Paquete de líneas

En matemáticas , un fibrado de líneas expresa el concepto de una línea que varía de un punto a otro en un espacio. Por ejemplo, una curva en el plano que tiene una línea tangente en cada punto determina una línea variable: el fibrado de tangentes es una forma de organizar estas líneas. De manera más formal, en topología algebraica y topología diferencial , un fibrado de líneas se define como un fibrado vectorial de rango 1. ^{[ 1 ]}

Los haces de líneas se especifican eligiendo un espacio vectorial unidimensional para cada punto del espacio de forma continua. En aplicaciones topológicas, este espacio vectorial suele ser real o complejo. Los dos casos presentan un comportamiento fundamentalmente diferente debido a las distintas propiedades topológicas de los espacios vectoriales reales y complejos: si se elimina el origen de la recta real, el resultado es un conjunto de matrices reales invertibles de 1×1 , que es homotópicamente equivalente a un espacio discreto de dos puntos al contraer los números reales positivos y negativos a un punto cada uno; mientras que al eliminar el origen del plano complejo se obtienen matrices complejas invertibles de 1×1, que tienen el tipo homotópico de un círculo.

Desde la perspectiva de la teoría de la homotopía , un fibrado de líneas reales se comporta de manera muy similar a un fibrado con una fibra de dos puntos, es decir, como un recubrimiento doble . Un caso especial de esto es el recubrimiento doble orientable de una variedad diferenciable , donde el fibrado de líneas correspondiente es el fibrado determinante del fibrado tangente (véase más adelante). La cinta de Möbius corresponde a un recubrimiento doble del círculo (la aplicación θ → 2θ) y, cambiando la fibra, también puede considerarse que tiene una fibra de dos puntos, el intervalo unitario como fibra o la recta real.

Los haces de líneas complejos están estrechamente relacionados con los haces de círculos . Existen algunos ejemplos célebres, como las fibraciones de Hopf de esferas a esferas.

En geometría algebraica , un haz invertible (es decir, un haz localmente libre de rango uno) se suele llamar fibrado lineal .

Todo haz de líneas surge de un divisor bajo las siguientes condiciones:

(I) Si${\displaystyle X}$es un esquema reducido e irreducible, entonces cada fibrado de líneas proviene de un divisor.

(II) Si${\displaystyle X}$Si se trata de un esquema proyectivo, entonces la misma afirmación es válida.

Uno de los haces de líneas más importantes en geometría algebraica es el haz de líneas tautológico en el espacio proyectivo . La proyectividad${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$de un espacio vectorial${\displaystyle V}$sobre un campo${\displaystyle k}$se define como el cociente de${\displaystyle V\setminus \{0\}}$por la acción del grupo multiplicativo${\displaystyle k^{\times }}$Cada punto de${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$Por lo tanto, corresponde a una copia de${\displaystyle k^{\times }}$y estas copias de${\displaystyle k^{\times }}$se puede ensamblar en un${\displaystyle k^{\times }}$-paquete terminado${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$. Pero${\displaystyle k^{\times }}$difiere de${\displaystyle k}$solo por un único punto, y al adjuntar ese punto a cada fibra, obtenemos un haz de líneas en${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$Este haz de líneas se llama haz de líneas tautológico . Este haz de líneas a veces se denota${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$puesto que corresponde al dual del haz retorcido de Serre${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$.

En general si${\displaystyle V}$es un fibrado vectorial en un espacio${\displaystyle X}$, con dimensión de fibra constante${\displaystyle n}$, el${\displaystyle n}$-el poder exterior de${\displaystyle V}$tomado fibra por fibra es un haz de líneas, llamado haz de líneas determinante de${\displaystyle V}$Esta construcción se aplica en particular al fibrado cotangente de una variedad diferenciable . El fibrado determinante resultante (más precisamente, el fibrado de una potencia no negativa fija de los valores absolutos de sus secciones) es responsable del fenómeno de las densidades tensoriales , en el sentido de que para una variedad orientable tiene una sección global no nula, y sus potencias tensoriales con cualquier exponente real pueden definirse y usarse para "retorcer" cualquier fibrado vectorial mediante un producto tensorial .

La misma construcción (tomando la potencia exterior superior) se aplica a un módulo proyectivo finitamente generado.${\displaystyle M}$sobre un dominio noetheriano y el módulo invertible resultante se llama módulo determinante de${\displaystyle M}$.

La primera clase de Stiefel-Whitney clasifica los haces de líneas reales suaves; en particular, la colección de (clases de equivalencia de) haces de líneas reales se corresponde con elementos de la primera cohomología con${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$coeficientes; esta correspondencia es, de hecho, un isomorfismo de grupos abelianos (las operaciones de grupo son el producto tensorial de haces de líneas y la suma usual en cohomología). Análogamente, la primera clase de Chern clasifica los haces de líneas complejos suaves en un espacio, y el grupo de haces de líneas es isomorfo a la segunda clase de cohomología con coeficientes enteros. Sin embargo, los haces pueden tener estructuras suaves equivalentes (y, por lo tanto, la misma primera clase de Chern) pero estructuras holomorfas diferentes. Las afirmaciones de la clase de Chern se demuestran fácilmente utilizando la sucesión exponencial de haces en la variedad.

Se puede abordar el problema de clasificación de forma más general desde un punto de vista de la teoría de la homotopía. Existe un fibrado universal para fibrados de líneas reales y un fibrado universal para fibrados de líneas complejos. Según la teoría general sobre la clasificación de espacios , la heurística consiste en buscar espacios contraíbles en los que existan acciones de grupo de los respectivos grupos.${\displaystyle C_{2}}$y${\displaystyle S^{1}}$, que son acciones libres. Esos espacios pueden servir como los haces principales universales , y los cocientes para las acciones como los espacios de clasificación.${\displaystyle BG}$. En estos casos podemos encontrarlos explícitamente, en los análogos de dimensión infinita del espacio proyectivo real y complejo .

Por lo tanto, el espacio de clasificación${\displaystyle BC_{2}}$es del tipo homotópico de${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}$, el espacio proyectivo real dado por una secuencia infinita de coordenadas homogéneas . Contiene el fibrado de líneas reales universal; en términos de teoría de homotopía, esto significa que cualquier fibrado de líneas reales${\displaystyle L}$en un complejo CW${\displaystyle X}$determina un mapa de clasificación a partir de${\displaystyle X}$a${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}$, haciendo${\displaystyle L}$un fibrado isomorfo al retroceso del fibrado universal. Este mapa clasificador puede utilizarse para definir la clase de Stiefel-Whitney de${\displaystyle L}$, en la primera cohomología de${\displaystyle X}$con${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$coeficientes, de una clase estándar en${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}$.

De manera análoga, el espacio proyectivo complejo${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }}$lleva un fibrado de líneas complejo universal. En este caso, los mapas de clasificación dan lugar a la primera clase de Chern de${\displaystyle X}$, en${\displaystyle H^{2}(X)}$(cohomología integral).

Existe otra teoría análoga con haces de líneas cuaterniónicos (de dimensión real cuatro). Esto da lugar a una de las clases de Pontryagin , en cohomología de cuatro dimensiones reales.

De este modo, los casos fundamentales para la teoría de las clases características dependen únicamente de los fibrados de líneas. Según un principio de escisión general , esto puede determinar el resto de la teoría (aunque no de forma explícita).

Existen teorías de haces de líneas holomorfos en variedades complejas y de haces invertibles en geometría algebraica que desarrollan una teoría de haces de líneas en esas áreas.

• Paquete I
• Paquete de líneas amplio
• Campo de línea

• Michael Murray, Line Bundles , archivado el 14 de septiembre de 2009 en Wayback Machine , 2002 (enlace web PDF).
• Robin Hartshorne . Geometría algebraica . Librería de la AMS, 1975. ISBN 978-0-8218-1429-1