Matriz de rotación infinitesimal

Una matriz de rotación infinitesimal o matriz de rotación diferencial es una matriz que representa una rotación infinitesimalmente pequeña .

Mientras que una matriz de rotación es una matriz ortogonal${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$representando un elemento de${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$(el grupo ortogonal especial ), el diferencial de una rotación es una matriz antisimétrica${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$en el espacio tangente${\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(n)}$(el álgebra de Lie ortogonal especial ), que en sí misma no es una matriz de rotación.

Una matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

dónde${\displaystyle I}$es la matriz identidad ,${\displaystyle d\theta }$es insignificante, y${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n)}$.​

Por ejemplo, si${\displaystyle A=L_{x}}$⁠ , que representa una rotación tridimensional infinitesimal alrededor del eje x , un elemento base de ⁠${\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(3)}$, entonces

${\displaystyle L_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},}$

y

${\displaystyle I+d\theta L_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Las reglas de cálculo para matrices de rotación infinitesimales son las habituales, excepto que se omiten los infinitesimales de segundo orden. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finitas ordinarias bajo el tratamiento habitual de los infinitesimales. ^{[ 1 ]} Resulta que el orden en que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Una matriz de rotación infinitesimal es una matriz antisimétrica donde:

• Como cualquier matriz de rotación tiene un único valor propio real, que es igual a +1, el vector propio correspondiente define el eje de rotación .
• Su módulo define un desplazamiento angular infinitesimal .

La forma de la matriz es la siguiente: $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}}$$

Estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de los infinitesimales. ^{[ 2 ]} Para comprender lo que esto significa, considere

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Primero, comprobemos la condición de ortogonalidad, Q ^T Q = I . El producto es

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{\textsf {T}}\,dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+d\theta ^{2}&0\\0&0&1+d\theta ^{2}\end{bmatrix}},}$

que difiere de una matriz identidad en infinitesimales de segundo orden, descartados aquí. Por lo tanto, en primera aproximación, una matriz de rotación infinitesimal es una matriz ortogonal.

A continuación, examine el cuadrado de la matriz,

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1-d\theta ^{2}&-2d\theta \\0&2\,d\theta &1-d\theta ^{2}\end{bmatrix}}.}$

Descartando nuevamente los efectos de segundo orden, observe que el ángulo simplemente se duplica. Esto sugiere la diferencia más esencial en el comportamiento, que podemos exhibir con la ayuda de una segunda rotación infinitesimal,

${\displaystyle dA_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\0&1&0\\-d\phi &0&1\end{bmatrix}}.}$

Compare los productos dA _x dA _y  con dA _y dA _x  ,

${\displaystyle {\begin{aligned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}}$

Desde${\displaystyle d\theta \,d\phi }$es de segundo orden, lo descartamos: por lo tanto, hasta primer orden, la multiplicación de matrices de rotación infinitesimales es conmutativa . De hecho,

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }=dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} },}$

nuevamente al primer orden. En otras palabras, el orden en que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Este hecho útil hace, por ejemplo, que la derivación de la rotación de un cuerpo rígido sea relativamente sencilla. Pero siempre hay que tener cuidado de distinguir (el tratamiento de primer orden de) estas matrices de rotación infinitesimales tanto de las matrices de rotación finitas como de los elementos del álgebra de Lie. Al contrastar el comportamiento de las matrices de rotación finitas en la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff anterior con el de las matrices de rotación infinitesimales, donde todos los términos del conmutador serán infinitesimales de segundo orden, se encuentra un espacio vectorial genuino . Técnicamente, este descarte de cualquier término de segundo orden equivale a una contracción de grupo .

Supongamos que especificamos un eje de rotación mediante un vector unitario [ x , y , z ], y supongamos que tenemos una rotación infinitesimal de ángulo Δ θ alrededor de ese vector. Expandiendo la matriz de rotación como una suma infinita, y tomando la aproximación de primer orden, la matriz de rotación Δ R se representa como:

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =I+A\,\Delta \theta .}$

Una rotación finita de ángulo θ alrededor de este eje puede verse como una sucesión de pequeñas rotaciones alrededor del mismo eje. Aproximando Δθ como θ / N , donde N es un número grande, una rotación de θ alrededor del eje puede representarse como:

${\displaystyle R=\lim _{N\to \infty }\left(I+{\frac {A\theta }{N}}\right)^{N}=\exp(A\theta ).}$

Se puede observar que el teorema de Euler establece esencialmente que todas las rotaciones pueden representarse de esta forma. El producto Aθ es el "generador" de la rotación en cuestión, siendo el vector ( x , y , z ) asociado a la matriz A. Esto demuestra que la matriz de rotación y el formato eje-ángulo están relacionados por la función exponencial.

Se puede derivar una expresión simple para el generador G. Se parte de un plano arbitrario ^{[ 3 ]} definido por un par de vectores unitarios perpendiculares a y b . En este plano se puede elegir un vector arbitrario x con perpendicular y . Luego se resuelve para y en términos de x y al sustituir en una expresión para una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R , que incluye el generador G = ba ^T − ab ^T.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{\mathsf {T}}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{\mathsf {T}}x\\y&=-ab^{\mathsf {T}}x+ba^{\mathsf {T}}x=\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\\\end{aligned}}}$

Para incluir vectores fuera del plano en la rotación, es necesario modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que particionan el espacio. Esta matriz de rotación modificada se puede reescribir como una función exponencial .

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=\exp(G\beta )\\\end{aligned}}}$

El análisis suele ser más sencillo en términos de estos generadores que con la matriz de rotación completa. El análisis en términos de los generadores se conoce como el álgebra de Lie del grupo de rotación.

La aplicación exponencial conecta el álgebra de Lie con el grupo de Lie , y se define utilizando la serie exponencial matricial estándar para exp( A ) ^{[ 4 ].} Para cualquier matriz antisimétrica A , exp( A ) es siempre una matriz de rotación. ^{[ a ]}

Un ejemplo práctico importante es el caso 3 × 3. En el grupo de rotación SO(3) , se muestra que se puede identificar cada A ∈ so (3) con un vector de Euler ω = θ u , donde u = ( x , y , z ) es un vector de magnitud unitaria.

Por las propiedades de la identificación su (2) ≅ R ³ , u está en el espacio nulo de A . Por lo tanto, u queda invariante por exp( A ) y es, por consiguiente, un eje de rotación.

Utilizando la fórmula de rotación de Rodrigues en forma matricial con θ = ⁠ θ / 2 ⁠ + ⁠ θ / 2 ⁠ , junto con las fórmulas estándar del ángulo doble se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})^{2},\end{aligned}}}$

Esta es la matriz para una rotación alrededor del eje u por el ángulo θ en forma de medio ángulo. Para obtener más detalles, consulte el mapa exponencial SO(3) .

Nótese que para ángulos infinitesimales los términos de segundo orden pueden ignorarse y permanece exp( A ) = I + A

Las matrices antisimétricas sobre el campo de los números reales forman el espacio tangente al grupo ortogonal real.${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$en la matriz identidad; formalmente, el álgebra de Lie ortogonal especial . En este sentido, entonces, las matrices antisimétricas pueden pensarse como rotaciones infinitesimales .

Otra forma de decirlo es que el espacio de matrices antisimétricas forma el álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}$del grupo de Lie${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$⁠ . El corchete de Lie en este espacio viene dado por el conmutador :

${\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}$

Es fácil comprobar que el conmutador de dos matrices antisimétricas también es antisimétrico:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=(AB)^{\textsf {T}}-(BA)^{\textsf {T}}=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}$

La exponencial matricial de una matriz antisimétrica${\displaystyle A}$es entonces una matriz ortogonal${\displaystyle R}$:

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}$

La imagen del mapa exponencial de un álgebra de Lie siempre se encuentra en la componente conexa del grupo de Lie que contiene el elemento identidad . En el caso del grupo de Lie ⁠${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$⁠ , este componente conexo es el grupo ortogonal especial ⁠${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$, que consiste en todas las matrices ortogonales con determinante 1. Por lo tanto,${\displaystyle R=\exp(A)}$tendrá determinante  +1. Además, dado que la aplicación exponencial de un grupo de Lie compacto conexo es siempre sobreyectiva, resulta que toda matriz ortogonal con determinante unitario puede escribirse como la exponencial de alguna matriz antisimétrica.

En el caso particularmente importante de dimensión${\displaystyle n=2,}$La representación exponencial de una matriz ortogonal se reduce a la conocida forma polar de un número complejo de módulo unitario. De hecho, si${\displaystyle n=2}$⁠ , una matriz ortogonal especial tiene la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}$

con​${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$Por lo tanto, poner${\displaystyle a=\cos \theta }$y​${\displaystyle b=\sin \theta }$⁠ , se puede escribir

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}$

que corresponde exactamente a la forma polar${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =\exp(i\theta )}$de un número complejo de módulo unitario.

En 3 dimensiones, la exponencial matricial es la fórmula de rotación de Rodrigues en notación matricial , y cuando se expresa mediante la fórmula de Euler-Rodrigues , el álgebra de sus cuatro parámetros da lugar a cuaterniones .

La representación exponencial de una matriz ortogonal de orden${\displaystyle n}$También se puede obtener a partir del hecho de que en dimensión${\displaystyle n}$cualquier matriz ortogonal especial${\displaystyle R}$ se puede escribir como${\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}}}$, donde${\displaystyle Q}$es ortogonal y S es una matriz diagonal por bloques con${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$bloques de orden  2, más uno de orden 1 si${\displaystyle n}$es impar; dado que cada bloque individual de orden 2 es también una matriz ortogonal, admite una forma exponencial. Correspondientemente, la matriz S se escribe como la exponencial de una matriz de bloques antisimétrica. ${\displaystyle \Sigma }$del formulario anterior ,${\displaystyle S=\exp(\Sigma )}$⁠ , de modo que ⁠${\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}})}$⁠ , exponencial de la matriz antisimétrica ⁠${\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}$Por el contrario, la sobreyectividad del mapa exponencial, junto con la diagonalización por bloques mencionada anteriormente para matrices antisimétricas, implica la diagonalización por bloques para matrices ortogonales.

• Generadores de rotaciones
• rotaciones infinitesimales
• Tensor de rotación infinitesimal
• Transformación infinitesimal
• Grupo de rotación SO(3)#Rotaciones infinitesimales

• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002), Mecánica clásica (tercera  ed.), Addison Wesley , ISBN 978-0-201-65702-9
• Wedderburn, Joseph HM (1934), Lecciones sobre matrices , AMS , ISBN 978-0-8218-3204-2{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )