álgebra de Steenrod

En topología algebraica , Henri Cartan ( 1955 ) definió un álgebra de Steenrod como el álgebra de operaciones de cohomología estables para módulo ${\displaystyle p}$cohomología .

Para un número primo dado${\displaystyle p}$, el álgebra de Steenrod${\displaystyle A_{p}}$es el álgebra de Hopf graduada sobre el cuerpo${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$del orden${\displaystyle p}$, que consiste en todas las operaciones de cohomología estables para mod${\displaystyle p}$cohomología. Se genera mediante los cuadrados de Steenrod introducidos por Norman Steenrod ( 1947 ) para ${\displaystyle p=2}$y por el Steenrod reducido${\displaystyle p}$potencias introducidas en Steenrod ( 1953a , 1953b ) y el homomorfismo de Bockstein para ${\displaystyle p>2}$.

El término "álgebra de Steenrod" también se utiliza a veces para referirse al álgebra de operaciones de cohomología de una teoría de cohomología generalizada .

Una operación de cohomología es una transformación natural entre functores de cohomología . Por ejemplo, si tomamos la cohomología con coeficientes en un anillo.${\displaystyle R}$La operación de elevar al cuadrado el producto de la copa produce una familia de operaciones de cohomología:

${\displaystyle H^{n}(X;R)\to H^{2n}(X;R)}$

${\displaystyle x\mapsto x\smile x.}$

Las operaciones de cohomología no tienen por qué ser homomorfismos de anillos graduados; véase la fórmula de Cartan a continuación.

Estas operaciones no conmutan con la suspensión , es decir, son inestables. (Esto se debe a que si${\displaystyle Y}$es una suspensión de un espacio${\displaystyle X}$, el producto de la copa en la cohomología de${\displaystyle Y}$es trivial.) Steenrod construyó operaciones estables

${\displaystyle Sq^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{n+i}(X;\mathbb {Z} /2)}$

a pesar de${\displaystyle i}$mayor que cero. La notación${\displaystyle Sq}$y su nombre, los cuadrados Steenrod, proviene del hecho de que${\displaystyle Sq^{n}}$restringido a clases de grado${\displaystyle n}$es el cuadrado de la taza. Existen operaciones análogas para coeficientes primarios impares, generalmente denotados${\displaystyle P^{i}}$y llamado el reducido${\displaystyle p}$-operaciones de energía:

${\displaystyle P^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {Z} /p)}$

El${\displaystyle Sq^{i}}$generar un álgebra graduada conectada sobre${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$donde la multiplicación viene dada por la composición de operaciones. Este es el álgebra de Steenrod módulo 2. En el caso${\displaystyle p>2}$, el mod${\displaystyle p}$El álgebra de Steenrod se genera mediante el${\displaystyle P^{i}}$y la operación Bockstein${\displaystyle \beta }$asociado a la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} /p\to 0}$.

En el caso${\displaystyle p=2}$, el elemento Bockstein es${\displaystyle Sq^{1}}$y la reducida${\displaystyle p}$-otro poder${\displaystyle P^{i}}$es${\displaystyle Sq^{2i}}$.

Norman Steenrod y David BA Epstein ( 1962 ) demostraron que los cuadrados de Steenrod ${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}\to H^{m+n}}$Se caracterizan por los siguientes 5 axiomas:

1. Naturalidad:${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{m+n}(X;\mathbb {Z} /2)}$es un homomorfismo aditivo y es natural con respecto a cualquier${\displaystyle f\colon X\to Y}$, entonces${\displaystyle f^{*}(Sq^{n}(x))=Sq^{n}(f^{*}(x))}$.
2. ${\displaystyle Sq^{0}}$es el homomorfismo identidad.
3. ${\displaystyle Sq^{n}(x)=x\smile x}$para${\displaystyle x\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)}$.
4. Si${\displaystyle n>\deg(x)}$entonces${\displaystyle Sq^{n}(x)=0}$
5. Fórmula de Cartan:${\displaystyle Sq^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(Sq^{i}x)\smile (Sq^{j}y)}$

Además, los cuadrados de Steenrod tienen las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle Sq^{1}}$es el homomorfismo de Bockstein${\displaystyle \beta }$de la secuencia exacta${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} /4\to \mathbb {Z} /2\to 0.}$
• ${\displaystyle Sq^{i}}$conmuta con el morfismo de conexión de la secuencia exacta larga en cohomología. En particular, conmuta con respecto a la suspensión.${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} /2)\cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} /2)}$
• Satisfacen las relaciones Adem, descritas a continuación.

De manera similar, los siguientes axiomas caracterizan la reducción${\displaystyle p}$-potencias para${\displaystyle p>2}$.

1. Naturalidad:${\displaystyle P^{n}\colon H^{m}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$es un homomorfismo aditivo y natural.
2. ${\displaystyle P^{0}}$es el homomorfismo identidad.
3. ${\displaystyle P^{n}}$es la taza${\displaystyle p}$-en potencia en clases de grado${\displaystyle 2n}$.
4. Si${\displaystyle 2n>\deg(x)}$entonces${\displaystyle P^{n}(x)=0}$
5. Fórmula de Cartan:${\displaystyle P^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(P^{i}x)\smile (P^{j}y)}$

Como antes, las potencias p -ésimas reducidas también satisfacen las relaciones de Adem y conmutan con los operadores de suspensión y frontera.

Las relaciones de Adem para${\displaystyle p=2}$fueron conjeturados por Wen-tsün Wu ( 1952 ) y establecidos por José Adem ( 1952 ) . Se dan por  

${\displaystyle Sq^{i}Sq^{j}=\sum _{k=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{j-k-1 \choose i-2k}Sq^{i+j-k}Sq^{k}}$

a pesar de${\displaystyle i,j>0}$de tal manera que${\displaystyle i<2j}$(Los coeficientes binomiales deben interpretarse módulo 2). Las relaciones de Adem permiten escribir una composición arbitraria de cuadrados de Steenrod como una suma de elementos de la base de Serre-Cartan.

Para impares${\displaystyle p}$Las relaciones de Adem son

${\displaystyle P^{a}P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi}P^{a+b-i}P^{i}}$

para un < pb y

${\displaystyle P^{a}\beta P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i) \choose a-pi}\beta P^{a+b-i}P^{i}+\sum _{i}(-1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi-1}P^{a+b-i}\beta P^{i}}$

para${\displaystyle a\leq pb}$.

Existe una interpretación geométrica sencilla y directa de los cuadrados de Steenrod utilizando variedades que representan clases de cohomología. Supongamos que${\displaystyle X}$es una variedad diferenciable y consideremos una clase de cohomología.${\displaystyle \alpha \in H^{*}(X)}$representada geométricamente como una subvariedad suave.${\displaystyle f\colon Y\hookrightarrow X}$. Cohomológicamente, si dejamos${\displaystyle 1=[Y]\in H^{0}(Y)}$representan la clase fundamental de${\displaystyle Y}$luego el mapa de avance

${\displaystyle f_{*}(1)=\alpha }$

da una representación de${\displaystyle \alpha }$. Dejar${\displaystyle \nu _{Y/X}\to Y}$sea ​​el haz normal asociado a esta inmersión. Los cuadrados de Steenrod de${\displaystyle \alpha }$Ahora se puede entender: son el impulso de la clase Stiefel-Whitney del conjunto normal.

${\displaystyle Sq^{i}(\alpha )=f_{*}(w_{i}(\nu _{Y/X})),}$

lo que da una razón geométrica de por qué los productos de Steenrod finalmente se desvanecen. Nótese que, debido a que los mapas de Steenrod son homomorfismos de grupo, si tenemos una clase${\displaystyle \beta }$que puede representarse como una suma

${\displaystyle \beta =\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},}$

donde el${\displaystyle \alpha _{k}}$están representadas como variedades, podemos interpretar los cuadrados de las clases como sumas de los impulsos hacia adelante de los haces normales de sus variedades suaves subyacentes, es decir,

${\displaystyle Sq^{i}(\beta )=\sum _{k=1}^{n}f_{*}(w_{i}(\nu _{Y_{k}/X})).}$

Además, esta equivalencia está estrechamente relacionada con la fórmula de Wu .

Supongamos que${\displaystyle \pi }$¿Es cualquier grado?${\displaystyle n}$subgrupo del grupo simétrico en${\displaystyle n}$agujas,${\displaystyle u}$una clase de cohomología en${\displaystyle H^{q}(X,B)}$,${\displaystyle A}$un grupo abeliano actuado por${\displaystyle \pi }$, y${\displaystyle c}$una clase de cohomología en${\displaystyle H_{i}(\pi ,A)}$Steenrod ( 1953a , 1953b ) mostró cómo construir una potencia reducida . ${\displaystyle u^{n}/c}$en${\displaystyle H^{nq-i}(X,(A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)/\pi )}$, de la siguiente manera.

1. Tomando el producto externo de${\displaystyle u}$consigo mismo${\displaystyle n}$veces da un cociclo equivariante en${\displaystyle X^{n}}$con coeficientes en${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$.
2. Elegir${\displaystyle E}$ser un espacio contraíble en el que${\displaystyle \pi }$actúa libremente y un mapa equivariante de${\displaystyle E\times X}$a${\displaystyle X^{n}.}$Retrocediendo${\displaystyle u^{n}}$mediante este mapa da un cociclo equivariante en${\displaystyle E\times X}$y por lo tanto un cociclo de${\displaystyle E/\pi \times X}$con coeficientes en${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$.
3. Tomando el producto inclinado con${\displaystyle c}$en${\displaystyle H_{i}(E/\pi ,A)}$da un cociclo de${\displaystyle X}$con coeficientes en${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$.

Los cuadrados de Steenrod y las potencias reducidas son casos especiales de esta construcción donde${\displaystyle \pi }$es un grupo cíclico de orden primo${\displaystyle p=n}$actuando como una permutación cíclica de${\displaystyle n}$elementos y los grupos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son cíclicos de orden${\displaystyle p}$, de modo que${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$también es cíclico de orden${\displaystyle p}$.

Además de la estructura axiomática que satisface el álgebra de Steenrod, posee una serie de propiedades útiles adicionales.

El${\displaystyle p=2}$El álgebra de Steenrod admite una filtración mediante subálgebras de Hopf finitas. Como${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$es generado por los elementos ^{[ 5 ]}

${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$,

podemos formar subálgebras${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(n)}$generado por los cuadrados de Steenrod

${\displaystyle Sq^{1},Sq^{2},\ldots ,Sq^{2^{n}}}$,

proporcionando la filtración

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(1)\subset {\mathcal {A}}_{2}(2)\subset \cdots \subset {\mathcal {A}}_{2}.}$

Estas álgebras son importantes porque pueden usarse para simplificar muchos cálculos de secuencias espectrales de Adams, como por ejemplo:${\displaystyle \pi _{*}(ko)}$, y${\displaystyle \pi _{*}(tmf)}$. ^{[ 6 ]}

Larry Smith ( 2007 ) proporcionó la siguiente construcción algebraica del álgebra de Steenrod sobre un cuerpo finito. ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$de orden q . Si V es un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$entonces escribimos SV para el álgebra simétrica de V. Hay un homomorfismo de álgebras

${\displaystyle {\begin{cases}P(x)\colon SV[[x]]\to SV[[x]]\\P(x)(v)=v+F(v)x=v+v^{q}x&v\in V\end{cases}}}$

donde F es el endomorfismo de Frobenius de SV . Si ponemos

${\displaystyle P(x)(f)=\sum P^{i}(f)x^{i}\qquad p>2}$

o

${\displaystyle P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^{i}\qquad p=2}$

para${\displaystyle f\in SV}$entonces si V es de dimensión infinita los elementos${\displaystyle P^{I}}$generar un isomorfismo de álgebra a la subálgebra del álgebra de Steenrod generada por las potencias p′ reducidas para p impar, o los cuadrados de Steenrod pares${\displaystyle Sq^{2i}}$para${\displaystyle p=2}$.

Las primeras aplicaciones del álgebra de Steenrod fueron los cálculos de Jean-Pierre Serre de algunos grupos de homotopía de esferas, utilizando la compatibilidad de diferenciales transgresivos en la secuencia espectral de Serre con las operaciones de Steenrod, y la clasificación de René Thom de variedades suaves hasta cobordismo, a través de la identificación del anillo graduado de clases de bordismo con los grupos de homotopía de complejos de Thom, en un rango estable. Este último fue refinado al caso de variedades orientadas por CTC Wall . Una aplicación famosa de las operaciones de Steenrod, que involucra factorizaciones a través de operaciones de cohomología secundaria asociadas a relaciones de Adem apropiadas, fue la solución de J. Frank Adams del problema del invariante uno de Hopf . Una aplicación del álgebra de Steenrod módulo 2 que es bastante elemental es el siguiente teorema.

Teorema . Si existe un mapa${\displaystyle S^{2n-1}\to S^{n}}$del invariante de Hopf uno , entonces n es una potencia de 2.

La prueba utiliza el hecho de que cada${\displaystyle Sq^{k}}$es descomponible para k que no es una potencia de 2; es decir, dicho elemento es un producto de cuadrados de grado estrictamente menor.

Michael A. Mandell dio una demostración del siguiente teorema estudiando el álgebra de Steenrod (con coeficientes en la clausura algebraica de${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$):

Teorema . El functor cochain singular con coeficientes en la clausura algebraica de${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$induce una equivalencia contravariante de la categoría de homotopía de conexo${\displaystyle p}$-espacios nilpotentes completos de finitos${\displaystyle p}$-tipo a una subcategoría completa de la categoría de homotopía de [[${\displaystyle E_{\infty }}$-álgebras]] con coeficientes en la clausura algebraica de${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.

La cohomología del álgebra de Steenrod es la${\displaystyle E_{2}}$término para la secuencia espectral de Adams ( p -local ) , cuyo tope es el componente p de los grupos de homotopía estables de esferas. Más específicamente, el${\displaystyle E_{2}}$El término de esta secuencia espectral puede identificarse como

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{s,t}(\mathbb {F} _{p},\mathbb {F} _{p}).}$

Esto es lo que quiere decir el aforismo "la cohomología del álgebra de Steenrod es una aproximación a los grupos de homotopía estables de esferas".

• Operación de cohomología de Pontryagin
• Álgebra de doble Steenrod
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