Solvmanifold

En matemáticas , una solvmanifold es un espacio homogéneo de un grupo de Lie resoluble conexo . También puede caracterizarse como el cociente de un grupo de Lie resoluble conexo por un subgrupo cerrado . (Algunos autores también exigen que el grupo de Lie sea simplemente conexo o que el cociente sea compacto). Anatoly Maltsev introdujo una clase especial de solvmanifolds, las nilmanifolds , y demostró los primeros teoremas estructurales. Las propiedades de las solvmanifolds generales son similares, pero algo más complejas.

• Un grupo de Lie resoluble es trivialmente una variedad resoluble.
• Todo grupo nilpotente es resoluble; por lo tanto, toda variedad nilpotente es una variedad resoluble. Esta clase de ejemplos incluye toros n -dimensionales y el cociente del grupo de Heisenberg real tridimensional por su subgrupo de Heisenberg integral.
• La banda de Möbius y la botella de Klein son variedades de solv que no son variedades de nil.
• El toro de mapeo de un difeomorfismo de Anosov del n -toro es una variedad soluble. Para${\displaystyle n=2}$Estas variedades pertenecen a Sol , una de las ocho geometrías de Thurston .

• Una variedad solv es difeomorfa al espacio total de un fibrado vectorial sobre alguna variedad solv compacta. Esta afirmación fue conjeturada por George Mostow y demostrada por Louis Auslander y Richard Tolimieri.
• El grupo fundamental de una variedad de solución arbitraria es policíclico .
• Una variedad soluble compacta está determinada, salvo difeomorfismo, por su grupo fundamental.
• Los grupos fundamentales de las variedades de solución compactas pueden caracterizarse como extensiones de grupos de grupos abelianos libres de rango finito mediante grupos nilpotentes libres de torsión generados finitamente.
• Toda variedad soluble es asférica . Entre todos los espacios homogéneos compactos, las variedades solubles se caracterizan por ser asféricas y tener un grupo fundamental soluble.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ser un álgebra de Lie real . Se llama álgebra de Lie completa si cada mapa

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},X\in {\mathfrak {g}}}$

en su representación adjunta es hiperbólica, es decir, tiene solo valores propios reales . Sea G un grupo de Lie resoluble cuyo álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$está completo. Luego, para cualquier subgrupo cerrado${\displaystyle \Gamma }$de G , la variedad de solv${\displaystyle G/\Gamma }$es una variedad de solución completa .