campo diferencialmente cerrado

En matemáticas , un cuerpo diferencial K es diferencialmente cerrado si todo sistema finito de ecuaciones diferenciales con una solución en algún cuerpo diferencial que extiende K ya tiene una solución en K. Este concepto fue introducido por Robinson (1959) . Los cuerpos diferencialmente cerrados son el análogo, para ecuaciones diferenciales, de los cuerpos algebraicamente cerrados para ecuaciones polinómicas.

Recordemos que un campo diferencial es un campo dotado de un operador de derivación . Sea K un campo diferencial con operador de derivación ∂.

• Un polinomio diferencial en x es un polinomio en las expresiones formales x , ∂ x , ∂ ² x , ... con coeficientes en K .
• El orden de un polinomio diferencial no nulo en x es el mayor n tal que ∂ ⁿ x aparece en él, o − 1 si el polinomio diferencial es una constante.
• El separador S _f de un polinomio diferencial de orden n ≥0 es la derivada de f con respecto a ∂ ⁿ x .
• El campo de constantes de K es el subcampo de elementos a con ∂ a =0.
• En un cuerpo diferencial K de característica p distinta de cero , todas las potencias p -ésimas son constantes. De ello se deduce que ni K ni su cuerpo de constantes son perfectos , a menos que ∂ sea trivial. Un cuerpo K con derivación ∂ se denomina diferencialmente perfecto si es de característica 0 o de característica p , y toda constante es una potencia p -ésima de un elemento de K.
• Un cuerpo diferencialmente cerrado es un cuerpo diferencial diferencialmente perfecto K tal que si f y g son polinomios diferenciales tales que S _f ≠ 0 y g ≠ 0 y f tiene un orden mayor que el de g , entonces existe algún x en K tal que f ( x ) = 0 y g ( x ) ≠ 0. (Algunos autores añaden la condición de que K tenga característica 0, en cuyo caso S _f es automáticamente distinto de cero y K es automáticamente perfecto).
• DCF _p es la teoría de campos diferencialmente cerrados de característica p (donde p es 0 o un número primo).

Tomando g = 1 y f cualquier polinomio separable ordinario , se demuestra que cualquier cuerpo diferencialmente cerrado es separablemente cerrado . En característica 0, esto implica que es algebraicamente cerrado, pero en característica p > 0, los cuerpos diferencialmente cerrados nunca son algebraicamente cerrados.

A diferencia de los números complejos en la teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados, no existe un ejemplo natural de un cuerpo diferencialmente cerrado. Cualquier cuerpo diferencialmente perfecto K tiene una clausura diferencial , una extensión de modelo primo , que es diferencialmente cerrada. Shelah demostró que la clausura diferencial es única salvo isomorfismo sobre K. Shelah también demostró que el cuerpo diferencialmente cerrado primo de característica 0 (la clausura diferencial de los racionales) no es mínimo ; este fue un resultado bastante sorprendente, ya que no es lo que se esperaría por analogía con los cuerpos algebraicamente cerrados.

La teoría de DCF _p es completa y modelo completo (para p = 0, esto fue demostrado por Robinson, y para p > 0 por Wood (1973) ). La teoría DCF _p es el modelo complementario de la teoría de campos diferenciales de característica p . Es la completitud del modelo de la teoría de campos diferencialmente perfectos de característica p si se añade al lenguaje un símbolo que da la raíz p -ésima de constantes cuando p > 0. La teoría de campos diferenciales de característica p > 0 no tiene una completitud de modelo, y en característica p = 0 es igual que la teoría de campos diferencialmente perfectos, por lo que tiene DCF ₀ como su completitud de modelo.

El número de cuerpos diferencialmente cerrados de alguna cardinalidad infinita κ es 2 ^κ ; para κ no numerable esto fue demostrado por Shelah (1973) , y para κ numerable por Hrushovski y Sokolovic.

La topología de Kolchin en K ^m se define tomando conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales sobre K en m variables como conjuntos cerrados básicos. Al igual que la topología de Zariski , la topología de Kolchin es noetheriana .

Un conjunto d-construible es una unión finita de conjuntos cerrados y abiertos en la topología de Kolchin. De forma equivalente, un conjunto d-construible es el conjunto de soluciones de una fórmula atómica o sin cuantificadores con parámetros en K.

Al igual que la teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados, la teoría DCF ₀ de cuerpos diferencialmente cerrados de característica 0 elimina los cuantificadores . El contenido geométrico de esta afirmación es que la proyección de un conjunto d-construible es d-construible. Además, elimina los imaginarios, es completa y modelo-completa.

En la característica p >0, la teoría DCF _p elimina los cuantificadores en el lenguaje de los campos diferenciales con una función unaria r agregada que es la raíz p -ésima de todas las constantes, y es 0 en los elementos que no son constantes.

El Nullstellensatz diferencial es el análogo en álgebra diferencial del nullstellensatz de Hilbert .

• Un ideal diferencial o ∂-ideal es un ideal cerrado bajo ∂.
• Un ideal se denomina radical si contiene todas las raíces de sus elementos.

Supongamos que K es un cuerpo diferencialmente cerrado de característica 0. Entonces, el teorema de nulidad diferencial de Seidenberg establece que existe una biyección entre

• Ideales diferenciales radicales en el anillo de polinomios diferenciales en n variables, y
• subconjuntos ∂-cerrados de K ⁿ .

Esta correspondencia asigna un subconjunto ∂-cerrado al ideal de elementos que se anulan en él, y asigna un ideal a su conjunto de ceros.

En característica 0, Blum demostró que la teoría de campos diferencialmente cerrados es ω-estable y tiene rango de Morley ω. En característica no nula, Wood (1973) demostró que la teoría de campos diferencialmente cerrados no es ω-estable, y Shelah (1973) demostró más precisamente que es estable pero no superestable .

• Teoría de Galois diferencial

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• Wood, Carol (1976), "Revisión de la teoría de modelos de campos diferenciales", Israel Journal of Mathematics , 25 ( 3–4 ): 331–352 , doi : 10.1007/BF02757008
• Wood, Carol (1998), "Campos diferencialmente cerrados", Teoría de modelos y geometría algebraica , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1696, Berlín: Springer, pp. 129–141 , doi : 10.1007/BFb0094671 , ISBN  978-3-540-64863-5, MR 1678539