Teorema de Desargues

En geometría proyectiva , el teorema de Desargues , que lleva el nombre de Girard Desargues , establece:

Dos triángulos están en perspectiva axial si y solo si están en perspectiva central .

Dos triángulos están en perspectiva axial si , al extender sus lados correspondientes , convergen en puntos de una línea denominada eje de perspectiva . Dos triángulos están en perspectiva central si las líneas que pasan por sus vértices correspondientes convergen en un punto denominado centro de perspectiva . El teorema de Desargues establece que la veracidad de la primera condición es necesaria y suficiente para la veracidad de la segunda.

Este teorema de intersección es válido en el plano euclidiano usual , pero se debe tener especial cuidado en casos excepcionales, como cuando un par de lados son paralelos, de modo que su "punto de intersección" se aleja hasta el infinito. Comúnmente, para eliminar estas excepciones, los matemáticos "completan" el plano euclidiano añadiendo puntos en el infinito, siguiendo a Jean-Victor Poncelet . Esto da como resultado un plano proyectivo .

El teorema de Desargues es válido para el plano proyectivo real y para cualquier espacio proyectivo definido aritméticamente a partir de un cuerpo o anillo de división ; esto incluye cualquier espacio proyectivo de dimensión mayor que dos o en el que se cumpla el teorema de Pappus . Sin embargo, existen muchos " planos no desarguesianos ", en los que el teorema de Desargues es falso.

Denotemos los tres vértices de un triángulo por a , b y c , y los del otro triángulo por A , B y C. Conectemos los vértices de triángulos separados mediante líneas. Entonces, las líneas ab y AB se intersecan en un primer punto, las líneas ac y AC en un segundo punto, y las líneas bc y BC en un tercer punto. La perspectividad axial significa que estos tres puntos se encuentran sobre una línea común llamada eje de perspectividad . La perspectividad central significa que las tres líneas Aa , Bb y Cc son concurrentes en un punto llamado centro de perspectividad .

Desargues nunca publicó este teorema, pero apareció en un apéndice titulado Método universal de M. Desargues para el uso de la perspectiva ( Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective ) de un libro práctico sobre el uso de la perspectiva publicado en 1648 ^{[ 1 ]} por su amigo y alumno Abraham Bosse (1602–1676). ^{[ 2 ]}

La importancia del teorema de Desargues en la geometría proyectiva abstracta se debe especialmente al hecho de que un espacio proyectivo satisface ese teorema si y solo si es isomorfo a un espacio proyectivo definido sobre un cuerpo o anillo de división.

En un espacio afín como el plano euclidiano, una afirmación similar es cierta, pero solo si se consideran varias excepciones relacionadas con líneas paralelas. Por lo tanto, el teorema de Desargues es uno de los teoremas geométricos más sencillos, cuyo ámbito natural se encuentra en el espacio proyectivo, más que en el afín.

Por definición, dos triángulos son en perspectiva si y solo si están en perspectiva central (o, equivalentemente según este teorema, en perspectiva axial). Nótese que los triángulos en perspectiva no tienen por qué ser semejantes .

Bajo la dualidad estándar de la geometría proyectiva plana (donde los puntos corresponden a líneas y la colinealidad de los puntos corresponde a la concurrencia de las líneas), el enunciado del teorema de Desargues es autodual: la perspectividad axial se traduce en perspectividad central y viceversa. La configuración de Desargues (abajo) es una configuración autodual. ^{[ 3 ]}

Esta dualidad en el enunciado se debe a la forma habitual de escribir el teorema en la actualidad. Históricamente, el teorema simplemente decía: «En un espacio proyectivo, un par de triángulos con perspectiva central son con perspectiva axial», y el dual de este enunciado se denominaba el recíproco del teorema de Desargues y siempre se hacía referencia a él con ese nombre. ^{[ 4 ]}

El teorema de Desargues es válido para espacios proyectivos de cualquier dimensión sobre cualquier cuerpo o anillo de división, y también para espacios proyectivos abstractos de dimensión al menos 3. En dimensión 2, los planos para los que se cumple se denominan planos desarguesianos y coinciden con los planos a los que se les pueden asignar coordenadas sobre un anillo de división. Existen además muchos planos no desarguesianos para los que el teorema de Desargues no se cumple.

El teorema del hexágono de Pappus establece que, si se dibuja un hexágono AbCaBc de tal manera que los vértices a , b y c se encuentran sobre una línea y los vértices A , B y C se encuentran sobre una segunda línea, entonces cada par de lados opuestos del hexágono se encuentran sobre dos líneas que se intersecan en un punto, y los tres puntos construidos de esta manera son colineales. Un plano en el que el teorema de Pappus es universalmente cierto se denomina pappiano . Hessenberg (1905) ^{[ 7 ]} demostró que el teorema de Desargues puede deducirse a partir de tres aplicaciones del teorema de Pappus. ^{[ 8 ]}

Lo contrario de este resultado no es cierto, es decir, no todos los planos desarguesianos son papianos. Satisfacer el teorema de Pappus universalmente equivale a que el sistema de coordenadas subyacente sea conmutativo . Por lo tanto, un plano definido sobre un anillo de división no conmutativo (un anillo de división que no es un cuerpo) sería desarguesiano pero no papiano. Sin embargo, debido al pequeño teorema de Wedderburn , que establece que todos los anillos de división finitos son cuerpos, todos los planos desarguesianos finitos son papianos. No se conoce ninguna demostración completamente geométrica de este hecho, aunque Bamberg y Penttila (2015) ofrecen una demostración que utiliza solo hechos algebraicos "elementales" (en lugar de toda la fuerza del pequeño teorema de Wedderburn).

Las diez líneas involucradas en el teorema de Desargues (seis lados de triángulos, las tres líneas Aa , Bb y Cc , y el eje de perspectividad) y los diez puntos involucrados (los seis vértices, los tres puntos de intersección en el eje de perspectividad y el centro de perspectividad) están dispuestos de tal manera que cada una de las diez líneas pasa por tres de los diez puntos, y cada uno de los diez puntos se encuentra sobre tres de las diez líneas. Esos diez puntos y diez líneas conforman la configuración de Desargues , un ejemplo de configuración proyectiva . Si bien el teorema de Desargues asigna diferentes roles a estas diez líneas y puntos, la configuración de Desargues en sí misma es más simétrica : cualquiera de los diez puntos puede ser elegido como centro de perspectividad, y esa elección determina qué seis puntos serán los vértices de los triángulos y qué línea será el eje de perspectividad.

Esta versión restringida establece que si dos triángulos se ven en perspectiva desde un punto en una línea dada, y dos pares de lados correspondientes también se intersecan en dicha línea, entonces el tercer par de lados correspondientes también se intersecan en la línea. Por lo tanto, se trata de una especialización del teorema de Desargues, que se limita a los casos en los que el centro de la perspectiva se encuentra sobre el eje de la perspectiva.

Un plano de Moufang es un plano proyectivo en el que el pequeño teorema de Desargues es válido para cada línea.

• Teorema de Pascal

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