Dispersión de portadores

Los tipos de defectos incluyen vacantes atómicas, adátomos , escalones y torceduras que ocurren con mayor frecuencia en superficies debido al tamaño finito del material que causa discontinuidad cristalina. Lo que todos los tipos de defectos tienen en común, ya sean defectos superficiales o volumétricos, es que producen enlaces colgantes que tienen niveles de energía electrónica específicos diferentes a los del volumen. Esta diferencia ocurre porque estos estados no pueden describirse con ondas de Bloch periódicas debido al cambio en la energía potencial electrónica causado por los núcleos iónicos faltantes justo fuera de la superficie. Por lo tanto, estos son estados localizados que requieren soluciones separadas de la ecuación de Schrödinger para que las energías electrónicas puedan describirse correctamente. La ruptura de la periodicidad resulta en una disminución de la conductividad debido a la dispersión de defectos .

Una forma más simple y cualitativa de determinar los niveles de energía de los enlaces colgantes es mediante diagramas de Harrison. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los metales tienen enlaces no direccionales y una longitud de Debye pequeña que, debido a su naturaleza cargada, hace que los enlaces colgantes sean insignificantes, si es que se puede considerar que existen. Los semiconductores son dieléctricos, por lo que los electrones pueden sentir y quedar atrapados en estados de energía de defectos. Los niveles de energía de estos estados están determinados por los átomos que componen el sólido. La Figura 1 muestra el diagrama de Harrison para el semiconductor elemental Si. De izquierda a derecha, la hibridación de orbitales s y p promueve el enlace sp ³ que, cuando se combinan múltiples dímeros sp ³ Si-Si para formar un sólido, define las bandas de conducción y de valencia. Si existiera una vacante, como las que hay en cada átomo en la interfaz sólido/vacío, se produciría al menos un enlace sp³ roto ^con una energía igual a la de átomos de Si auto-hibridados individuales, como se muestra en la Figura 1. Esta energía corresponde aproximadamente al punto medio de la banda prohibida del Si, ~0,55 eV por encima de la banda de valencia. Ciertamente, este es el caso más ideal, mientras que la situación sería diferente si se produjeran, por ejemplo, la pasivación de enlaces (véase más adelante) y la reconstrucción de la superficie . Experimentalmente, las energías de estos estados pueden determinarse mediante espectroscopia de absorción o espectroscopia de fotoelectrones de rayos X , por ejemplo, si la sensibilidad del instrumento y/o la densidad de defectos son suficientemente altas.

Los semiconductores compuestos, como el GaAs, tienen estados de enlace colgante que están más cerca de los bordes de banda (véase la Figura 2). A medida que el enlace se vuelve cada vez más iónico, estos estados pueden incluso actuar como dopantes . Esta es la causa de la conocida dificultad del dopaje de tipo p del GaN, donde las vacantes de N son abundantes debido a su alta presión de vapor, lo que resulta en una alta densidad de enlaces colgantes de Ga. Estos estados están cerca del borde de la banda de conducción y, por lo tanto, actúan como donantes. Cuando se introducen dopantes aceptores de tipo p, estos son compensados ​​inmediatamente por las vacantes de N. Con estos estados superficiales, su tratamiento a menudo se considera análogo al del átomo de hidrógeno, como sigue para el caso de vacantes de aniones o cationes (masa efectiva de hueco, m*, para cationes y m* de electrón para vacantes de aniones). La energía de enlace, E _c -E _db , es ${\displaystyle E_{c}-E_{db}=U+KE={\frac {1}{2}}U\;\;(1)}$ donde U=-q ² /(4πεε _r r) es el potencial electrostático entre un electrón que ocupa el enlace colgante y su núcleo iónico, con ε, la constante de permitividad del espacio libre, ε _r , la permitividad relativa, y r la separación electrón-núcleo iónico. La simplificación de que la energía traslacional del electrón, KE=-U/2, se debe al teorema del virial para potenciales centrosimétricos. Como describe el modelo de Bohr , r está sujeto a cuantización. ${\displaystyle n\lambda =2\pi r\;\;(2)}$. El momento del electrón es p=mv=h/λ tal que ${\displaystyle KE={\frac {p^{2}}{2m^{*}}}={\frac {h^{2}n^{2}}{8m^{*}\pi ^{2}r^{2}}}=-{\frac {U}{2}}={\frac {q^{2}}{8\pi \varepsilon \varepsilon _{r}r}}\;\;(3)}$ Resultando en ${\displaystyle r={\frac {4\pi \hbar ^{2}n^{2}\varepsilon \varepsilon _ {r}}{q^{2}m^{*}}}\;\;(4)}$ y ${\displaystyle E_{c}-E_{db}={\frac {U}{2}}={\frac {m^{*}q^{4}}{8h^{2}(\varepsilon \varepsilon _{r})^{2}}}\;\;(5)}$Este tratamiento pierde precisión a medida que los defectos se alejan de los bordes de la banda.

Los niveles de energía de los enlaces colgantes son autovalores de las funciones de onda que describen los electrones en las proximidades de los defectos. En la consideración típica de la dispersión de portadores, esto corresponde al estado final en la regla de oro de Fermi de la frecuencia de dispersión: ${\displaystyle S_{k'k}={\frac {2\pi }{\hbar }}|<f|H'|i>|^{2}\delta (E_{f}-E_{i})\;\;(6)}$ donde H' es el parámetro de interacción y la función delta de Dirac , δ(E _f -E _i ), indica dispersión elástica . La relación simple 1/τ= Σ _k',k S _k'k hace que esta sea una ecuación útil para caracterizar las propiedades de transporte del material cuando se usa junto con σ = ne ² τ /m* y la regla de Matthiessen para incorporar otros procesos de dispersión.

El valor de S _k'k está determinado principalmente por el parámetro de interacción, H'. Este término es diferente dependiendo de si se consideran estados superficiales o profundos. Para estados superficiales, H' es el término de perturbación del hamiltoniano redefinido H=H _o +H', con H _o teniendo una energía de valor propio de E _i . La matriz para este caso es ^{[ 3 ]}${\displaystyle <f|H'|i>\equiv M_{k'k}={\frac {1}{V}}\int d{\bar {r}}H'e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}')}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}\int d{\bar {r}}H_{\bar {q}}e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}'+{\bar {q}})}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}H_{\bar {q}}\delta _{{\bar {k}}-{\bar {k}}'},_{\bar {q}}={\frac {1}{V}}H_{\bar {q}}\;\;(7)}$ donde k' es el vector de onda del estado final del cual solo hay un valor ya que la densidad de defectos es lo suficientemente pequeña como para no formar bandas (~<10 ¹⁰ /cm ² ). Usando la ecuación de Poisson para cargas puntuales periódicas de Fourier, ${\displaystyle \nabla ^{2}V({\bar {r}})={\frac {-e\delta ({\bar {r}})}{\varepsilon \varepsilon _{r}}}=-\sum _{\bar {q}}{\bar {q}}^{2}V_{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}={\frac {-e}{V\varepsilon \varepsilon _{r}}}\ \sum _{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}\;\;(8)}$, da el coeficiente de Fourier del potencial de un enlace colgante V _q =e/(q ² εε _r V) donde V es el volumen. Esto resulta en${\displaystyle H_{\bar {q}}=-eV_{\bar {q}}={\frac {-e^{2}}{{\bar {q}}^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}V}}={\frac {-e^{2}}{({\bar {q}}^{2}+q_{s}^{2})\varepsilon \varepsilon _{r}V}}\;\;(9)}$ donde q _s es la corrección del vector de onda de la longitud de Debye debido al apantallamiento de carga. Entonces, la frecuencia de dispersión es ${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{{\bar {k}}',{\bar {k}}}S_{{\bar {k}}'{\bar {k}}}=n\sum _{\bar {k}}{\frac {2\pi }{\hbar }}{\frac {e^{4}\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{\varepsilon \varepsilon _{r}V[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}={\frac {ne^{4}}{4\pi ^{2}\hbar \varepsilon \varepsilon _{r}}}\int \int \int dkd\theta d\phi {\frac {k^{2}sin\theta \;\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}\;\;(10)}$donde n es la densidad volumétrica de defectos. Al realizar la integración, utilizando |k|=|k'|, se obtiene${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {ne^{4}}{2\pi {\sqrt {2m^{*}(E_{c}-E_{db})}}\hbar ^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}}\left({\frac {1}{q_{s}^{2}}}-{\frac {1}{q_{s}^{2}+{\frac {8m^{*}(E_{c}-E_{db})}{\hbar ^{2}}}}}\right)\;\;(11)}$El tratamiento anterior falla cuando los defectos no son periódicos, ya que los potenciales de enlaces colgantes se representan con una serie de Fourier. La simplificación de la suma por el factor n en la ecuación (10) solo fue posible debido a la baja densidad de defectos. Si cada átomo (o posiblemente uno de cada dos) tuviera un enlace colgante, lo cual es bastante razonable para una superficie no reconstruida, también debe realizarse la integral sobre k'. Debido al uso de la teoría de perturbaciones para definir la matriz de interacción, lo anterior supone valores pequeños de H' o estados de defecto superficiales cerca de los bordes de banda. Afortunadamente, la regla de oro de Fermi es bastante general y puede usarse para defectos de estado profundo si la interacción entre el electrón de conducción y el defecto se comprende lo suficientemente bien como para modelar su interacción en un operador que reemplace a H'.

La determinación del alcance de estos enlaces colgantes en el transporte eléctrico puede observarse experimentalmente con bastante facilidad. Al variar el voltaje a través de un conductor (Figura 3), la resistencia y, con una geometría definida, la conductividad de la muestra pueden determinarse. Como se mencionó anteriormente, σ = ne ² τ /m*, donde τ puede determinarse conociendo n y m* a partir de la posición del nivel de Fermi y la estructura de bandas del material. Desafortunadamente, este valor contiene efectos de otros mecanismos de dispersión, como los debidos a fonones. Esto cobra utilidad cuando la medición se utiliza junto con la Ec (11), donde la pendiente de una gráfica de 1/τ frente a n permite calcular E _c -E _db y la intersección determina 1/τ a partir de todos los procesos de dispersión excepto los de defectos. Esto requiere la suposición de que la dispersión de fonones (entre otros procesos posiblemente despreciables) es independiente de la concentración de defectos. En un experimento similar, basta con bajar la temperatura del conductor (Figura 3) para que la densidad de fonones disminuya hasta ser despreciable, permitiendo una resistividad dominada por defectos. En este caso, se puede utilizar σ = ne ² τ /m* para calcular directamente τ para la dispersión por defectos.

Los defectos superficiales siempre pueden ser "pasivados" con átomos para ocupar intencionalmente los niveles de energía correspondientes de modo que los electrones de conducción no puedan dispersarse en estos estados (disminuyendo efectivamente n en la Eq (10)). Por ejemplo, la pasivación de Si en la interfaz canal/óxido de un MOSFET con hidrógeno (Figura 4) es un procedimiento típico para ayudar a reducir la densidad de defectos de ~10 ¹⁰ cm ⁻² hasta en un factor de 12 ^{[ 4 ]} mejorando así la movilidad y, por lo tanto, las velocidades de conmutación. La eliminación de estados intermedios que de otro modo reducirían las barreras de tunelización también disminuye la corriente de fuga de la puerta y aumenta la capacitancia de la puerta , así como la respuesta transitoria. El efecto es que el enlace Si sp ³ se satisface completamente. El requisito obvio aquí es la capacidad del semiconductor para oxidar el átomo pasivante o, E _c -E _db + χ > E _I , con la afinidad electrónica del semiconductor χ y la energía de ionización del átomo E _I .

Ahora consideramos la dispersión de portadores con deformaciones de la red denominadas fonones . Consideremos el desplazamiento volumétrico que produce dicha onda propagante,${\displaystyle \Delta V_{0}}$, lo que en consecuencia resulta en una deformación dependiente del tiempo,${\displaystyle \Delta V_{0}/V_{0}=\bigtriangledown u(r,t)}$donde se utiliza una onda plana simple para describir la propagación de fonones,${\displaystyle u(r,t)\propto exp\pm (iqr-i\omega t)}$. El desplazamiento de los átomos lejos de sus posiciones de equilibrio generalmente provoca un cambio en la estructura de bandas electrónicas (Figura 5) donde, para la dispersión, nos interesan los electrones en la banda de conducción con energía ~E _CB ,${\displaystyle \Delta E_{CB}={\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}\Delta V_{0}=V_{0}{\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}{\frac {\Delta V_{0}}{V_{0}}}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t)\;\;(12)}$El parámetro empírico, Z _DP , se denomina potencial de deformación y describe la fuerza de acoplamiento electrón-fonón. Multiplicando por la población de fonones ( distribución de Bose-Einstein , N _q ) se obtiene el potencial de deformación total.${\displaystyle \Delta E_{CB}^{Tot}={\widehat {H}}_{int}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\;\;(13)}$

(la razón de la raíz se hará evidente más adelante). Aquí, el + corresponde a la emisión de fonones y el – a la absorción de fonones durante el evento de dispersión. Una nota, porque${\displaystyle q\perp u(r,t)}$Para los fonones transversales, solo las interacciones con los fonones longitudinales son distintas de cero. Por lo tanto, la matriz de interacción completa es${\displaystyle <k'|{\widehat {H}}_{int}|k>=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\delta _{k',k\pm q}\;\;(14)}$donde la delta de Kronecker impone la conservación del momento y surge de asumir las funciones de onda electrónicas (estado final,${\displaystyle <k'|}$y estado inicial,${\displaystyle |k>}$) también son ondas planas.

Utilizando la regla de oro de Fermi, se puede aproximar la tasa de dispersión para fonones acústicos de baja energía. La matriz de interacción para estos fonones es${\displaystyle |<k'|{\widehat {H}}_{int}|k>|^{2}=Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\;\;(15)}$con la frecuencia angular del fonón ω _q =cq, volumen V, densidad del sólido ρ y velocidad de grupo del fonón c. ^{[ 5 ]} Sustituyendo esto en la ecuación 6 se obtiene${\displaystyle S_{k'k}^{Ac}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]\;\;(16)}$Con las suposiciones de que N _q >>1, ħω<<kT y g(E') ~ g(E) (lo cual generalmente se cumple para cristales 3D ya que las energías de los electrones de conducción son generalmente mucho mayores que ħω y g(E) carece de cualquier singularidad de van Hove ) se obtiene la tasa de dispersión:${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Ac}=\sum _{k}S_{k\pm q,k}^{Ac}}$${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}({\frac {kT}{\hbar \omega _{q}}})\sum _{k}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]}$${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {kT}{2V\rho c^{2}}}V\times g(E)}$${\displaystyle ={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}{\frac {Z_{DP}^{2}m^{*{\frac {3}{2}}}kT}{\rho \hbar ^{4}c^{2}}}{\sqrt {E-E_{CB}}}\;\;(17)}$ donde g(E) es la densidad electrónica de estados para la cual se utilizó la solución tridimensional con dispersión parabólica para obtener la respuesta final.

Típicamente, los fonones en las ramas ópticas de las relaciones de dispersión vibracional tienen energías del orden de kT o mayores y, por lo tanto, las aproximaciones ħω<<kT y N _q >>1 no se pueden hacer. Sin embargo, una ruta razonable que aún proporciona un desvío para tratar con dispersiones de fonones complejas es usar el modelo de Einstein que establece que solo existe un modo de fonón en los sólidos. Para los fonones ópticos, esta aproximación resulta ser suficiente debido a la muy poca variación de pendiente en ω(q) y, por lo tanto, podemos afirmar que ħω(q) ≅ ħω, una constante. En consecuencia, N _q también es una constante (solo depende de T). La última aproximación, g(E')=g(E±ħω) ~ g(E), no se puede hacer ya que ħω ~ E y no hay una solución alternativa para ello, pero la complejidad agregada a la suma para τ es mínima. ${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Op}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\sum _{k'}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega ]}$${\displaystyle =Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{8\pi ^{2}\hbar \rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})g(E\pm \hbar \omega )\;\;(18)}$. La suma se convierte en la densidad de estados en E' y la distribución de Bose-Einstein se puede sacar de la suma debido a que ħω(q) ≅ ħω.