Álgebra de Lie resoluble

En matemáticas , un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es resoluble si su serie derivada termina en la subálgebra cero. El álgebra de Lie derivada del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es la subálgebra de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, denotado

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

que consiste en todas las combinaciones lineales de corchetes de Lie de pares de elementos de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$La serie derivada es la secuencia de subálgebras .

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq ...}$

Si la serie derivada finalmente llega a la subálgebra cero, entonces el álgebra de Lie se llama resoluble. ^{[ 1 ]} La serie derivada para álgebras de Lie es análoga a la serie derivada para subgrupos conmutadores en teoría de grupos , y las álgebras de Lie resolubles son análogas a los grupos resolubles .

Cualquier álgebra de Lie nilpotente es, por consiguiente, resoluble, pero lo contrario no es cierto. Las álgebras de Lie resolubles y las álgebras de Lie semisimples forman dos clases amplias y generalmente complementarias, como lo demuestra la descomposición de Levi . Las álgebras de Lie resolubles son precisamente aquellas que se pueden obtener a partir de productos semidirectos , partiendo de 0 y añadiendo una dimensión a la vez. ^{[ 2 ]}

Una subálgebra resoluble máxima se llama subálgebra de Borel . El ideal resoluble más grande de un álgebra de Lie se llama radical .

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Sea un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0. Las siguientes son equivalentes.

• (i)${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es solucionable.
• (ii)${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$, la representación adjunta de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, es solucionable.
• (iii) Existe una secuencia finita de ideales${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$:

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$

• (iv)${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$es nilpotente. ^{[ 3 ]}
• (v) Para${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle n}$-dimensional, existe una secuencia finita de subálgebras${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$:

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$

con cada${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$un ideal en${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$. ^{[ 4 ]} Una secuencia de este tipo se llama secuencia elemental .

• (vi) Existe una secuencia finita de subálgebras${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$,

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$

de tal manera que${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$es un ideal en${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$y${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$es abeliano. ^{[ 5 ]}

• (vii) La forma de matar${\displaystyle B}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Satisface${\displaystyle B(X,Y)=0}$para todo X en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y Y en${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$. ^{[ 6 ]} Este es el criterio de Cartan para la resolubilidad .

El teorema de Lie establece que si${\displaystyle V}$es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero , y${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie resoluble, y si${\displaystyle \pi }$es una representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$encima${\displaystyle V}$, entonces existe un vector propio simultáneo${\displaystyle v\in V}$de los endomorfismos${\displaystyle \pi (X)}$para todos los elementos${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 7 ]}

• Toda subálgebra de Lie y cociente de un álgebra de Lie resoluble son resolubles. ^{[ 8 ]}
• Dado un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y un ideal${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$en él,

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es resoluble si y solo si ambos${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$son resolubles. ^{[ 8 ] [ 2 ]}

La afirmación análoga es cierta para las álgebras de Lie nilpotentes siempre que${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$está contenido en el centro. Por lo tanto, una extensión de un álgebra resoluble por un álgebra resoluble es resoluble, mientras que una extensión central de un álgebra nilpotente por un álgebra nilpotente es nilpotente.

• Un álgebra de Lie no nula resoluble tiene un ideal abeliano no nulo, el último término no nulo de la serie derivada. ^{[ 2 ]}
• Si${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$Si son ideales resolubles, entonces también lo es.${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$. ^{[ 1 ]} En consecuencia, si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Si es de dimensión finita, entonces existe un único ideal resoluble.${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$que contiene todos los ideales resolubles en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Este ideal es el radical de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 2 ]}
• Un álgebra de Lie resoluble${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$tiene un ideal nilpotente único y más grande${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$, llamado el nilradical , el conjunto de todos${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$de tal manera que${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$es nilpotente. Si D es cualquier derivación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, entonces${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$. ^{[ 9 ]}

Un álgebra de mentiras${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Se denomina completamente soluble o soluble por partes si tiene una secuencia elemental de ideales en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de${\displaystyle 0}$a${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es completamente soluble, y un álgebra de Lie completamente soluble es soluble. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, un álgebra de Lie soluble es completamente soluble, pero la${\displaystyle 3}$El álgebra de Lie real de dimensión -del grupo de isometrías euclidianas del plano es resoluble pero no completamente resoluble.

Un álgebra de Lie resoluble${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es resoluble por división si y solo si los valores propios de${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$están en${\displaystyle k}$a pesar de${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 2 ]}

Debido a que el término "resoluble" también se usa para grupos resolubles en teoría de grupos , existen varias definiciones posibles de grupo de Lie resoluble . Para un grupo de Lie${\displaystyle G}$, hay

• terminación de la serie derivada usual del grupo${\displaystyle G}$(como grupo abstracto);
• terminación de los cierres de las series derivadas;
• tener un álgebra de Lie resoluble

• El criterio de Cartan
• Forma asesina
• Teorema de Lie-Kolchin
• Solvmanifold
• Mapeo de Dixmier

• Fulton, W.; Harris , J. (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  129. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. MR 1153249 . 
• Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  9. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Knapp, AW (2002). Grupos de Lie más allá de una introducción . Progress in Mathematics. Vol.  120 (2.ª  ed.). Boston·Basel·Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..
• Serre, Jean-Pierre (2001). Álgebras de mentira complejas semisimples . Berlín: Springer. ISBN 3-5406-7827-1.

• Artículo de EoM Álgebra de Lie, resoluble
• Artículo de fin de mes, grupo de Lie, resoluble