Teoría estable

En el campo matemático de la teoría de modelos , una teoría se considera estable si satisface ciertas restricciones combinatorias en su complejidad. Las teorías estables tienen su origen en la demostración del teorema de categoricidad de Morley y fueron estudiadas exhaustivamente como parte de la teoría de clasificación de Saharon Shelah , la cual reveló una dicotomía: o bien los modelos de una teoría admiten una clasificación adecuada, o bien son demasiado numerosos para permitir una clasificación razonable. Un primer paso de este programa consistió en demostrar que, si una teoría no es estable, entonces sus modelos son demasiado numerosos para clasificarlos.

Las teorías estables fueron el tema predominante de la teoría de modelos pura desde la década de 1970 hasta la de 1990, por lo que su estudio dio forma a la teoría de modelos moderna ^{[ 1 ]} y existe un marco y un conjunto de herramientas amplios para analizarlas. Una dirección importante en la teoría de modelos es la "teoría de la neoestabilidad", que intenta generalizar los conceptos de la teoría de la estabilidad a contextos más amplios, como las teorías simples y NIP .

Un objetivo común en la teoría de modelos es estudiar una teoría de primer orden analizando la complejidad de las álgebras booleanas de conjuntos definibles (por parámetros) en sus modelos. De forma equivalente, se puede analizar la complejidad de los duales de Stone de estas álgebras booleanas, que son espacios de tipos . La estabilidad restringe la complejidad de estos espacios de tipos al limitar sus cardinalidades . Dado que los tipos representan los posibles comportamientos de los elementos en los modelos de una teoría, restringir el número de tipos restringe la complejidad de estos modelos. ^{[ 2 ]}

La teoría de la estabilidad tiene sus raíces en la demostración de Michael Morley de 1965 de la conjetura de Łoś sobre teorías categóricas. En esta demostración, la noción clave era la de una teoría totalmente trascendental, definida al restringir la complejidad topológica de los espacios de tipos. Sin embargo, Morley demostró que (para teorías numerables) esta restricción topológica es equivalente a una restricción de cardinalidad, una forma fuerte de estabilidad ahora llamada${\displaystyle \omega }$-estabilidad, y él hizo un uso significativo de esta equivalencia. En el curso de generalizar el teorema de categoricidad de Morley a teorías no numerables, Frederick Rowbottom generalizó${\displaystyle \omega }$-estabilidad mediante la introducción${\displaystyle \kappa }$-teorías estables para algunos cardinales${\displaystyle \kappa }$y finalmente Shelah introdujo teorías estables. ^{[ 3 ]}

La teoría de la estabilidad se desarrolló mucho más en el curso del programa de teoría de clasificación de Shelah. El objetivo principal de este programa era mostrar una dicotomía: o bien los modelos de una teoría de primer orden pueden clasificarse bien salvo isomorfismo utilizando un árbol de invariantes cardinales (generalizando, por ejemplo, la clasificación de espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo por su dimensión ), o bien son tan complicados que no es posible ninguna clasificación razonable. ^{[ 4 ]} Entre los resultados concretos de esta teoría de clasificación se encontraban teoremas sobre las posibles funciones espectrales de una teoría , contando el número de modelos de cardinalidad.${\displaystyle \kappa }$como función de${\displaystyle \kappa }$El enfoque de ^{Shelah consistía en identificar una serie de "líneas divisorias" para las teorías. Una línea divisoria} es una propiedad de una teoría tal que tanto ella como su negación tienen fuertes consecuencias estructurales; una debería implicar que los modelos de la teoría son caóticos, mientras que la otra debería dar lugar a una teoría de estructura positiva. La estabilidad fue la primera de estas líneas divisorias en el programa de la teoría de la clasificación, y dado que se demostró que su fallo descartaba cualquier clasificación razonable, todo el trabajo posterior podía asumir que la teoría era estable. Así pues, gran parte de la teoría de la clasificación se ocupó de analizar teorías estables y diversos subconjuntos de teorías estables dados por otras líneas divisorias, como las teorías superestables . ^{[ 3 ]}

Una de las características clave de las teorías estables desarrolladas por Shelah es que admiten una noción general de independencia denominada independencia no bifurcada , que generaliza la independencia lineal de los espacios vectoriales y la independencia algebraica de la teoría de campos. Si bien la independencia no bifurcada tiene sentido en teorías arbitrarias y sigue siendo una herramienta fundamental más allá de las teorías estables, posee propiedades geométricas y combinatorias particularmente buenas en estas últimas. Al igual que con la independencia lineal, esto permite definir conjuntos independientes y dimensiones locales como las cardinalidades de las instancias máximas de dichos conjuntos, las cuales están bien definidas bajo hipótesis adicionales. Estas dimensiones locales dan lugar a los invariantes cardinales que clasifican los modelos salvo isomorfismo. ^{[ 4 ]}

Sea T una teoría completa de primer orden.

Para un cardinal infinito dado${\displaystyle \kappa }$, T es${\displaystyle \kappa }$-estable si para cada conjunto A de cardinalidad${\displaystyle \kappa }$en un modelo de T , el conjunto S(A) de tipos completos sobre A también tiene cardinalidad${\displaystyle \kappa }$. This is the smallest the cardinality of S(A) can be, while it can be as large as ${\displaystyle 2^{\kappa }}$. For the case ${\displaystyle \kappa =\aleph _ {0}}$, it is common to say T is ${\displaystyle \omega }$-stable rather than ${\displaystyle \aleph _{0}}$-stable.^[5]

T is stable if it is ${\displaystyle \kappa }$-stable for some infinite cardinal ${\displaystyle \kappa }$.^[6]

Restrictions on the cardinals ${\displaystyle \kappa }$ for which a theory can simultaneously be ${\displaystyle \kappa }$-stable are described by the stability spectrum,^[7] which singles out the even tamer subset of superstable theories.

A common alternate definition of stable theories is that they do not have the order property. A theory has the order property if there is a formula ${\displaystyle \phi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$ and two infinite sequences of tuples ${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$, ${\displaystyle B=({\bar {b}}_{j}:j\in \mathbb {N} )}$ in some model M such that ${\displaystyle \phi }$ defines an infinite half graph on ${\displaystyle A\times B}$, i.e. ${\displaystyle \phi ({\bar {a}}_{i},{\bar {b}}_{j})}$ is true in M${\displaystyle \iff i\leq j}$.^[8] This is equivalent to there being a formula ${\displaystyle \psi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$ and an infinite sequence of tuples ${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$ in some model M such that ${\displaystyle \psi }$ defines an infinite linear order on A, i.e. ${\displaystyle \psi ({\bar {a}}_{i},{\bar {a}}_{j})}$ is true in M${\displaystyle \iff i\leq j}$.^[9][b][c]

There are numerous further characterizations of stability. As with Morley's totally transcendental theories, the cardinality restrictions of stability are equivalent to bounding the topological complexity of type spaces in terms of Cantor-Bendixson rank.^[12] Another characterization is via the properties that non-forking independence has in stable theories, such as being symmetric. This characterizes stability in the sense that any theory with an abstract independence relation satisfying certain of these properties must be stable and the independence relation must be non-forking independence.^[13]

Any of these definitions, except via an abstract independence relation, can instead be used to define what it means for a single formula to be stable in a given theory T. Then T can be defined to be stable if every formula is stable in T.^[14] Localizing results to stable formulas allows these results to be applied to stable formulas in unstable theories, and this localization to single formulas is often useful even in the case of stable theories.^[15]

Para una teoría inestable, considérese la teoría DLO de órdenes lineales densos sin puntos finales. Entonces la relación de orden atómico tiene la propiedad de orden. Alternativamente, los 1-tipos no realizados sobre un conjunto A corresponden a cortes ( cortes de Dedekind generalizados , sin los requisitos de que los dos conjuntos no sean vacíos y que el conjunto inferior no tenga el elemento mayor) en el ordenamiento de A , ^{[ 16 ]} y existen órdenes densos de cualquier cardinalidad${\displaystyle \kappa }$con${\displaystyle 2^{\kappa }}$-muchos cortes. ^{[ 17 ]}

Otra teoría inestable es la teoría del grafo de Rado , donde la relación de arista atómica tiene la propiedad de orden. ^{[ 18 ]}

Para una teoría estable, considere la teoría${\displaystyle ACF_{p}}$de cuerpos algebraicamente cerrados de característica p , permitiendo${\displaystyle p=0}$. Entonces, si K es un modelo de${\displaystyle ACF_{p}}$, contando tipos sobre un conjunto${\displaystyle A\subset K}$es equivalente a contar tipos sobre el cuerpo k generado por A en K. Hay una biyección (continua) del espacio de n -tipos sobre k al espacio de ideales primos en el anillo de polinomios.${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{n}]}$Dado que tales ideales se generan de forma finita, solo existen${\displaystyle |k|+\aleph _ {0}}$muchos, así que${\displaystyle ACF_{p}}$es${\displaystyle \kappa }$-estable para todos los infinitos${\displaystyle \kappa }$. ^{[ 19 ]}

A continuación se enumeran algunos ejemplos adicionales de teorías estables.

• La teoría de cualquier módulo sobre un anillo (en particular, cualquier teoría de espacios vectoriales o grupos abelianos ). ^{[ 20 ]}

• La teoría de los grupos libres no abelianos . ^{[ 21 ]}

• La teoría de campos diferencialmente cerrados de característica p . Cuando${\displaystyle p=0}$, la teoría es${\displaystyle \omega }$-estable. ^{[ 22 ]}

• La teoría de cualquier clase de grafos densos en ninguna parte. ^{[ 23 ]} Estas incluyen clases de grafos con expansión acotada , que a su vez incluyen grafos planares y cualquier clase de grafos de grado acotado.

La teoría de la estabilidad geométrica se ocupa del análisis detallado de las geometrías locales en los modelos y de cómo sus propiedades influyen en la estructura global. Esta línea de resultados fue posteriormente clave en diversas aplicaciones de la teoría de la estabilidad, por ejemplo, a la geometría diofántica . Generalmente se considera que comienza a finales de la década de 1970 con el análisis de Boris Zilber sobre las teorías totalmente categóricas, demostrando finalmente que no son finitamente axiomatizables . Todo modelo de una teoría totalmente categórica está controlado por (es decir, es primo y mínimo sobre) un conjunto fuertemente mínimo, que posee una estructura matroide ^{[ d ]} determinada por el cierre algebraico (de la teoría de modelos) que proporciona nociones de independencia y dimensión. En este contexto, la teoría de la estabilidad geométrica plantea entonces la cuestión local de cuáles son las posibilidades para la estructura del conjunto fuertemente mínimo, y la cuestión local-global de cómo el conjunto fuertemente mínimo controla todo el modelo. ^{[ 24 ]}

La segunda pregunta es respondida por el Teorema de la Escalera de Zilber, que muestra que cada modelo de una teoría totalmente categórica se construye mediante una secuencia finita de algo como " fibrados definibles " sobre el conjunto fuertemente minimal. ^{[ 25 ]} Para la primera pregunta, la Conjetura de la Tricotomía de Zilber fue que la geometría de un conjunto fuertemente minimal debe ser como la de un conjunto sin estructura, o el conjunto debe llevar esencialmente la estructura de un espacio vectorial, o la estructura de un campo algebraicamente cerrado, y los dos primeros casos se denominan localmente modulares. ^{[ 26 ]} Esta conjetura ilustra dos temas centrales. Primero, que la modularidad (local) sirve para dividir el comportamiento combinatorio o lineal de la complejidad geométrica no lineal como en la geometría algebraica . ^{[ 27 ]} Segundo, que la geometría combinatoria complicada proviene necesariamente de objetos algebraicos; ^{[ 28 ]} Esto es similar al problema clásico de encontrar un anillo de coordenadas para un plano proyectivo abstracto definido por incidencias, y otros ejemplos son los teoremas de configuración de grupos que muestran que ciertas dependencias combinatorias entre elementos deben surgir de la multiplicación en un grupo definible. ^{[ 29 ]} Al desarrollar análogos de partes de la geometría algebraica en conjuntos fuertemente minimales, como la teoría de la intersección , Zilber demostró una forma débil de la Conjetura de la Tricotomía para teorías categóricas no numerables. ^{[ 30 ]} Aunque Ehud Hrushovski desarrolló la construcción de Hrushovski para refutar la conjetura completa, posteriormente se demostró con hipótesis adicionales en el contexto de las "geometrías de Zariski". ^{[ 31 ]}

Las nociones del programa de clasificación de Shelah, como los tipos regulares, la bifurcación y la ortogonalidad, permitieron generalizar estas ideas, especialmente en teorías superestables. En este caso, los conjuntos definidos por tipos regulares desempeñan el papel de conjuntos fuertemente minimales, cuya geometría local está determinada por la dependencia de bifurcación en lugar de la dependencia algebraica. En vez del único conjunto fuertemente minimal que controla los modelos de una teoría totalmente categórica, puede haber muchas geometrías locales definidas por tipos regulares, y la ortogonalidad describe cuándo estos tipos no interactúan. ^{[ 32 ]}

Si bien las teorías estables son fundamentales en la teoría de modelos, esta sección enumera aplicaciones de dichas teorías a otras áreas de las matemáticas. Esta lista no pretende ser exhaustiva, sino más bien ofrecer una visión general.

• Dado que la teoría de campos diferencialmente cerrados de característica 0 es${\displaystyle \omega }$-estable, existen muchas aplicaciones de la teoría de la estabilidad en el álgebra diferencial . Por ejemplo, la existencia y unicidad del cierre diferencial de dicho campo (un análogo del cierre algebraico) fueron demostradas respectivamente por Lenore Blum y Shelah, utilizando resultados generales sobre modelos primos en${\displaystyle \omega }$-teorías estables. ^{[ 33 ]}

• En geometría diofántica , Ehud Hrushovski utilizó la teoría de la estabilidad geométrica para demostrar la conjetura de Mordell-Lang para cuerpos de funciones en todas las características, que generaliza el teorema de Faltings sobre el conteo de puntos racionales en curvas y la conjetura de Manin-Mumford sobre el conteo de puntos de torsión en curvas. ^{[ 34 ]} El punto clave de la demostración fue el uso de la tricotomía de Zilber en cuerpos diferenciales para mostrar que ciertos grupos definidos aritméticamente son localmente modulares. ^{[ 35 ]}

• En el aprendizaje automático en línea , la dimensión de Littlestone de una clase de conceptos es una medida de complejidad que caracteriza la capacidad de aprendizaje, análoga a la dimensión VC en el aprendizaje PAC . Acotar la dimensión de Littlestone de una clase de conceptos es equivalente a una caracterización combinatoria de la estabilidad que involucra árboles binarios. ^{[ 36 ]} Esta equivalencia se ha utilizado, por ejemplo, para demostrar que la capacidad de aprendizaje en línea de una clase de conceptos es equivalente a la capacidad de aprendizaje PAC con privacidad diferencial . ^{[ 37 ]}

• En análisis funcional , Jean-Louis Krivine y Bernard Maurey definieron una noción de estabilidad para espacios de Banach , equivalente a afirmar que ninguna fórmula sin cuantificadores tiene la propiedad de orden (en lógica continua, en lugar de lógica de primer orden). Luego demostraron que todo espacio de Banach estable admite una incrustación casi isométrica de ℓ ^p para algún${\displaystyle p\en [1,\infty )}$. ^{[ 38 ]} Esto forma parte de una interacción más amplia entre el análisis funcional y la estabilidad en la lógica continua; por ejemplo, los primeros resultados de Alexander Grothendieck en análisis funcional pueden interpretarse como equivalentes a resultados fundamentales de la teoría de la estabilidad. ^{[ 39 ]}

• Una estructura numerable (posiblemente finita) es ultrahomogénea si todo automorfismo parcial finito se extiende a un automorfismo de la estructura completa. Gregory Cherlin y Alistair Lachlan proporcionaron una teoría de clasificación general para estructuras ultrahomogéneas estables, incluyendo todas las finitas. En particular, sus resultados muestran que para cualquier lenguaje relacional finito fijo, las estructuras homogéneas finitas se agrupan en un número finito de familias infinitas con miembros parametrizados por invariantes numéricos y un número finito de ejemplos esporádicos. Además, todo ejemplo esporádico pasa a formar parte de una familia infinita en algún lenguaje más rico, y siempre aparecen nuevos ejemplos esporádicos en lenguajes suficientemente ricos. ^{[ 40 ]}

• En combinatoria aritmética , Hrushovski demostró resultados sobre la estructura de subgrupos aproximados , por ejemplo, implicando una versión reforzada del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial . Aunque esto no utilizó directamente teorías estables, la idea clave fue que los resultados fundamentales de la teoría de grupos estables podían generalizarse y aplicarse en este contexto. ^{[ 41 ]} Esto condujo directamente al teorema de Breuillard-Green-Tao, que clasifica los subgrupos aproximados. ^{[ 42 ]}

Durante unos veinte años después de su introducción, la estabilidad fue el tema principal de la teoría de modelos puros. ^{[ 43 ]} Una dirección central de la teoría de modelos puros moderna, a veces llamada "neoestabilidad" o "teoría de la clasificación", ^{[ e ]} consiste en generalizar los conceptos y técnicas desarrollados para teorías estables a clases de teorías más amplias, y esto ha contribuido a muchas de las aplicaciones más recientes de la teoría de modelos. ^{[ 44 ]}

Dos ejemplos notables de tales clases más amplias son las teorías simples y NIP. Estas son generalizaciones ortogonales de las teorías estables, ya que una teoría es simple y NIP si y solo si es estable. ^{[ 43 ]} En términos generales, las teorías NIP conservan el buen comportamiento combinatorio de las teorías estables, mientras que las teorías simples conservan el buen comportamiento geométrico de la independencia sin bifurcación. ^{[ 45 ]} En particular, las teorías simples se pueden caracterizar por una independencia sin bifurcación simétrica, ^{[ 46 ]} mientras que las NIP se pueden caracterizar por acotar el número de tipos realizados sobre conjuntos finitos ^{[ 47 ]} o infinitos ^{[ 48 ] .}

Otra dirección de generalización es recapitular la teoría de la clasificación más allá del marco de las teorías completas de primer orden, como en las clases elementales abstractas . ^{[ 49 ]}

• Espectro de estabilidad
• Espectro de una teoría
• Teorema de categoricidad de Morley
• Teorías NIP

• Un mapa de la clasificación de teorías basada en modelos, que destaca la estabilidad.
• Dos reseñas de libros que abordan la teoría de la estabilidad y la clasificación para teóricos no especializados en modelos: Fundamentos de la teoría de la estabilidad y Teoría de la clasificación.
• Una visión general de la teoría de la estabilidad (geométrica) para teóricos no especializados en modelos.