indica en sus etiquetas. En ambos casos, el componente dominante se encuentra en la frecuencia de la señal:${\displaystyle f=1/8=0.125}$. También se puede observar en la Fig. 2 el patrón de fuga espectral de la${\displaystyle L=64}$Ventana rectangular. La ilusión en la Fig. 3 es resultado del muestreo de la DTFT solo en sus cruces por cero. En lugar de la DTFT de una secuencia de longitud finita, da la impresión de una secuencia sinusoidal infinitamente larga. Los factores que contribuyen a la ilusión son el uso de una ventana rectangular y la elección de una frecuencia (1/8 = 8/64) con exactamente 8 (un número entero) ciclos por cada 64 muestras. Una ventana de Hann produciría un resultado similar, excepto que el pico se ensancharía a 3 muestras (ver DFT-Ventana de Hann par ).

El teorema de convolución para secuencias es :

${\displaystyle s*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$^{[ 17 ] : pág. 297 [ d ]}

Un caso especial importante es la convolución circular de secuencias s e y definida por${\displaystyle s_{_{N}}*y,}$dónde${\displaystyle s_{_{N}}}$es una suma periódica. La naturaleza de frecuencia discreta de${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}}$significa que el producto con la función continua${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}$También es discreta, lo que resulta en una simplificación considerable de la transformada inversa :

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}$^{[ 18 ] [ 1 ] : pág. 548}

Para secuencias s e y cuya duración no nula es menor o igual a N , una simplificación final es :

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$

La importancia de este resultado se explica en los algoritmos de convolución circular y convolución rápida .

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$es una serie de Fourier que también puede expresarse en términos de la transformada Z bilateral . Es decir :

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\left.S_{z}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}=S_{z}(e^{i\omega }),}$

donde el${\displaystyle S_{z}}$La notación distingue la transformada Z de la transformada de Fourier. Por lo tanto, también podemos expresar una parte de la transformada Z en términos de la transformada de Fourier :

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{z}(e^{i\omega })&=\ S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que cuando el parámetro T cambia, los términos de${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$permanecer una separación constante${\displaystyle 2\pi }$aparte, y su ancho aumenta o disminuye. Los términos de S _{1/ T} ( f ) mantienen un ancho constante y su separación 1/ T aumenta o disminuye.

En la tabla siguiente se muestran algunos pares de transformaciones comunes. Se aplica la siguiente notación :

• ${\displaystyle \omega =2\pi fT}$es un número real que representa la frecuencia angular continua (en radianes por muestra).${\displaystyle f}$está en ciclos/segundo, y${\displaystyle T}$está en seg/muestra.) En todos los casos de la tabla, el DTFT es 2π-periódico (en${\displaystyle \omega }$).
• ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$designa una función definida en${\displaystyle -\infty <\omega <\infty }$.
• ${\displaystyle S_{o}(\omega )}$designa una función definida en${\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }$y cero en cualquier otro lugar. Entonces:$${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k).}$$
• ${\displaystyle \delta (\omega )}$es la función delta de Dirac
• ${\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}$es la función sinc normalizada
• ${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tri} (t)}$es la función triangular
• n es un número entero que representa el dominio de tiempo discreto (en muestras).
• ${\displaystyle u[n]}$es la función escalón unitario de tiempo discreto
• ${\displaystyle \delta [n]}$es el delta de Kronecker${\displaystyle \delta _{n,0}}$

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y los efectos correspondientes en el dominio de la frecuencia.

• ${\displaystyle *\!}$es la convolución discreta de dos secuencias
• ${\displaystyle s^{*}[n]}$es el conjugado complejo de${\displaystyle s[n].}$

• Análisis espectral por mínimos cuadrados
• Transformación multidimensional
• Zak se transforma