Derivada (cálculo multivariable)

En matemáticas , la derivada de una función en un punto es la parte lineal de la mejor aproximación afín a la función cerca de dicho punto. En cálculo de una variable, esta es la aproximación de la recta tangente . En cálculo multivariable, esta misma propiedad se generaliza para definir la derivada de una función vectorial o de una función de un argumento vectorial. A veces llamada derivada total , a diferencia de las derivadas parciales , la derivada aproxima la función con respecto a todos sus argumentos, no solo a uno. ^{[ 1 ]} En muchas situaciones, esto equivale a considerar todas las derivadas parciales simultáneamente.

En el análisis funcional , particularmente en dimensiones infinitas, la derivada en este sentido se denomina derivada de Fréchet . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Dejar${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$sea ​​un subconjunto abierto . Entonces una función${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$Se dice que es diferenciable en un punto.${\displaystyle a\in U}$si existe una transformación lineal${\displaystyle Df_{a}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$de tal manera que ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)-Df_{a}(xa)}{\|xa\|}}=0}$

dónde${\displaystyle \|\ldots \|}$denota la norma de${\displaystyle \ldots }$El mapa lineal${\displaystyle Df_{a}}$se llama derivada o diferencial de${\displaystyle f}$en${\displaystyle a}$. ^{[ 4 ] [ 6 ]} Aquí${\displaystyle Df_{a}(xa)}$se refiere a la aplicación de la transformación lineal${\displaystyle Df_{a}}$al vector${\displaystyle (xa)}$; en coordenadas, esto es un producto matriz-vector. Otras notaciones para la derivada incluyen${\displaystyle D_{a}f}$y${\displaystyle Df(a)}$Una función es diferenciable si su derivada existe en cada punto de su dominio.

Conceptualmente, la definición de la derivada expresa la idea de que${\displaystyle Df_{a}}$es la mejor aproximación lineal a${\displaystyle f(a+h)-f(a)}$para pequeños${\displaystyle h}$Esto se puede precisar cuantificando el error en la aproximación lineal.${\displaystyle Df_{a}}$Para ello, escribe

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+Df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

dónde${\displaystyle \varepsilon (h)}$es igual al error en la aproximación. Decir que la derivada de${\displaystyle f}$en${\displaystyle a}$es${\displaystyle Df_{a}}$es equivalente a la afirmación

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(h),}$

dónde${\displaystyle o}$es la notación de o minúscula y significa que${\displaystyle \varepsilon (h)/\|h\|}$tiende a cero como${\displaystyle h\to 0}$. El derivado${\displaystyle Df_{a}}$es la única transformación lineal para la cual el término de error es tan pequeño, y este es el sentido en el que es la mejor aproximación lineal a${\displaystyle f(a+h)-f(a)}$.

Diferenciabilidad

La función${\displaystyle f}$es diferenciable si y solo si cada uno de sus componentes${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }$es diferenciable, por lo que al estudiar derivadas, a menudo es posible trabajar con una coordenada a la vez en el codominio. Sin embargo, lo mismo no es cierto para las coordenadas en el dominio. Es cierto que si${\displaystyle f}$es diferenciable en${\displaystyle a}$, luego cada derivada parcial${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$existe en${\displaystyle a}$. ^{[ 7 ]}

Lo contrario no es cierto: puede suceder que todas las derivadas parciales de${\displaystyle f}$en${\displaystyle a}$existen, pero${\displaystyle f}$no es diferenciable en${\displaystyle a}$. ^{[ 8 ]} Un ejemplo es la siguiente función, que es continua y tiene ambas derivadas parciales cero en el origen, pero no es diferenciable allí: $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}.}$$ (En coordenadas polares, esta función es${\displaystyle f=r\cos \theta \sin \theta }$.)

Incluso la existencia y linealidad de todas las derivadas direccionales en un punto no es suficiente para la diferenciabilidad; el requisito adicional esencial es que la aproximación lineal se mantenga uniformemente a medida que el incremento tiende a cero desde todas las direcciones. Un ejemplo es $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$$ cuyas derivadas direccionales son todas 0 en (0,0), pero que no es diferenciable allí.

Sin embargo, si todas las derivadas parciales de${\displaystyle f}$en${\displaystyle a}$existen en un vecindario de${\displaystyle a}$y son continuos en${\displaystyle a}$, entonces${\displaystyle f}$es diferenciable en${\displaystyle a}$. ^{[ 9 ]} Si${\displaystyle f}$es diferenciable en un punto, entonces la derivada de${\displaystyle f}$es la transformación lineal correspondiente a la matriz jacobiana de derivadas parciales en el punto. ^{[ 10 ]}

En algunos textos de cálculo avanzado, la derivada también se denomina diferencial . ^{[ 1 ] [ 6 ]} Sin embargo, este término tiene varios significados diferentes, pero estrechamente relacionados, en matemáticas y ciencias.

Cuando una función diferenciable${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$es de valor escalar, la derivada de${\displaystyle f}$en${\displaystyle a}$puede escribirse como la matriz jacobiana, que en este caso es una matriz fila (una matriz que consta de elementos en una sola fila, es decir, un vector fila ):

${\displaystyle Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}$

La propiedad de aproximación lineal de la derivada implica que si

${\displaystyle \Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

es un vector pequeño (donde el${\displaystyle {\mathsf {T}}}$denota transposición, de modo que este vector es un vector columna ), entonces

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\,\Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\,\Delta x_{i}.}$

Heurísticamente, esto sugiere que si${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$son incrementos infinitesimales en las direcciones de las coordenadas, entonces

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\,dx_{i}}$

y este es el diferencial de${\textstyle f}$en${\textstyle a}$. ^{[ 11 ] [ 12 ]} De hecho, la noción de lo infinitesimal, que aquí es meramente simbólica, puede equiparse con una extensa estructura matemática. Técnicas como la teoría de las formas diferenciales proporcionan de forma efectiva descripciones analíticas y algebraicas de objetos como los incrementos infinitesimales,${\displaystyle dx_{i}}$. Por ejemplo,${\displaystyle dx_{i}}$puede inscribirse como un funcional lineal en el espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Evaluando${\displaystyle dx_{i}}$en un vector${\displaystyle h}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$mide cuánto${\displaystyle h}$puntos en el${\displaystyle i}$-ésima dirección de la coordenada. El diferencial${\displaystyle df_{a}}$es una combinación lineal de funcionales lineales y, por lo tanto, es en sí mismo un funcional lineal. La evaluación${\displaystyle df_{a}(h)}$es la derivada direccional de${\displaystyle f}$a lo largo de${\displaystyle h}$. Este punto de vista convierte a la derivada en un caso de derivada exterior . ^{[ 13 ]}

Al ser una forma lineal, el diferencial es naturalmente un covector . En un espacio euclidiano, un covector es naturalmente dual a un vector (su transpuesta ). Este vector se llama gradiente de${\displaystyle f}$y apunta en la dirección en la que${\displaystyle f}$aumenta más rápidamente.

Supongamos ahora que${\displaystyle f}$es una función vectorial , es decir,${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$En este caso, los componentes${\displaystyle f_{i}}$de${\displaystyle f}$son funciones de valor real, por lo que tienen formas diferenciales asociadas.${\displaystyle df_{i}}$El diferencial${\displaystyle df}$amalgama estas formas en un solo objeto y, por lo tanto, es una instancia de una forma diferencial con valores vectoriales .

Si${\displaystyle f\colon M\to N}$es una aplicación entre variedades diferenciables , la diferenciabilidad puede formularse mediante la diferenciabilidad en cualquier carta de coordenadas . Invariantemente, el diferencial de${\displaystyle f}$en un punto${\displaystyle p\in M}$es un mapa lineal${\displaystyle df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$del espacio tangente de${\displaystyle M}$en${\displaystyle p}$a la de${\displaystyle N}$en${\displaystyle f(p)}$. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Esto también se conoce como avance . Esto está estrechamente relacionado con la derivada como una aproximación lineal, ya que la evaluación${\displaystyle df_{p}}$sobre un vector tangente da la derivada direccional de${\displaystyle f}$en esa dirección. Sin embargo, el diferencial no es exactamente lo mismo que la derivada de una función entre espacios vectoriales:${\displaystyle f}$es una aplicación de variedades y no de espacios vectoriales${\displaystyle T_{p}M}$y${\displaystyle T_{f(p)}N}$donde reside la aproximación lineal.

En aplicaciones como la termodinámica, el lenguaje de los diferenciales suele tener un papel conceptual adicional. Expresiones como${\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV}$Describen diferenciales de funciones de estado y plantean interrogantes sobre la exactitud , las variables naturales y las relaciones entre derivadas parciales. Este uso está relacionado con la derivada de una función multivariable, pero no es simplemente otro nombre para la aplicación lineal.${\displaystyle Df_{a}}$asociado a una función ordinaria. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

El término derivada total también se utiliza de más de una manera. En algunos textos matemáticos, denota la derivada completa.${\displaystyle Df_{a}}$, a diferencia de cualquier derivada parcial. En ese sentido, la derivada total es la transformación lineal que da cuenta de la variación en todas las direcciones de coordenadas simultáneamente.

Sin embargo, en muchos contextos aplicados, "derivada total" se refiere en cambio a la derivada de una dependencia compuesta. Por ejemplo, si

${\displaystyle z=f(x,y),\qquad x=x(t),\quad y=y(t),}$

entonces la derivada total de${\displaystyle z}$con respecto a${\displaystyle t}$es

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}.}$

Esta es la derivada ordinaria de la función compuesta.${\displaystyle f(x(t),y(t))}$, calculado mediante la regla de la cadena. Equivalentemente, se obtiene aplicando la derivada de${\displaystyle f}$al vector de velocidad de la trayectoria${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}$:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(x(t),y(t))=Df_{(x(t),y(t))}(x'(t),y'(t)).}$

Este sentido de "derivada total" basado en la regla de la cadena es común en física, ingeniería, economía y otros campos aplicados. En mecánica, por ejemplo, la derivada temporal total de una función${\displaystyle F(q,p,t)}$a lo largo de una trayectoria incluye tanto la dependencia explícita de${\displaystyle t}$y dependencia implícita a través de las variables dependientes del tiempo${\displaystyle q(t)}$y${\displaystyle p(t)}$En mecánica de fluidos, la terminología relacionada aparece en la derivada material , que diferencia una magnitud a lo largo del movimiento de una porción de fluido. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Otro ejemplo se encuentra en la mecánica clásica , donde la derivada total de una función que depende de parámetros del espacio de fases y del tiempo es su derivada parcial en el tiempo más su corchete de Poisson con el hamiltoniano.${\displaystyle H}$: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}}$$ Al igual que la derivada material, la derivada total en mecánica tiene la propiedad de que es la derivada del compuesto cuando se la arrastra de vuelta a cualquier trayectoria hamiltoniana, pero aún se trata como una función de todas las coordenadas del espacio de fases y del tiempo.

En estática comparativa , las derivadas totales suelen describir cómo cambian las variables endógenas con respecto a las variables exógenas en un sistema de ecuaciones definido implícitamente. ^{[ 21 ]} Las variables endógenas generalmente no son funciones explícitas de las variables exógenas, salvo a través del teorema de la función implícita , y la derivada total se maneja de forma implícita.

Por lo tanto, aunque "derivada total" puede significar la derivada${\displaystyle Df_{a}}$En el sentido anterior, el término también se refiere comúnmente a una derivada a lo largo de una dependencia o proceso específico. Esta ambigüedad es una de las razones para distinguir entre la derivada como una función lineal y las diversas notaciones diferenciales o de derivada total utilizadas en las aplicaciones.

Una forma de la regla de la cadena generaliza a partir del cálculo de una variable. Dice que, para dos funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$, la derivada de la función compuesta${\displaystyle f\circ g}$en${\displaystyle a}$Satisface

${\displaystyle D(f\circ g)_{a}=Df_{g(a)}\circ Dg_{a}}$

donde el compuesto del lado derecho es la composición de mapas lineales. Si las derivadas de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$Si se identifican con sus matrices jacobianas, entonces la composición del lado derecho es simplemente una multiplicación de matrices.

Una ecuación diferencial total es una ecuación diferencial expresada en términos de derivadas totales. Dado que la derivada exterior es independiente de las coordenadas, en un sentido que puede tener un significado técnico, dichas ecuaciones son intrínsecas y geométricas .

En economía , es común que la derivada total surja en el contexto de un sistema de ecuaciones. ^{[ 22 ] : pp. 217–220} Por ejemplo, un sistema simple de oferta y demanda podría especificar la cantidad q de un producto demandado como una función D de su precio p y el ingreso de los consumidores I , siendo este último una variable exógena , y podría especificar la cantidad ofrecida por los productores como una función S de su precio y dos variables exógenas de costo de recursos r y w . El sistema de ecuaciones resultante

${\displaystyle q=D(p,I),}$

${\displaystyle q=S(p,r,w),}$

Determina los valores de equilibrio de mercado de las variables p y q . La derivada total${\displaystyle dp/dr}$de p con respecto a r , por ejemplo, da el signo y la magnitud de la reacción del precio de mercado a la variable exógena r . En el sistema indicado, hay un total de seis derivadas totales posibles, también conocidas en este contexto como derivadas estáticas comparativas : dp / dr , dp / dw , dp / dI , dq / dr , dq / dw y dq / dI . Las derivadas totales se encuentran diferenciando totalmente el sistema de ecuaciones, dividiendo por, digamos dr , tratando dq / dr y dp / dr como incógnitas, estableciendo dI = dw = 0 , y resolviendo las dos ecuaciones totalmente diferenciadas simultáneamente, típicamente usando la regla de Cramer .

• Derivada direccional : tasa de cambio instantánea de la función. 
• Derivada de Fréchet – Derivada definida en espacios normados - generalización de la derivada total 
• Derivada funcional : concepto en cálculo de variaciones 
• Derivada de Gateaux : generalización del concepto de derivada direccional. 
• Generalizaciones de la derivada – Construcción fundamental del cálculo diferencial 
• Gradiente#Derivada total – Derivada multivariada (matemáticas) 

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