Teorema de Darboux

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas , el teorema de Darboux es un teorema que proporciona una forma normal para clases especiales de 1-formas diferenciales , generalizando parcialmente el teorema de integración de Frobenius . Recibe su nombre de Jean Gaston Darboux ^{[ 1 ]} , quien lo estableció como la solución del problema de Pfaff . ^{[ 2 ]}

Es un resultado fundamental en varios campos, entre los que destaca la geometría simpléctica . De hecho, una de sus muchas consecuencias es que cualesquiera dos variedades simplécticas de la misma dimensión son localmente simplectomorfas entre sí. Es decir, cada${\displaystyle 2n}$La variedad simpléctica de dimensión puede hacerse que se parezca localmente al espacio simpléctico lineal.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$con su forma simpléctica canónica.

Existe también una consecuencia análoga del teorema aplicada a la geometría de contacto .

Supongamos que${\displaystyle \theta }$es una 1-forma diferencial en un${\displaystyle n}$Variedad de dimensión tal que${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$tiene rango constante${\displaystyle p}$. Entonces

• si${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}=0}$En todas partes, entonces hay un sistema local de coordenadas.${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{np},y_{1},\ldots ,y_{p})}$en el cual$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p};}$$
• si${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$En todas partes, entonces hay un sistema local de coordenadas.${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{np},y_{1},\ldots ,y_{p})}$en el cual$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}+\mathrm {d} x_{p+1}.}$$

La demostración original de Darboux utilizó la inducción en${\displaystyle p}$y puede presentarse de forma equivalente en términos de distribuciones ^{[ 3 ]} o de ideales diferenciales . ^{[ 4 ]}

Supongamos que${\displaystyle \omega }$es una 2-forma simpléctica en un${\displaystyle n=2m}$variedad dimensional${\displaystyle M}$. En un vecindario de cada punto${\displaystyle p}$de${\displaystyle M}$Según el lema de Poincaré , existe una 1-forma.${\displaystyle \theta }$con${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\omega }$. Además,${\displaystyle \theta }$satisface el primer conjunto de hipótesis del teorema de Darboux, por lo que localmente existe una carta de coordenadas.${\displaystyle U}$cerca${\displaystyle p}$en el cual$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{m}\,\mathrm {d} y_{m}.}$$

Tomar una derivada exterior ahora muestra

$${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\ldots +\mathrm {d} x_{m}\wedge \mathrm {d} y_{m}.}$$

El gráfico${\displaystyle U}$Se dice que es un gráfico de Darboux alrededor de${\displaystyle p}$. ^{[ 5 ]} El colector${\displaystyle M}$pueden ser cubiertos por dichos gráficos.

Dicho de otra manera, identifique${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$con${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$dejando${\displaystyle z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}}$. Si${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {C} ^{n}}$es un gráfico de Darboux, entonces${\displaystyle \omega }$puede escribirse como la retracción de la forma simpléctica estándar${\displaystyle \omega _{0}}$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$:

${\displaystyle \omega =\varphi ^{*}\omega _{0}.\,}$

Una demostración moderna de este resultado, sin emplear la afirmación general de Darboux sobre las 1-formas, se realiza utilizando el truco de Moser . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Alan Weinstein demostró que el teorema de Darboux para variedades simpléticas puede reforzarse para que se cumpla en un entorno de una subvariedad : ^{[ 8 ]}

Dejar${\displaystyle M}$ser una variedad suave dotada de dos formas simplécticas${\displaystyle \omega _{1}}$y${\displaystyle \omega _{2}}$y dejar${\displaystyle N\subset M}$ser una subvariedad cerrada. Si${\displaystyle \left.\omega _{1}\right|_{N}=\left.\omega _{2}\right|_{N}}$, entonces hay un vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle N}$en${\displaystyle M}$y un difeomorfismo${\displaystyle f:U\to U}$de tal manera que${\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}$.

El teorema estándar de Darboux se recupera cuando${\displaystyle N}$es un punto y${\displaystyle \omega _{2}}$es la estructura simpléctica estándar en un diagrama de coordenadas.

Este teorema también es válido para variedades de Banach de dimensión infinita .

• Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie , una generalización de este teorema.
• El truco de Moser
• Base simpléctica

• G. Darboux, "On the Pfaff Problem", transl. by D. H. Delphenich
• G. Darboux, "On the Pfaff Problem (cont.)", transl. by D. H. Delphenich