coma sintónica

Coma sintónica (81:80) en C

notación de Helmholtz-Ellis

En teoría musical , la coma sintónica , también conocida como diesis cromática , coma didimeana , coma ptolemaica o coma diatónica , ^{[ 2 ]} es un pequeño intervalo de tipo coma entre dos notas musicales , igual a la relación de frecuencias ⁠ 81 / 80 ⁠ (= 1,0125) (alrededor de 21,51 cents ). Dos notas que difieren en este intervalo sonarían diferentes entre sí incluso para oídos no entrenados, ^[³^] pero estarían lo suficientemente cerca como para que sea más probable que se interpreten como versiones desafinadas de la misma nota que como notas diferentes. La coma también se denomina coma didimeana porque es la cantidad en la que Dídimo corrigió la tercera mayor pitagórica ( ⁠ 81 / 64 ⁠ , alrededor de 407,82 cents) ^[⁴^] a una tercera mayor entonada con justicia ( ⁠ 5 / 4 ⁠ , alrededor de 386,31 cents).

La palabra "coma" llegó a través del latín del griego κόμμα , de anterior * κοπ-μα 'una cosa cortada', o 'un pelo', como en "a solo un pelo de distancia".

Relaciones

$Los factores primos$ del intervalo justo 81/80 , conocido $como coma$ $sintónica$ , pueden separarse y reconstituirse en diversas secuencias de dos o más intervalos que dan como resultado la coma, como $81/1$ × $1/80$ $o$ $($ $completamente$ expandida y ordenada por primos) $3 \times$ $3$ $\times$ $3$ $\times 3$ $/$ $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5.$ $Todas$ las secuencias de notas que producen esa fracción son matemáticamente válidas, pero algunas de las secuencias más musicales que se utilizan para recordar y explicar la composición, la aparición y el uso de la coma se enumeran a continuación:

La proporción de los dos tipos de segunda mayor que se producen en la afinación de 5 límites : el tono mayor (9:8, aproximadamente 203,91 cents, o C ↗ D en Do mayor) y el tono menor (10:9, aproximadamente 182,40 cents, o D ↗ E ). Es decir, 9:8 ÷ 10:9 = 81:80, o equivalentemente, aumentar el tono con una coma eleva una segunda mayor menor a una segunda mayor $⁠$ $10$ $/$ $9$ $⁠$ $\times$ $⁠$ $81$ $/$ $80$ $⁠$ $=$ $⁠$ $9$ $/$ $8$ $⁠$ . ^[⁴^]
La diferencia de tamaño entre un ditono pitagórico ( relación de frecuencia 81:64, o aproximadamente 407,82 cents ) y una tercera mayor justa (5:4, o aproximadamente 386,31 cents). Es decir, $⁠$ $81$ $/$ $64$ $⁠$ $\div$ $⁠$ $5$ $/$ $4$ $⁠$ $=$ $⁠$ $81$ $/$ $80$ $⁠$ .
La diferencia entre cuatro quintas justas afinadas y dos octavas más una tercera mayor afinada . Una quinta justa tiene un tamaño de 3:2 (aproximadamente 701,96 cents), y cuatro de ellas equivalen a 81:16 (aproximadamente 2807,82 cents). Una tercera mayor justa tiene un tamaño de 5:4 (aproximadamente 386,31 cents), y una de ellas más dos octavas (4:1 o exactamente 2400 cents) equivale a 5:1 (aproximadamente 2786,31 cents). La diferencia entre estas es la coma sintónica. Es decir, 81:16 ÷ 5:1 = 81:80.
La diferencia entre una octava más una tercera menor afinada correctamente (12:5, aproximadamente 1515,64 cents) y tres cuartas perfectas afinadas correctamente (64:27, aproximadamente 1494,13 cents). Es decir, 12:5 ÷ 64:27 = 81:80.
La diferencia entre una sexta mayor pitagórica (27:16, aproximadamente 905,87 cents) y una sexta mayor justamente afinada o "pura" (5:3, aproximadamente 884,36 cents). Es decir, 27:16 ÷ 5:3 = 81:80. ^[⁴^]

En un teclado de piano (normalmente afinado con temperamento igual de 12 tonos ), una pila de cuatro quintas (700 × 4 = 2800 cents) es exactamente igual a dos octavas (1200 × 2 = 2400 cents) más una tercera mayor (400 cents). En otras palabras, partiendo de un Do, ambas combinaciones de intervalos terminarán en Mi. Sin embargo, usando octavas (2:1), quintas (3:2) y terceras (5:4) afinadas con precisión , se obtienen dos notas ligeramente diferentes. La relación entre sus frecuencias, como se explicó anteriormente, es una coma sintónica (81:80). La afinación pitagórica también usa quintas afinadas con precisión (3:2), pero utiliza la relación relativamente compleja de 81:64 para las terceras mayores. El sistema mesotónico de coma de cuarto utiliza terceras mayores afinadas correctamente (5:4), pero rebaja cada quinta en un cuarto de coma sintónica, en relación a su tamaño correcto (3:2). Otros sistemas emplean diferentes soluciones de compromiso. Esta es una de las razones por las que el temperamento igual de 12 tonos es actualmente el sistema preferido para afinar la mayoría de los instrumentos musicales .

Matemáticamente, según el teorema de Størmer , 81:80 es la razón superparticular más cercana posible con numerador y denominador regulares . Una razón superparticular es aquella cuyo numerador es 1 unidad mayor que su denominador, como 5:4, y un número regular es aquel cuyos factores primos se limitan a 2, 3 y 5. Por lo tanto, aunque se pueden describir intervalos más pequeños dentro de las afinaciones de límite 5, no se pueden describir como razones superparticulares.

La coma sintónica en la historia de la música

Coma sintónica (la discrepancia en la parte superior)

está templado en 12TET (parte inferior)

La coma sintónica, como la que existe entre los tonos mayores y menores de 9/8 (aproximadamente 203,91 cents) y 10/9 (aproximadamente 182,40 cents) (arriba), se elimina en 12TET, dejando un tono de 200 cents (abajo).

La coma sintónica desempeña un papel crucial en la historia de la música. Representa la cantidad en la que algunas de las notas producidas en la afinación pitagórica se atenuaban o aumentaban para producir únicamente terceras menores y mayores. En la afinación pitagórica, los únicos intervalos altamente consonantes eran la quinta justa y su inversión, la cuarta justa . La tercera mayor pitagórica (81:64) y la tercera menor (32:27) eran disonantes , lo que impedía a los músicos utilizar tríadas y acordes , obligándolos durante siglos a componer música con una textura relativamente simple . Sin embargo, Mark Lindley y Ronald Turner-Smith sostienen que la afinación cismática (que utiliza la cuarta disminuida (8192:6561) y la segunda aumentada (19683:16384) para representar 5:4 y 6:5 respectivamente, desviándose solo por un cisma ) se utilizó brevemente a finales de la Edad Media. ^{[ 5 ]}

El temperamento sintónico se remonta a Dídimo el Músico , cuya afinación del género diatónico del tetracordio reemplazó un intervalo de 9:8 con un intervalo de 10:9 ( tono menor ), obteniendo una tercera mayor justa (5:4) y un semitono (16:15). Esto fue revisado posteriormente por Ptolomeo (intercambiando los dos tonos) en su escala "diatónica sintónica" ( συντονόν διατονικός , syntonón diatonikós , de συντονός + διάτονος ). El término syntonón se basa en Aristóxeno y puede traducirse como "tenso" (convencionalmente "intenso"), refiriéndose a cuerdas tensas (por lo tanto, más agudas), en contraste con μαλακόν ( malakón , de μαλακός ), traducido como "relajado" (convencionalmente "suave"), refiriéndose a cuerdas más flojas (por lo tanto, más planas o "más suaves").

Esto se redescubrió a finales de la Edad Media , cuando los músicos se dieron cuenta de que, al temperar ligeramente el tono de algunas notas, las terceras pitagóricas (a diferencia de las cuartas disminuidas y las segundas aumentadas, más difíciles de alcanzar) podían hacerse consonantes . Por ejemplo, si la frecuencia de Mi se reduce mediante una coma sintónica (81:80), Do-Mi (una tercera mayor) y Mi menor (una tercera menor) se vuelven justas. Es decir, Do-Mi se reduce a una proporción de entonación justa de

{81 \over 64}\cdot {80 \over 81}={{1\cdot 5} \over {4\cdot 1}}={5 \over 4}

y al mismo tiempo E–G se amplía a la justa proporción de

{32 \over 27}\cdot {81 \over 80}={{2\cdot 3} \over {1\cdot 5}}={6 \over 5}

El inconveniente es que las quintas A–E y E–B, al bajar la nota E, se vuelven casi tan disonantes como la quinta pitagórica del lobo . Pero la quinta C–G permanece consonante, ya que solo se ha bajado la nota E (C–E × E–G = 5/4 × 6/5 = 3/2), y puede usarse junto con C–E para producir una tríada de Do mayor (C–E–G). Estos experimentos finalmente llevaron a la creación de un nuevo sistema de afinación , conocido como mesotónico de coma de cuarto , en el que se maximizó el número de terceras mayores, y la mayoría de las terceras menores se afinaron a una proporción muy cercana a la justa 6:5. Este resultado se obtuvo estrechando cada quinta en un cuarto de coma sintónica, una cantidad que se consideró insignificante, y permitió el desarrollo completo de música con textura compleja , como la música polifónica , o melodía con acompañamiento instrumental . Desde entonces, se desarrollaron otros sistemas de afinación, y la coma sintónica se utilizó como valor de referencia para temperar las quintas perfectas en toda una familia de ellos. Concretamente, en la familia perteneciente al continuo del temperamento sintónico , incluidos los temperamentos mesotónicos .

Bomba de coma

La coma sintónica surge en secuencias de bombeo de coma ( deriva de coma ) como CGDAEC, cuando cada intervalo de una nota a la siguiente se toca con ciertos intervalos específicos en la afinación de entonación justa . Si usamos la relación de frecuencia 3/2 para las quintas justas (C–G y D–A), 3/4 para las cuartas justas descendentes (G–D y A–E) y 4/5 para la tercera mayor descendente (E–C), entonces la secuencia de intervalos de una nota a la siguiente en esa secuencia es 3/2, 3/4, 3/2, 3/4, 4/5. Estos se multiplican para dar

{3 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {4 \over 5}={81 \over 80}

que es la coma sintónica (los intervalos musicales apilados de esta manera se multiplican entre sí). La "desviación" se crea por la combinación de intervalos pitagóricos y de límite 5 en entonación justa, y no ocurriría en la afinación pitagórica debido al uso exclusivo de la tercera mayor pitagórica (81/64), lo que devolvería el último paso de la secuencia a la altura original.

Entonces, en esa secuencia, la segunda C es más aguda que la primera C por una coma sintónica.Jugar^ⓘ . Esa secuencia, o cualquiertransposiciónde la misma, se conoce como la bomba de coma. Si una línea musical sigue esa secuencia, y si cada uno de los intervalos entre notas adyacentes está correctamente afinado, entonces cada vez que se sigue la secuencia, el tono de la pieza sube una coma sintónica (aproximadamente una quinta parte de un semitono).

El estudio de la bomba de coma se remonta al menos al siglo XVI, cuando el científico italiano Giovanni Battista Benedetti compuso una pieza musical para ilustrar la deriva sintónica de la coma. ^{[ 6 ]}

Nótese que una cuarta justa descendente (3/4) es lo mismo que una octava descendente (1/2) seguida de una quinta justa ascendente (3/2). Es decir, (3/4) = (1/2) × (3/2). De manera similar, una tercera mayor descendente (4/5) es lo mismo que una octava descendente (1/2) seguida de una sexta menor ascendente (8/5). Es decir, (4/5) = (1/2) × (8/5). Por lo tanto, la secuencia mencionada anteriormente es equivalente a:

{3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {8 \over 5}={81 \over 80}

o bien, agrupando intervalos similares,

{3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {8 \over 5}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={81 \over 80}

Esto significa que, si todos los intervalos están correctamente afinados, se puede obtener una coma sintónica con una pila de cuatro quintas perfectas más una sexta menor, seguida de tres octavas descendentes (en otras palabras, cuatro P5 más una m6 menos tres P8 ).

Notación

Simplemente un acorde mayor en Do en la notación de Ben Johnston.Jugar Acorde mayor pitagórico en C en notación de Helmholtz-Ellis.Jugar

Acorde mayor pitagórico, notación de Ben Johnston.

Simplemente un acorde mayor, en notación de Helmholtz-Ellis.

Moritz Hauptmann desarrolló un método de notación utilizado por Hermann von Helmholtz . Basado en la afinación pitagórica, se añaden números subíndices para indicar el número de comas sintónicas que se deben bajar en una nota. Así, una escala pitagórica es CDEFGAB, mientras que una escala justa es CDE ₁ FGA ₁ B _1.Carl Eitz desarrolló un sistema similar utilizado por J. Murray Barbour . Se añaden números positivos y negativos superíndices, que indican el número de comas sintónicas que se deben subir o bajar de la afinación pitagórica. Así, una escala pitagórica es CDEFGAB, mientras que la escala ptolemaica de 5 límites es CDE ⁻¹ FGA ⁻¹ B ⁻¹ .

En la notación de Helmholtz-Ellis , una coma sintónica se indica con flechas hacia arriba y hacia abajo añadidas a las alteraciones tradicionales. Así, una escala pitagórica es CDEFGAB, mientras que la escala ptolemaica de 5 límites es CDE FGA B.

El compositor Ben Johnston utiliza un "−" como alteración para indicar que una nota se baja mediante una coma sintónica, o un "+" para indicar que una nota se sube mediante una coma sintónica. ^{[ 1 ]} Así, una escala pitagórica es CD E+ FG A+ B+, mientras que la escala ptolemaica de 5 límites es CDEFGA B.

Véase también

Referencias

1 2 John Fonville . «La entonación justa extendida de Ben Johnston: una guía para intérpretes», pág. 109, Perspectives of New Music , vol. 29, n.º 2 (verano de 1991), págs. 106-137. y Johnston, Ben y Gilmore, Bob (2006). «Un sistema de notación para la entonación justa extendida» (2003), «Máxima claridad» y otros escritos sobre música , pág. 78. ISBN 978-0-252-03098-7.
↑ Johnston, B. (2006), Gilmore, B. (ed.), "Máxima claridad" y otros escritos sobre música , Urbana, IL: University of Illinois Press, ISBN 0-252-03098-2
↑ "Sol-Fa: La clave del temperamento" , bbc.co.uk , BBC , archivado del original el 8 de febrero de 2005
1 2 3 Lloyd, Llewelyn Southworth (1937), Música y sonido , Books for Libraries Press, pág. 12, ISBN 0-8369-5188-3{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
^ Lindley, marca ; Turner-Smith, Ronald (1993), "Capítulo 17. Temperamentos cuasi pitagóricos", Modelos matemáticos de escalas musicales: un nuevo enfoque , Orpheus-Schriftenreihe zu Grundfragen der Musik, vol. 66, Bonn-Bad Godesberg: Verlag fuer systematische Musikwissenschaft, GmbH, págs . 55-57
1 2 Wild, Jonathan; Schubert, Peter (Primavera-Otoño 2008), "Reajuste históricamente informado de la interpretación vocal polifónica" (PDF) , Journal of Interdisciplinary Music Studies , 2 (1&2): 121–139 [127], archivado del original (PDF) el 11 de septiembre de 2010 , recuperado el 5 de abril de 2013, art. #0821208.

Enlaces externos

Escuela de Música de la Universidad de Indiana: Taller de reparación de pianos: Afinación, reparación y temperamentos del clavecín: "¿Qué es la coma sintónica?"
Tonalsoft: "Coma sintónica"
Explicación de la desviación de la coma

[Fonville-1] 1 2 John Fonville . «La entonación justa extendida de Ben Johnston: una guía para intérpretes», pág. 109, Perspectives of New Music , vol. 29, n.º 2 (verano de 1991), págs. 106-137. y Johnston, Ben y Gilmore, Bob (2006). «Un sistema de notación para la entonación justa extendida» (2003), «Máxima claridad» y otros escritos sobre música , pág. 78. ISBN 978-0-252-03098-7.

[Johnston-2] Johnston, B. (2006), Gilmore, B. (ed.), "Máxima claridad" y otros escritos sobre música , Urbana, IL: University of Illinois Press, ISBN 0-252-03098-2

[BBC-3] "Sol-Fa: La clave del temperamento" , bbc.co.uk , BBC , archivado del original el 8 de febrero de 2005

[Lloyd-4] 1 2 3 Lloyd, Llewelyn Southworth (1937), Música y sonido , Books for Libraries Press, pág. 12, ISBN 0-8369-5188-3{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[5] Lindley, marca ; Turner-Smith, Ronald (1993), "Capítulo 17. Temperamentos cuasi pitagóricos", Modelos matemáticos de escalas musicales: un nuevo enfoque , Orpheus-Schriftenreihe zu Grundfragen der Musik, vol. 66, Bonn-Bad Godesberg: Verlag fuer systematische Musikwissenschaft, GmbH, págs . 55-57

[Historically-6] 1 2 Wild, Jonathan; Schubert, Peter (Primavera-Otoño 2008), "Reajuste históricamente informado de la interpretación vocal polifónica" (PDF) , Journal of Interdisciplinary Music Studies , 2 (1&2): 121–139 [127], archivado del original (PDF) el 11 de septiembre de 2010 , recuperado el 5 de abril de 2013, art. #0821208.

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