Teorema de densidad de Lebesgue

En matemáticas , el teorema de densidad de Lebesgue establece que para cualquier conjunto medible de Lebesgue , la "densidad" de es 0 o 1 en casi todos los puntos de . Además, la "densidad" de es 1 en casi todos los puntos de . Intuitivamente, esto significa que la frontera de , el conjunto de puntos en para los cuales todos los vecindarios están parcialmente dentro y parcialmente fuera de , tiene medida cero . ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Sea la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano y un conjunto medible de Lebesgue. Sea y sea _ε la bola abierta de radio centrada en . Definimos ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \qquad \qquad d_{\varepsilon }(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}}$

El teorema de densidad de Lebesgue afirma que para casi todos los puntos de la densidad${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)}$

existe y es igual a 0 o 1.

Para cada conjunto medible , la densidad de es 0 o 1 en casi todas partes ^{[ 1 ]} . Si , entonces siempre hay puntos de donde la densidad no existe o existe pero no es ni 0 ni 1. ^{[ 2 ]} . ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0<\mu (A)<\infty }$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

Por ejemplo, dado un cuadrado en el plano, la densidad en cada punto dentro del cuadrado es 1, en los bordes es 1/2 y en las esquinas es 1/4. El conjunto de puntos en el plano donde la densidad no es ni 0 ni 1 no está vacío (el límite del cuadrado), pero su medida es cero.

El teorema de densidad de Lebesgue es un caso particular del teorema de diferenciación de Lebesgue .

Por lo tanto, este teorema también es cierto para toda medida de Borel finita en lugar de la medida de Lebesgue, como se demuestra en las secciones 2.8–2.9 de la Teoría de la medida geométrica de Federer , 1969. ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• Teorema de diferenciación de Lebesgue  – Teorema matemático en análisis real

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