descomposición polar

En matemáticas , la descomposición polar de una matriz cuadrada real o compleja $A$ es una factorización de la forma $A=UP$ , dónde $U$ es una matriz unitaria y $P$ es una matriz hermitiana semidefinida positiva ( $U$ es una matriz ortogonal y $P$ es una matriz simétrica semidefinida positiva en el caso real), cuadrada y del mismo tamaño. ^{[ 1 ]}

Si un real $n\times n$ matriz $A$ se interpreta como una transformación lineal de $n$ espacio dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ La descomposición polar la separa en una rotación o reflexión. $U$ de $\mathbb {R} ^{n}$ y un escalamiento del espacio a lo largo de un conjunto de $n$ ejes ortogonales.

La descomposición polar de una matriz cuadrada $A$ Siempre existe. Si $A$ es invertible , la descomposición es única y el factor $P$ será definida positiva . En ese caso, $A$ puede escribirse de forma única en la forma $A=Ue^{X}$ , dónde $U$ es unitario y $X$ es el logaritmo autoadjunto único de la matriz $P$ . ^{[ 2 ]} Esta descomposición es útil para calcular el grupo fundamental de grupos de Lie (matriciales) . ^{[ 3 ]}

La descomposición polar también puede definirse como $A=P'U$ , dónde $P'=UPU^{-1}$ es una matriz simétrica definida positiva con los mismos valores propios que $P$ pero con vectores propios diferentes.

La descomposición polar de una matriz puede considerarse como el análogo matricial de la forma polar de un número complejo. $z$ como $z=ur$ , dónde $r$ es su valor absoluto (un número real no negativo ), y $u$ es un número complejo con norma unitaria (un elemento del grupo del círculo ).

La definición $A=UP$ puede extenderse a matrices rectangulares $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ al exigir $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ ser una matriz semiunitaria , y $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ser una matriz hermitiana semidefinida positiva. La descomposición siempre existe, y $P$ siempre es único. La matriz $U$ es único si y solo si $A$ tiene rango completo. ^{[ 4 ]}

Interpretación geométrica

Un cuadrado de verdad $m\times m$ matriz $A$ puede interpretarse como la transformación lineal de $\mathbb {R} ^{m}$ que toma un vector columna $x$ a $Ax$ . Luego, en la descomposición polar $A=RP$ , el factor $R$ es un $m\times m$ matriz ortogonal real. La descomposición polar puede entonces verse como la expresión de la transformación lineal definida por $A$ en una ampliación del espacio $\mathbb {R} ^{m}$ a lo largo de cada vector propio $e_{i}$ de $P$ por un factor de escala $\sigma _{i}$ (la acción de $P$ ), seguido de una rotación de $\mathbb {R} ^{m}$ (la acción de $R$ ).

Alternativamente, la descomposición $A=PR$ expresa la transformación definida por $A$ como una rotación ( $R$ ) seguido de un escalamiento ( $P$ ) a lo largo de ciertas direcciones ortogonales. Los factores de escala son los mismos, pero las direcciones son diferentes.

Propiedades

Dejar $A$ ser un complejo $n\times n$ matriz con descomposición polar $A=UP.$ Luego, la descomposición polar del conjugado complejo de $A$ es dado por ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ Tenga en cuenta que $\det A=\det U\det P=e^{i\theta }r$ da la descomposición polar correspondiente del determinante de A , ya que $\det U=e^{i\theta},$ y $\det P=r=|\det A|.$ En particular, si $A$ tiene determinante 1, entonces ambos $U$ y $P$ tienen determinante 1.

La matriz semidefinida positiva P es siempre única, incluso si A es singular , y se puede obtener como $P=(A^{*}A)^{1/2},$ dónde $A^{*}$ denota la transpuesta conjugada de $A$ . Aquí $A^{*}A$ es una matriz hermitiana semidefinida positiva y, por lo tanto, tiene una única raíz cuadrada hermitiana semidefinida positiva . ^{[ 5 ]} Si A es invertible, entonces P es definida positiva, por lo tanto también invertible, y la matriz U está determinada de forma única por $U=AP^{-1}.$

Relación con la SVD

En términos de la descomposición en valores singulares (SVD) de $A$ , $A=W\Sigma V^{*}$ , uno tiene ${\begin{aligned}P&=V\Sigma V^{*},\\U&=WV^{*},\end{aligned}}$ dónde $U$ , $V$ , y $W$ son matrices unitarias ( ortogonales si el campo es el de los números reales) $\mathbb {R}$ ). Esto confirma que $P$ es definida positiva y $U$ es unitario. Por lo tanto, la existencia de la SVD es equivalente a la existencia de la descomposición polar.

También se puede descomponer $A$ en la forma $A=P'U.$ Aquí $U$ es lo mismo que antes, y $P'$ es dado por $P'=UPU^{-1}=(AA^{*})^{1/2}=W\Sigma W^{*}.$ Esto se conoce como descomposición polar izquierda, mientras que la descomposición anterior se conoce como descomposición polar derecha. La descomposición polar izquierda también se conoce como descomposición polar inversa.

La descomposición polar de una matriz real cuadrada invertible $A$ es de la forma $A=[A]R,$ dónde $[A]\equiv \left(AA^{\mathsf {T}}\right)^{1/2}$ es una matriz definida positiva y $R=[A]^{-1}A$ es una matriz ortogonal.

Relación con matrices normales

La matriz $A$ con descomposición polar $A=UP$ es normal si y solo si $U$ y $P$ desplazarse ( $UP=PU$ ), o equivalentemente, son simultáneamente diagonalizables .

Construcción y pruebas de existencia

La idea central detrás de la construcción de la descomposición polar es similar a la utilizada para calcular la descomposición en valores singulares .

Derivación para matrices normales

Si $A$ Si es normal , entonces es unitariamente equivalente a una matriz diagonal: $A=V\Lambda V^{*}$ para alguna matriz unitaria $V$ y alguna matriz diagonal $\Lambda ~.$ Esto hace que la derivación de su descomposición polar sea particularmente sencilla, ya que podemos escribir: $A=V\Phi _{\Lambda }|\Lambda |V^{*}=\underbrace {\left(V\Phi _{\Lambda }V^{*}\right)} _{\equiv U}\underbrace {\left(V|\Lambda |V^{*}\right)} _{\equiv P},$

dónde $|\Lambda |$ es la matriz de valores diagonales absolutos, y $\Phi _{\Lambda }$ es una matriz diagonal que contiene las fases de los elementos de $\Lambda ,$ eso es, $(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|$ cuando $\Lambda _ {ii}\neq 0,$ , y $(\Phi _{\Lambda })_{ii}=1$ cuando $\Lambda _{ii}=0~.$

La descomposición polar es, por lo tanto, $A=UP,$ con $U$ y $P$ diagonal en la base propia de $A$ y teniendo autovalores iguales a las fases y valores absolutos de aquellos de $A,$ respectivamente.

Derivación para matrices invertibles

A partir de la descomposición en valores singulares , se puede demostrar que una matriz $A$ es invertible si y solo si $A^{*}A$ (equivalentemente, $AA^{*}$ ) lo es. Además, esto es cierto si y solo si los valores propios de $A^{*}A$ no todos son cero. ^{[ 6 ]}

En este caso, la descomposición polar se obtiene directamente escribiendo $A=A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}\left(A^{*}A\right)^{1/2},$ y observando que $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}$ es unitario. Para ver esto, podemos explotar la descomposición espectral de $A^{*}A$ escribir $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}=AVD^{-1/2}V^{*}$ .

En esta expresión, $V^{*}$ es unitario porque $V$ es. Para demostrar que también $AVD^{-1/2}$ es unitario, podemos usar SVD para escribir $A=WD^{1/2}V^{*}$ , de modo que $AVD^{-1/2}=WD^{1/2}V^{*}VD^{-1/2}=W,$ ¿Dónde de nuevo? $W$ es unitario por construcción.

Otra forma más de mostrar directamente la unitariedad de $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}$ es tener en cuenta que, al escribir la SVD de $A$ en términos de matrices de rango 1 como ${\textstyle A=\sum _ {k}s_ {k}v_ {k}w_ {k}^{*}}$ , dónde $s_{k}$ son los valores singulares de $A$ , tenemos $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}=\left(\sum _{j}\lambda _{j}v_{j}w_{j}^{*}\right)\left(\sum _{k}|\lambda _{k}|^{-1}w_{k}w_{k}^{*}\right)=\sum _{k}{\frac {\lambda _{k}}{|\lambda _{k}|}}v_{k}w_{k}^{*},$ lo cual implica directamente la unitariedad de $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}$ porque una matriz es unitaria si y solo si sus valores singulares tienen valor absoluto unitario.

Nótese cómo, a partir de la construcción anterior, se deduce que la matriz unitaria en la descomposición polar de una matriz invertible está definida de forma única .

Derivación general

La descomposición en valores singulares (SVD) de una matriz cuadrada $A$ lecturas $A=WD^{1/2}V^{*}$ , con $W,V$ matrices unitarias y $D$ una matriz diagonal semidefinida positiva. Simplemente insertando un par adicional de $W$ s o $V$ s, obtenemos las dos formas de la descomposición polar de $A$ : $A=WD^{1/2}V^{*}=\underbrace {\left(WD^{1/2}W^{*}\right)} _{P}\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}=\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}\underbrace {\left(VD^{1/2}V^{*}\right)} _{P'}.$ En términos más generales, si $A$ es algo rectangular $n\times m$ matriz, su SVD se puede escribir como $A=WD^{1/2}V^{*}$ ¿Dónde ahora? $W$ y $V$ son isometrías con dimensiones $n\times r$ y $m\times r$ , respectivamente, donde $r\equiv \operatorname {rank} (A)$ , y $D$ es nuevamente una matriz cuadrada semidefinida positiva diagonal con dimensiones $r\times r$ Ahora podemos aplicar el mismo razonamiento utilizado en la ecuación anterior para escribir $A=PU=UP'$ pero ahora $U\equiv WV^{*}$ no es en general unitario. No obstante, $U$ tiene el mismo soporte y alcance que $A$ y satisface $U^{*}U=VV^{*}$ y $UU^{*}=WW^{*}$ Esto hace que... $U$ en una isometría cuando su acción se restringe al soporte de $A$ , es decir, significa que $U$ es una isometría parcial .

Como ejemplo explícito de este caso más general, consideremos la descomposición en valores singulares (SVD) de la siguiente matriz: $A\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\2&-2\\0&0\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}} _{\equiv W}\underbrace {\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\0&{\sqrt {8}}\end{pmatrix}} _{\sqrt {D}}\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}} _{V^{\dagger }}.$ Entonces tenemos $WV^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&0\end{pmatrix}}$ que es una isometría, pero no unitaria. Por otro lado, si consideramos la descomposición de $A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$ encontramos $WV^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$ lo cual es una isometría parcial (pero no una isometría).

Operadores acotados en el espacio de Hilbert

La descomposición polar de cualquier operador lineal acotado A entre espacios de Hilbert complejos es una factorización canónica como producto de una isometría parcial y un operador no negativo.

La descomposición polar para matrices se generaliza de la siguiente manera: si A es un operador lineal acotado, entonces existe una factorización única de A como un producto A = UP donde U es una isometría parcial, P es un operador autoadjunto no negativo y el espacio inicial de U es la clausura del rango de P.

El operador U debe debilitarse a una isometría parcial, en lugar de unitaria, debido a los siguientes problemas. Si A es el desplazamiento unilateral en l ² ( N ), entonces | A | = { A ^* A } ^1/2 = I . Por lo tanto, si A = U | A |, U debe ser A , que no es unitaria.

La existencia de una descomposición polar es una consecuencia del lema de Douglas :

Lema : Si A y B son operadores acotados en un espacio de Hilbert H , y A ^* A ≤ B ^* B , entonces existe una contracción C tal que A = CB . Además, C es única si ker( B ^* ) ⊂ ker( C ).

El operador C se puede definir mediante C ( Bh ) := Ah para todo h en H , extendido por continuidad a la clausura de Ran ( B ), y por cero en el complemento ortogonal a todo H . El lema se deduce entonces ya que A ^* A ≤ B ^* B implica ker( B ) ⊂ ker( A ).

En particular. Si A ^* A = B ^* B , entonces C es una isometría parcial, que es única si ker( B ^* ) ⊂ ker( C ). En general, para cualquier operador acotado A , $A^{*}A=\left(A^{*}A\right)^{1/2}\left(A^{*}A\right)^{1/2},$ donde ( A ^* A ) ^1/2 es la única raíz cuadrada positiva de A ^* A dada por el cálculo funcional usual . Entonces, por el lema, tenemos $A=U\left(A^{*}A\right)^{1/2}$ para alguna isometría parcial U , que es única si ker( A ^* ) ⊂ ker( U ). Tomemos P como ( A ^* A ) ^1/2 y se obtiene la descomposición polar A = UP . Nótese que se puede usar un argumento análogo para demostrar A = P'U ' , donde P' es positivo y U ' una isometría parcial.

Cuando H es de dimensión finita, U puede extenderse a un operador unitario; esto no es cierto en general (véase el ejemplo anterior). Alternativamente, la descomposición polar puede mostrarse utilizando la versión de operador de la descomposición en valores singulares .

Por propiedad del cálculo funcional continuo , | A | pertenece al álgebra C* generada por A. Una afirmación similar, aunque más débil, se cumple para la isometría parcial: U pertenece al álgebra de von Neumann generada por A. Si A es invertible, la parte polar U también pertenecerá al álgebra C* .

Operadores ilimitados

Si A es un operador cerrado, densamente definido e ilimitado entre espacios de Hilbert complejos, entonces aún tiene una descomposición polar (única). $A=U|A|,$ donde | A | es un operador autoadjunto no negativo (posiblemente no acotado) con el mismo dominio que A , y U es una isometría parcial que se anula en el complemento ortogonal del rango ran(| A |).

La demostración utiliza el mismo lema que el anterior, que se aplica a operadores no acotados en general. Si dom( A ^*A ) = dom( B ^* B ), y A ^*Ah = B ^*Bh para todo h ∈ dom( A ^*A ), entonces existe una isometría parcial U tal que A = UB . U es única si ran( B ) ^⊥ ⊂ ker( U ). El hecho de que el operador A sea cerrado y esté densamente definido garantiza que el operador A ^*A sea autoadjunto (con dominio denso) y, por lo tanto, permite definir ( A ^*A ) ^1/2 . Aplicando el lema se obtiene la descomposición polar.

Si un operador no acotado A está afiliado a un álgebra de von Neumann M , y A = UP es su descomposición polar, entonces U está en M y también lo está la proyección espectral de P , 1 _B ( P ), para cualquier conjunto de Borel B en $[0, \infty)$ .

Descomposición polar de cuaterniones

La descomposición polar de los cuaterniones $\mathbb {H}$ con cuaterniones de base ortonormal $1,{\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}}$ depende de la unidad de esfera bidimensional ${\hat {r}}\in \{x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}\in \mathbb {H} \setminus \mathbb {R} :x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$ de raíces cuadradas de menos uno , conocidas como versores derechos . Dado cualquier ${\hat {r}}$ en esta esfera y un ángulo $- π < a \leq π$ , el versor $e^{a{\hat {r}}}=\cos a+{\hat {r}}\sin a$ está en la unidad 3-esfera de $\mathbb {H} .$ Para $a = 0$ y $a = π$ , el versor es 1 o −1, independientemente de qué $r$ se seleccione. La norma $t$ de un cuaternión $q$ es la distancia euclidiana desde el origen hasta $q$ . Cuando un cuaternión no es simplemente un número real, entonces existe una descomposición polar única : $q=t\exp(a{\hat {r}}).$ Aquí $r$ , $a$ , $t$ están todos determinados de forma única, de modo que $r$ $es$ $un$ versor derecho ( $r2 = -1$ ), $a$ satisface $0 < a < π$ y t $> 0$ .

Descomposiciones planares alternativas

En el plano cartesiano , surgen descomposiciones alternativas de anillos planares como sigue:

Si $x \neq 0$ , $z = x (1 + ε(y / x))$ es una descomposición polar de un número dual $z = x + yε$ , donde $ε 2 = 0$ ; es decir, ε es nilpotente . En esta descomposición polar, el círculo unitario ha sido reemplazado por la línea $x = 1$ , el ángulo polar por la pendiente y / x , y el radio x es negativo en el semiplano izquierdo.
Si $x² \neq y²,$ entonces la hipérbola unitaria $x² - y²$ $=$ $1$ y su conjugada $x² - y² = -1$ pueden usarse para formar una descomposición polar basada en la rama de la hipérbola unitaria que pasa por $($ $1$ $, 0) . Esta rama$ $está$ parametrizada por el ángulo hiperbólico a y se escribe $\cosh a+j\sinh a=\exp(aj)=e^{aj},$ donde $j 2 = +1$ , y se utiliza la aritmética ^{[ 7 ]} de números complejos divididos . La rama que pasa por $(-1, 0)$ es trazada por − e ^aj . Dado que la operación de multiplicar por j refleja un punto a través de la línea $y = x$ , la hipérbola conjugada tiene ramas trazadas por je ^aj o − je ^aj . Por lo tanto, un punto en uno de los cuadrantes tiene una descomposición polar en una de las formas: $re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\quad r>0.$ El conjunto ${1, -1, j, - j}$ tiene productos que lo hacen isomorfo al grupo de Klein de cuatro elementos . Evidentemente, la descomposición polar en este caso involucra un elemento de ese grupo.

La descomposición polar de un elemento del álgebra M(2, R) de matrices reales de 2 × 2 utiliza estas descomposiciones planares alternativas ya que cualquier subálgebra planar es isomorfa a números duales, números complejos divididos o números complejos ordinarios.

Determinación numérica de la descomposición polar de la matriz

Para calcular una aproximación de la descomposición polar A = UP , normalmente se aproxima el factor unitario U. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} La iteración se basa en el método de Herón para la raíz cuadrada de 1 y calcula, comenzando desde $U_{0}=A$ , la secuencia $U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$

Se elige la combinación de inversión y conjugación de Hermite de manera que, en la descomposición en valores singulares, los factores unitarios permanezcan iguales y la iteración se reduzca al método de Herón sobre los valores singulares.

Esta iteración básica puede perfeccionarse para acelerar el proceso:

Cada paso o a intervalos regulares, el rango de los valores singulares de $U_{k}$ se estima y luego la matriz se reescala a $\gamma _{k}U_{k}$ para centrar los valores singulares alrededor de 1. El factor de escala $\gamma _{k}$ se calcula utilizando las normas matriciales de la matriz y su inversa. Ejemplos de tales estimaciones de escala son: $\gamma _{k}={\sqrt[{4}]{\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{1}\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{\infty }}{\left\|U_{k}\right\|_{1}\left\|U_{k}\right\|_{\infty }}}}$ utilizando las normas de la matriz de suma de filas y suma de columnas o $\gamma _{k}={\sqrt {\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{F}}{\left\|U_{k}\right\|_{F}}}}$ utilizando la norma de Frobenius . Incluyendo el factor de escala, la iteración es ahora $U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(\gamma _{k}U_{k}+{\frac {1}{\gamma _{k}}}\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$
La descomposición QR se puede utilizar en un paso de preparación para reducir una matriz singular A a una matriz regular más pequeña, y dentro de cada paso para acelerar el cálculo de la inversa.
Método de Herón para calcular raíces de $x^{2}-1=0$ puede ser reemplazado por métodos de orden superior, por ejemplo basados en el método de Halley de tercer orden, lo que resulta en $U_{k+1}=U_{k}\left(I+3U_{k}^{*}U_{k}\right)^{-1}\left(3I+U_{k}^{*}U_{k}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$ Esta iteración se puede combinar nuevamente con el reescalado.

Véase también

Referencias

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[6] Nótese cómo esto implica, por la positividad de $A^{*}A$ que los valores propios sean todos reales y estrictamente positivos.

[7] Sobczyk, G. (1995) "Plano numérico hiperbólico", College Mathematics Journal 26:268–280.

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