Deformación (física)

En física y mecánica de medios continuos , la deformación es el cambio en la forma o el tamaño de un objeto. Tiene dimensión de longitud y su unidad en el SI es el metro (m). Se cuantifica como el desplazamiento residual de las partículas en un cuerpo no rígido , desde una configuración inicial hasta una configuración final , excluyendo la traslación y rotación promedio del cuerpo (su transformación rígida ). ^{[ 1 ]} Una configuración es un conjunto que contiene las posiciones de todas las partículas del cuerpo.

Una deformación puede ocurrir debido a cargas externas , ^{[ 2 ]} actividad intrínseca (por ejemplo, contracción muscular ), fuerzas corporales (como la gravedad o fuerzas electromagnéticas ), o cambios en la temperatura, el contenido de humedad o reacciones químicas, etc.

En un cuerpo continuo , un campo de deformación resulta de un campo de tensiones debido a fuerzas aplicadas o a cambios en las condiciones del cuerpo. La relación entre tensión y deformación (deformación relativa) se expresa mediante ecuaciones constitutivas , por ejemplo, la ley de Hooke para materiales elásticos lineales .

Las deformaciones que cesan tras la eliminación del campo de tensión se denominan deformación elástica . En este caso, el continuo recupera completamente su configuración original. Por otro lado, pueden persistir deformaciones irreversibles, que existen incluso después de la eliminación de las tensiones. Un tipo de deformación irreversible es la deformación plástica , que se produce en los materiales una vez que las tensiones alcanzan un cierto valor umbral conocido como límite elástico o límite de fluencia , y es el resultado de mecanismos de deslizamiento o dislocación a nivel atómico. Otro tipo de deformación irreversible es la deformación viscosa , que es la parte irreversible de la deformación viscoelástica . En el caso de las deformaciones elásticas, la función de respuesta que relaciona la deformación con la tensión deformante es el tensor de compliancia del material.

Definición y formulación

La deformación es el cambio en las propiedades métricas de un cuerpo continuo, lo que significa que una curva trazada en la posición inicial del cuerpo cambia su longitud al desplazarse hacia la posición final. Si ninguna de las curvas cambia de longitud, se dice que se produjo un desplazamiento de cuerpo rígido .

Es conveniente identificar una configuración de referencia o estado geométrico inicial del cuerpo continuo a partir del cual se referencian todas las configuraciones subsiguientes. La configuración de referencia no tiene por qué ser una que el cuerpo vaya a ocupar alguna vez. A menudo, la configuración en $t = 0$ se considera la configuración de referencia, $κ 0 (B)$ . La configuración en el instante actual $t$ es la configuración actual .

Para el análisis de deformación, la configuración de referencia se denomina configuración sin deformar y la configuración actual, configuración deformada . Además, no se considera el tiempo al analizar la deformación, por lo que la secuencia de configuraciones entre la configuración sin deformar y la deformada no resulta relevante.

Las componentes $X i$ del vector de posición $X$ de una partícula en la configuración de referencia, tomadas con respecto al sistema de coordenadas de referencia, se denominan coordenadas materiales o de referencia . Por otro lado, las componentes $x i$ del vector de posición $x$ de una partícula en la configuración deformada, tomadas con respecto al sistema de coordenadas espaciales de referencia, se denominan coordenadas espaciales.

Existen dos métodos para analizar la deformación de un continuo. Una descripción se realiza en términos de las coordenadas materiales o de referencia, denominada descripción material o lagrangiana . Una segunda descripción de la deformación se realiza en términos de las coordenadas espaciales, denominada descripción espacial o euleriana .

Existe continuidad durante la deformación de un cuerpo continuo en el sentido de que:

Los puntos materiales que forman una curva cerrada en un instante dado siempre formarán una curva cerrada en cualquier momento posterior.
Los puntos materiales que forman una superficie cerrada en cualquier instante formarán siempre una superficie cerrada en cualquier momento posterior, y la materia dentro de la superficie cerrada siempre permanecerá dentro.

deformación afín

Una deformación afín es aquella que puede describirse completamente mediante una transformación afín . Dicha transformación se compone de una transformación lineal (como rotación, cizallamiento, extensión y compresión) y una traslación de cuerpo rígido. Las deformaciones afines también se denominan deformaciones homogéneas . ^{[ 3 ]}

Por lo tanto, una deformación afín tiene la forma $\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)$ donde $x$ es la posición de un punto en la configuración deformada, $X$ es la posición en una configuración de referencia, $t$ es un parámetro de tipo temporal, $F$ es el transformador lineal y $c$ es la traslación. En forma matricial, donde los componentes son con respecto a una base ortonormal, ${\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}$

La deformación anterior se vuelve no afín o inhomogénea si $F = F (X, t)$ o $c = c (X, t)$ .

Movimiento de cuerpo rígido

El movimiento de un cuerpo rígido es una deformación afín especial que no implica corte, extensión ni compresión. La matriz de transformación $F$ es ortogonal propia para permitir rotaciones pero no reflexiones .

El movimiento de un cuerpo rígido se puede describir mediante $\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)$ dónde ${\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}$ En forma matricial, ${\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}$

Antecedentes: desplazamiento

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo produce un desplazamiento . El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación. Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma ni tamaño. La deformación implica el cambio de forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada $κ 0 (B)$ a una configuración actual o deformada $κ t (B)$ (Figura 1).

Si tras un desplazamiento del continuo existe un desplazamiento relativo entre las partículas, se ha producido una deformación. Por otro lado, si tras el desplazamiento del continuo el desplazamiento relativo entre las partículas en la configuración actual es cero, entonces no hay deformación y se dice que se ha producido un desplazamiento de cuerpo rígido.

El vector que une las posiciones de una partícula P en la configuración no deformada y en la configuración deformada se llama vector de desplazamiento $u (X, t) = u i e i$ en la descripción lagrangiana, o $U (x, t) = U J E J$ en la descripción euleriana.

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. Es conveniente realizar el análisis de la deformación o el movimiento de un cuerpo continuo en términos del campo de desplazamiento. En general, el campo de desplazamiento se expresa en términos de las coordenadas del material como $\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}$ o en términos de las coordenadas espaciales como $\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}$ donde $α Ji$ son los cosenos directores entre los sistemas de coordenadas material y espacial con vectores unitarios $E J$ y $e i$ , respectivamente. Por lo tanto, $\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}$ y la relación entre $u i$ y $U J$ viene dada entonces por $u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}$

Sabiendo que $\mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}$ entonces $\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)$

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones no deformadas y deformadas, lo que resulta en $b = 0$ , y los cosenos directores se convierten en deltas de Kronecker : $\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}$

Por lo tanto, tenemos $\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}$ o en términos de las coordenadas espaciales como $\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}$

Tensor gradiente de desplazamiento

La diferenciación parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas materiales produce el tensor gradiente de desplazamiento material $\nabla X u$ . Por lo tanto, tenemos: ${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \end{aligned}}$ o ${\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\end{aligned}}$ donde $F$ es el tensor gradiente de deformación .

De manera similar, la diferenciación parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas espaciales produce el tensor gradiente de desplazamiento espacial $\nabla x U$ . Por lo tanto, tenemos: ${\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\end{aligned}}$ o ${\begin{aligned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\end{aligned}}$

Ejemplos

Las deformaciones homogéneas (o afines) son útiles para dilucidar el comportamiento de los materiales. Algunas deformaciones homogéneas de interés son:

Las deformaciones lineales o longitudinales de objetos largos, como vigas y fibras, se denominan elongación o acortamiento ; las magnitudes derivadas son la elongación relativa y la relación de estiramiento .

Las deformaciones planas también son de interés, particularmente en el contexto experimental.

La deformación volumétrica es una escala uniforme debida a la compresión isotrópica ; la deformación volumétrica relativa se denomina deformación volumétrica .

Deformación plana

Una deformación plana, también llamada deformación plana , es aquella en la que la deformación está restringida a uno de los planos de la configuración de referencia. Si la deformación está restringida al plano descrito por los vectores base $e 1$ , $e 2$ , el gradiente de deformación tiene la forma ${\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}$ En forma matricial, ${\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ A partir del teorema de descomposición polar , el gradiente de deformación, hasta un cambio de coordenadas, puede descomponerse en un estiramiento y una rotación. Dado que toda la deformación está en un plano, podemos escribir ^{[ 3 ].} ${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ donde $θ$ es el ángulo de rotación y $λ 1$ , $λ 2$ son los estiramientos principales .

Deformación del plano isocórico

Si la deformación es isocórica (conserva el volumen), entonces $det(F) = 1$ y tenemos $F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1$ Alternativamente, $\lambda _{1}\lambda _{2}=1$

Corte simple

Una deformación por cizallamiento simple se define como una deformación plana isocórica en la que existe un conjunto de elementos lineales con una orientación de referencia dada que no cambian de longitud ni de orientación durante la deformación. ^{[ 3 ]}

Si $e 1$ es la orientación de referencia fija en la que los elementos de línea no se deforman durante la deformación, entonces $λ 1 = 1$ y $F \cdot e 1 = e 1$ . Por lo tanto, $F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \implies \quad F_{11}=1~;~~F_{21}=0$ Dado que la deformación es isocórica, $F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \implies \quad F_{22}=1$ Definir ${\displaystyle \gamma$ Entonces, el gradiente de deformación en corte simple se puede expresar como ${\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ Ahora, ${\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}$ Desde $\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\mathit {1}}}$ También podemos escribir el gradiente de deformación como ${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}$

Véase también

La deformación de elementos largos como vigas o montantes debido a fuerzas de flexión se conoce como deflexión .
teoría de vigas de Euler-Bernoulli
Deformación (ingeniería)
Teoría de la deformación finita
Teoría de la deformación infinitesimal
Patrón moiré
Módulo de cizallamiento
esfuerzo cortante
Resistencia al corte
Deformación (mecánica)
Estrés (mecánica)
Medidas de estrés

Referencias

↑ Truesdell, C.; Noll, W. (2004). Las teorías de campo no lineales de la mecánica (3.ª ed.). Springer. pág. 48.
↑ Wu, H.-C. (2005). Mecánica del continuo y plasticidad . CRC Press. ISBN 1-58488-363-4.
1 2 3 Ogden, RW (1984). Deformaciones elásticas no lineales . Dover.

Lecturas adicionales

Bazant, Zdenek P.; Cedolin, Luigi (2010). Inestabilidades del continuo tridimensional y efectos del tensor de deformación finito, capítulo 11 en "Estabilidad de las estructuras", 3.ª ed . Singapur, Nueva Jersey, Londres: World Scientific Publishing. ISBN 978-9814317030.
Dill, Ellis Harold (2006). Mecánica del continuo: elasticidad, plasticidad, viscoelasticidad . Alemania: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
Hutter, Kolumban; Jöhnk, Klaus (2004). Métodos continuos de modelado físico . Alemania: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
Jirasek, M; Bazant, ZP (2002). Análisis inelástico de estructuras . Londres y Nueva York: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
Lubarda, Vlado A. (2001). Teoría de la elastoplasticidad . Prensa CRC. ISBN 0-8493-1138-1.
Macosko, CW (1994). Reología: principios, medición y aplicaciones . VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
Mase, George E. (1970). Mecánica de medios continuos . McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
Mase, G. Thomas; Mase, George E. (1999). Mecánica de medios continuos para ingenieros (2.ª ed.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticidad: Un tratado sobre la deformación finita de materiales inelásticos heterogéneos . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
Prager, William (1961). Introducción a la mecánica de los continuos . Boston: Ginn and Co. ISBN 0486438090.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[Truesdell-1] Truesdell, C.; Noll, W. (2004). Las teorías de campo no lineales de la mecánica (3.ª ed.). Springer. pág. 48.

[wu-2] Wu, H.-C. (2005). Mecánica del continuo y plasticidad . CRC Press. ISBN 1-58488-363-4.

[Ogden-3] 1 2 3 Ogden, RW (1984). Deformaciones elásticas no lineales . Dover.

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