Invariante de De Rham

En topología geométrica , el invariante de De Rham es un invariante módulo 2 de una variedad (4k + 1)-dimensional, es decir, un elemento de${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$– ya sea 0 o 1. Puede considerarse como el grupo L simétrico simplemente conexo.${\displaystyle L^{4k+1},}$y por lo tanto análogo a los otros invariantes de la teoría L: la signatura , un invariante de 4 k dimensiones (ya sea simétrico o cuadrático,${\displaystyle L^{4k}\cong L_{4k}}$), y el invariante de Kervaire , un invariante cuadrático de (4 k +2) dimensiones${\displaystyle L_{4k+2}.}$

Recibe su nombre del matemático suizo Georges de Rham y se utiliza en la teoría quirúrgica . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El invariante de De Rham de una variedad ( 4k +1)-dimensional se puede definir de varias maneras equivalentes: ^{[ 3 ]}

• el rango de la torsión 2 en${\displaystyle H_{2k}(M),}$como un número entero módulo 2;
• el número de Stiefel-Whitney${\displaystyle w_{2}w_{4k-1}}$;
• el número de Wu (al cuadrado),${\displaystyle v_{2k}Sq^{1}v_{2k},}$dónde${\displaystyle v_{2k}\in H^{2k}(M;Z_{2})}$es la clase de Wu del fibrado normal de${\displaystyle M}$y${\displaystyle Sq^{1}}$es el cuadrado de Steenrod ; formalmente, como con todos los números característicos , este se evalúa en la clase fundamental :${\displaystyle (v_{2k}Sq^{1}v_{2k},[M])}$;
• en términos de una semicaracterística .