Clase Stiefel-Whitney

Para un fibrado vectorial real E , la clase de Stiefel-Whitney de E se denota por w ( E ) . Es un elemento del anillo de cohomología.

${\displaystyle H^{\ast }(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

donde X es el espacio base del fibrado E y${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$(a menudo denotado alternativamente por${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$) es el anillo conmutativo cuyos únicos elementos son 0 y 1. El componente de${\displaystyle w(E)}$en${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$se denota por${\displaystyle w_{i}(E)}$y se denominó la i -ésima clase de Stiefel-Whitney de E. Por lo tanto,

${\displaystyle w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\cdots }$,

donde cada${\displaystyle w_{i}(E)}$es un elemento de${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$.

La clase Stiefel-Whitney${\displaystyle w(E)}$es un invariante del fibrado vectorial real E ; es decir, cuando F es otro fibrado vectorial real que tiene el mismo espacio base X que E , y si F es isomorfo a E , entonces las clases de Stiefel-Whitney${\displaystyle w(E)}$y${\displaystyle w(F)}$son iguales. (Aquí isomorfo significa que existe un isomorfismo de fibrados vectoriales)${\displaystyle E\to F}$que abarca la identidad${\displaystyle \mathrm {id} _{X}\colon X\to X}$.) Si bien en general es difícil decidir si dos haces vectoriales reales E y F son isomorfos, las clases de Stiefel-Whitney${\displaystyle w(E)}$y${\displaystyle w(F)}$A menudo se pueden calcular fácilmente. Si son diferentes, se sabe que E y F no son isomorfos.

Como ejemplo, sobre el círculo${\displaystyle S^{1}}$Existe un fibrado lineal (es decir, un fibrado vectorial real de rango 1) que no es isomorfo a un fibrado trivial . Este fibrado lineal L es la cinta de Möbius (que es un fibrado cuyas fibras pueden equiparse con estructuras de espacio vectorial de tal manera que se convierte en un fibrado vectorial). El grupo de cohomología${\displaystyle H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$Tiene un solo elemento distinto de 0. Este elemento es la primera clase de Stiefel-Whitney.${\displaystyle w_{1}(L)}$de L . ^{[ 1 ]} Dado que el fibrado de líneas trivial sobre${\displaystyle S^{1}}$tiene primera clase de Stiefel-Whitney 0, no es isomorfo a L.

Dos fibrados vectoriales reales E y F que tienen la misma clase de Stiefel-Whitney no son necesariamente isomorfos. Esto ocurre, por ejemplo, cuando E y F son fibrados vectoriales reales triviales de rangos diferentes sobre el mismo espacio base X. También puede ocurrir cuando E y F tienen el mismo rango: el fibrado tangente de la 2-esfera.${\displaystyle S^{2}}$y el fibrado vectorial real trivial de rango 2 sobre${\displaystyle S^{2}}$tienen la misma clase de Stiefel-Whitney, pero no son isomorfos. Pero si dos haces de líneas reales sobre X tienen la misma clase de Stiefel-Whitney, entonces son isomorfos.

Las clases de Stiefel-Whitney${\displaystyle w_{i}(E)}$Reciben su nombre porque Eduard Stiefel y Hassler Whitney los descubrieron como reducciones mod-2 de las clases de obstrucción a la construcción.${\displaystyle n-i+1}$Secciones linealmente independientes en todas partes del fibrado vectorial E restringidas al i- esqueleto de X. Aquí n denota la dimensión de la fibra del fibrado vectorial.${\displaystyle F\to E\to X}$.

Para ser precisos, siempre que X sea un complejo CW , Whitney definió clases.${\displaystyle W_{i}(E)}$en el i -ésimo grupo de cohomología celular de X con coeficientes retorcidos. El sistema de coeficientes es el${\displaystyle (i-1)}$-st grupo de homotopía de la variedad de Stiefel${\displaystyle V_{n-i+1}(F)}$de${\displaystyle n-i+1}$vectores linealmente independientes en las fibras de E. Whitney demostró que${\displaystyle W_{i}(E)=0}$si y solo si E , cuando se restringe al i- esqueleto de X , tiene${\displaystyle n-i+1}$secciones linealmente independientes.

Desde${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}$es infinitamente cíclico o isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, existe una reducción canónica de la${\displaystyle W_{i}(E)}$clases a clases${\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$que son las clases de Stiefel-Whitney. Además, siempre que${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, las dos clases son idénticas. Por lo tanto,${\displaystyle w_{1}(E)=0}$si y solo si el paquete${\displaystyle E\to X}$es orientable .

El${\displaystyle w_{0}(E)}$La clase no contiene información, porque es igual a 1 por definición. Su creación por Whitney fue un acto de notación creativa, que permitió la fórmula de suma de Whitney.${\ Displaystyle w (E_ {1} \ oplus E_ {2}) = w (E_ {1}) w (E_ {2})}$ser cierto. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La clase característica de Stiefel-Whitney${\displaystyle w(E)\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$de un fibrado vectorial real de rango finito E sobre un espacio base paracompacto X se define como la única clase tal que se cumplen los siguientes axiomas:

1. Normalización: La clase de Whitney del fibrado de líneas tautológico sobre el espacio proyectivo real${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} )}$no es trivial, es decir,${\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[a]/(a^{2})}$. ^{[ 1 ] [ 4 ]}
2. Rango:${\displaystyle w_{0}(E)=1\in H^{0}(X),}$y para i por encima del rango de E ,${\displaystyle w_{i}(E)=0\in H^{i}(X)}$, eso es,${\displaystyle w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).}$^{[ 5 ]}
3. Fórmula del producto Whitney:${\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smile w(F)}$, ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} es decir, la clase de Whitney de una suma directa es el producto de copa de las clases de los sumandos.
4. Naturalidad:${\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}$para cualquier paquete vectorial real${\displaystyle E\to X}$y mapa${\displaystyle f\colon X'\to X}$, dónde${\displaystyle f^{*}E}$denota el haz vectorial de retroceso . ^{[ 6 ] [ 4 ]}

La unicidad de estas clases se demuestra, por ejemplo, en las secciones 17.2 a 17.6 de Husemoller o en la sección 8 de Milnor y Stasheff. Existen varias pruebas de su existencia, derivadas de diversas construcciones con distintos matices, cuya coherencia se garantiza mediante la afirmación de unicidad.

1. w _i ( E ) = 0 siempre que i > rango( E ).
2. Si E ^k tiene${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }}$secciones que son linealmente independientes en todas partes entonces la${\displaystyle \ell }$Las clases de alto nivel en Whitney desaparecen:${\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0}$.
3. La primera clase de Stiefel-Whitney es cero si y solo si el fibrado es orientable . En particular, una variedad M es orientable si y solo si w ₁ ( M × R ) = 0.
4. El fibrado admite una estructura de espín si y solo si tanto la primera como la segunda clase de Stiefel-Whitney son cero.
5. Para un fibrado orientable, la segunda clase de Stiefel-Whitney está en la imagen del mapa natural H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (equivalentemente, la llamada tercera clase integral de Stiefel-Whitney es cero) si y solo si el fibrado admite una estructura de espín ^{c .}
6. Todos los números de Stiefel-Whitney (véase más abajo) de una variedad compacta lisa X se anulan si y solo si la variedad es el borde de alguna variedad compacta lisa (no orientada). (¡Tenga en cuenta que alguna clase de Stiefel-Whitney aún podría ser distinta de cero, incluso si todos los números de Stiefel-Whitney se anulan!)

La biyección anterior para fibrados de líneas implica que cualquier functor θ que satisfaga los cuatro axiomas anteriores es igual a w , ^{[ 7 ]} por el siguiente argumento. El segundo axioma produce θ(γ ¹ ) = 1 + θ ₁ (γ ¹ ). Para la aplicación de inclusión i  : P ¹ ( R ) → P ^∞ ( R ), el fibrado de retroceso${\displaystyle i^{*}\gamma ^{1}}$es igual a${\displaystyle \gamma _{1}^{1}}$Por lo tanto, el primer y el tercer axioma implican

${\displaystyle i^{*}\theta _{1}(\gamma ^{1})=\theta _{1}(i^{*}\gamma ^{1})=\theta _{1}(\gamma _{1}^{1})=w_{1}(\gamma _{1}^{1})=w_{1}(i^{*}\gamma ^{1})=i^{*}w_{1}(\gamma ^{1}).}$

Desde el mapa

${\displaystyle i^{*}:H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$

es un isomorfismo,${\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})}$y θ(γ ¹ ) = w (γ ¹ ) se deduce. Sea E un fibrado vectorial real de rango n sobre un espacio X . Entonces E admite una aplicación de descomposición , es decir una aplicación f  : X′ → X para algún espacio X′ tal que${\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$es inyectivo y${\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}}$para algunos paquetes de líneas${\displaystyle \lambda _{i}\to X'}$Cualquier conjunto de líneas sobre X tiene la forma${\displaystyle g^{*}\gamma ^{1}}$para algún mapa g y

${\displaystyle \theta (g^{*}\gamma ^{1})=g^{*}\theta (\gamma ^{1})=g^{*}w(\gamma ^{1})=w(g^{*}\gamma ^{1}),}$

por naturalidad. Por lo tanto, θ = w en${\displaystyle {\text{Vect}}_{1}(X)}$De la cuarta afirmación anterior se deduce que

${\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).}$

Desde${\displaystyle f^{*}}$es inyectiva, θ = w . Por lo tanto, la clase de Stiefel-Whitney es el único functor que satisface los cuatro axiomas anteriores.

Aunque el mapa${\displaystyle w_{1}\colon \mathrm {Vect} _{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$Si se trata de una biyección, la aplicación correspondiente no es necesariamente inyectiva en dimensiones superiores. Por ejemplo, consideremos el fibrado tangente.${\displaystyle TS^{n}}$. Con la incrustación canónica de${\displaystyle S^{n}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, el paquete normal${\displaystyle \nu }$a${\displaystyle S^{n}}$es un paquete de líneas. Dado que${\displaystyle S^{n}}$es orientable,${\displaystyle \nu }$es trivial. La suma${\displaystyle TS^{n}\oplus \nu }$es simplemente la restricción de${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n+1}}$a${\displaystyle S^{n}}$, lo cual es trivial ya que${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$es contraíble. Por lo tanto w ( TS ⁿ ) = w ( TS ⁿ ) w (ν) = w ( TS ⁿ ⊕ ν) = 1. Pero, siempre que n sea par, TS ⁿ → S ⁿ no es trivial; ${\displaystyle e(TS^{n})[S^{n}]=\chi (TS^{n})=2\neq 0}$(donde [ S ⁿ ] denota una clase fundamental de S ⁿ y χ la característica de Euler ), por lo tanto su clase de Euler${\displaystyle e}$debe ser distinto de cero.

Si trabajamos en una variedad de dimensión n , entonces cualquier producto de clases de Stiefel-Whitney de grado total n puede emparejarse con la clase fundamental Z / 2Z de la variedad para dar un elemento de Z /2Z , un número de Stiefel-Whitney del fibrado vectorial. Por ejemplo, si la variedad tiene dimensión 3, hay tres números de Stiefel-Whitney linealmente independientes, dados por ${\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}}$En general, si la variedad tiene dimensión n , el número de posibles números de Stiefel-Whitney independientes es el número de particiones de n . 

Los números de Stiefel-Whitney del fibrado tangente de una variedad diferenciable se denominan números de Stiefel-Whitney de la variedad. Se sabe que son invariantes de cobordismo . Lev Pontryagin demostró que si B es una variedad diferenciable compacta de dimensión ( n +1) con frontera igual a M , entonces los números de Stiefel-Whitney de M son todos cero. ^{[ 8 ]} Además, René Thom demostró que si todos los números de Stiefel-Whitney de M son cero, entonces M puede realizarse como la frontera de alguna variedad diferenciable compacta. ^{[ 9 ]}

Un número de Stiefel-Whitney importante en la teoría de la cirugía es el invariante de De Rham de una variedad de (4 k +1) dimensiones,${\displaystyle w_{2}w_{4k-1}.}$

Las clases de Stiefel-Whitney${\displaystyle w_{k}}$son los cuadrados Steenrod de las clases Wu${\displaystyle v_{k}}$, definida por Wu Wenjun en 1947. ^{[ 10 ]} De forma más sencilla, la clase total de Stiefel-Whitney es el cuadrado total de Steenrod de la clase total de Wu:${\displaystyle \operatorname {Sq} (v)=w}$Las clases de Wu se definen con mayor frecuencia implícitamente en términos de cuadrados de Steenrod, como la clase de cohomología que representa los cuadrados de Steenrod. Sea la variedad X de dimensión n . Entonces, para cualquier clase de cohomología x de grado${\displaystyle n-k}$,

${\displaystyle v_{k}\cup x=\operatorname {Sq} ^{k}(x)}$.

O, más concretamente, podemos exigir${\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle \operatorname {Sq} ^{k}(x),\mu \rangle }$, nuevamente para clases de cohomología x de grado${\displaystyle n-k}$. ^{[ 11 ]}

Sobre el álgebra de Steenrod , las clases de Stiefel-Whitney de una variedad diferenciable (definidas como las clases de Stiefel-Whitney del fibrado tangente) se generan mediante aquellas de la forma${\displaystyle w_{2^{i}}}$. En particular, las clases de Stiefel-Whitney satisfacen laFórmula Wu , nombrada en honor aWu Wenjun: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.}$