Campo cerrado diferencialmente

En matemáticas , un campo diferencial K es diferencialmente cerrado si todo sistema finito de ecuaciones diferenciales con una solución en algún campo diferencial que extiende K ya tiene una solución en K. Este concepto fue introducido por Robinson (1959). Los campos diferencialmente cerrados son los análogos para ecuaciones diferenciales de los campos algebraicamente cerrados para ecuaciones polinómicas.

Recordemos que un cuerpo diferencial es un cuerpo dotado de un operador de derivación . Sea K un cuerpo diferencial con operador de derivación ∂.

• Un polinomio diferencial en x es un polinomio en las expresiones formales x , ∂ x , ∂ ² x , ... con coeficientes en K .
• El orden de un polinomio diferencial distinto de cero en x es el n más grande tal que ∂ ⁿ x ocurre en él, o −1 si el polinomio diferencial es una constante.
• El separante S _f de un polinomio diferencial de orden n ≥0 es la derivada de f con respecto a ∂ ⁿ x .
• El campo de constantes de K es el subcampo de elementos a con ∂ a =0.
• En un campo diferencial K de característica p distinta de cero , todas las potencias p son constantes. De ello se deduce que ni K ni su campo de constantes son perfectos , a menos que ∂ sea trivial. Un campo K con derivación ∂ se denomina diferencialmente perfecto si es de característica 0 o de característica p y cada constante es una potencia p de un elemento de K.
• Un campo diferencialmente cerrado es un campo diferencialmente perfecto K tal que si f y g son polinomios diferenciales tales que S _f ≠ 0 y g ≠ 0 y f tiene un orden mayor que el de g , entonces hay alguna x en K con f ( x )=0 y g ( x )≠ 0. (Algunos autores añaden la condición de que K tiene característica 0, en cuyo caso S _f es automáticamente distinto de cero, y K es automáticamente perfecto.)
• DCF _p es la teoría de campos diferencialmente cerrados de característica p (donde p es 0 o un primo).

Si tomamos g = 1 y f cualquier polinomio separable ordinario , se demuestra que cualquier campo diferencialmente cerrado es separablemente cerrado . En la característica 0 esto implica que es algebraicamente cerrado, pero en la característica p > 0 los campos diferencialmente cerrados nunca son algebraicamente cerrados.

A diferencia de los números complejos en la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados, no hay un ejemplo natural de un cuerpo diferencialmente cerrado. Cualquier cuerpo diferencialmente perfecto K tiene un cierre diferencial , una extensión del modelo primo , que es diferencialmente cerrado. Shelah demostró que el cierre diferencial es único hasta el isomorfismo sobre K . Shelah también demostró que el cuerpo diferencialmente cerrado primo de característica 0 (el cierre diferencial de los racionales) no es mínimo ; este fue un resultado bastante sorprendente, ya que no es lo que uno esperaría por analogía con cuerpos algebraicamente cerrados.

La teoría de DCF _p es completa y modelo completo (para p = 0 esto fue demostrado por Robinson, y para p > 0 por Wood (1973)). La teoría DCF _p es el modelo complementario de la teoría de campos diferenciales de característica p . Es la completitud del modelo de la teoría de campos diferencialmente perfectos de característica p si uno agrega al lenguaje un símbolo que da la raíz p ésima de constantes cuando p > 0. La teoría de campos diferenciales de característica p > 0 no tiene una completitud del modelo, y en la característica p = 0 es la misma que la teoría de campos diferencialmente perfectos por lo que tiene DCF ₀ como su completitud del modelo.

El número de campos diferencialmente cerrados de alguna cardinalidad infinita κ es 2 ^κ ; para κ incontable esto fue demostrado por Shelah (1973), y para κ contable por Hrushovski y Sokolovic.

La topología de Kolchin sobre K ^m se define tomando conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales sobre K en m variables como conjuntos básicos cerrados. Al igual que la topología de Zariski , la topología de Kolchin es noetheriana .

Un conjunto d-construible es una unión finita de conjuntos cerrados y abiertos en la topología de Kolchin. De manera equivalente, un conjunto d-construible es el conjunto de soluciones de una fórmula atómica o sin cuantificadores con parámetros en K.

Al igual que la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados, la teoría DCF ₀ de cuerpos diferencialmente cerrados de característica 0 elimina los cuantificadores . El contenido geométrico de esta afirmación es que la proyección de un conjunto d-construible es d-construible. También elimina los imaginarios, es completa y modelo completo.

En la característica p > 0, la teoría DCF _p elimina los cuantificadores en el lenguaje de los campos diferenciales con una función unaria r añadida que es la raíz p de todas las constantes, y es 0 en los elementos que no son constantes.

El Nullstellensatz diferencial es el análogo en álgebra diferencial del nullstellensatz de Hilbert .

• Un ideal diferencial o ∂-ideal es un ideal cerrado bajo ∂.
• Un ideal se llama radical si contiene todas las raíces de sus elementos.

Supongamos que K es un campo diferencialmente cerrado de característica 0. Entonces, el principio nulo diferencial de Seidenberg establece que hay una biyección entre

• Ideales diferenciales radicales en el anillo de polinomios diferenciales en n variables, y
• Subconjuntos ∂-cerrados de K ⁿ .

Esta correspondencia asigna un subconjunto ∂-cerrado al ideal de elementos que se desvanecen en él, y asigna un ideal a su conjunto de ceros.

En la característica 0, Blum demostró que la teoría de campos diferencialmente cerrados es ω-estable y tiene rango de Morley ω. ^{[ cita requerida ]} En la característica distinta de cero, Wood (1973) demostró que la teoría de campos diferencialmente cerrados no es ω-estable, y Shelah (1973) demostró con mayor precisión que es estable pero no superestable .

• Teoría diferencial de Galois

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