Análisis dimensional

Como ejemplos, la dimensión de la magnitud física velocidad v es $${\displaystyle \operatorname {dim} v={\frac {\text{longitud}}{\text{tiempo}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.}$$

La dimensión de la magnitud física aceleración a es $${\displaystyle \operatorname {dim} a={\frac {\text{velocidad}}{\text{tiempo}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.}$$

La dimensión de la magnitud física fuerza F es $${\displaystyle \operatorname {dim} F={\text{masa}}\times {\text{aceleración}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.}$$

La dimensión de la magnitud física presión P es $${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{fuerza}}{\text{área}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}.}$$

La dimensión de la magnitud física energía E es $${\displaystyle \operatorname {dim} E={\text{fuerza}}\times {\text{desplazamiento}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$$

La dimensión de la magnitud física potencia P es $${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{energía}}{\text{tiempo}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$$

La dimensión de la magnitud física carga eléctrica Q es $${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\text{actual}}\times {\text{tiempo}}={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.}$$

La dimensión de la magnitud física voltaje V es $${\displaystyle \operatorname {dim} V={\frac {\text{power}}{\text{current}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I}}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.}$$

La dimensión de la magnitud física capacitancia C es $${\displaystyle \operatorname {dim} C={\frac {\text{electric charge}}{\text{electric potential difference}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.}$$

En el análisis dimensional, el método de Rayleigh es una herramienta conceptual utilizada en física , química e ingeniería . Expresa la relación funcional de algunas variables mediante una ecuación exponencial . Recibe su nombre de Lord Rayleigh .

El método consta de los siguientes pasos:

1. Reúna todas las variables independientes que puedan influir en la variable dependiente .
2. Si R es una variable que depende de las variables independientes R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _n , entonces la ecuación funcional se puede escribir como R = F ( R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _n ) .
3. Escribe la ecuación anterior en la forma R = C R ₁ ^a R ₂ ^b R ₃ ^c ... R _n ^m , donde C es una constante adimensional y a , b , c , ..., m son exponentes arbitrarios.
4. Exprese cada una de las cantidades de la ecuación en algunas unidades base en las que se requiere la solución.
5. Utilizando la homogeneidad dimensional , obtenga un conjunto de ecuaciones simultáneas que involucren los exponentes a , b , c , ..., m .
6. Resuelve estas ecuaciones para obtener los valores de los exponentes a , b , c , ..., m .
7. Sustituya los valores de los exponentes en la ecuación principal y forme los parámetros adimensionales agrupando las variables con exponentes iguales.

Como desventaja, el método de Rayleigh no proporciona ninguna información sobre el número de grupos adimensionales que se obtendrán como resultado del análisis dimensional.

Los porcentajes son cantidades adimensionales, ya que son razones de dos cantidades con las mismas dimensiones. En otras palabras, el  signo % se puede leer como "centésimas", puesto que 1% = 1/100 .

Al derivar una cantidad, se divide la dimensión por la dimensión de la variable con respecto a la cual se deriva. Por lo tanto:

• La posición ( x ) tiene la dimensión L (longitud);
• La derivada de la posición con respecto al tiempo ( dx / dt , velocidad ) tiene dimensión T ⁻¹ L—longitud desde la posición, tiempo debido a la derivada;
• La segunda derivada ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , aceleración ) tiene dimensión T ⁻² L .

De igual modo, al tomar una integral se añade la dimensión de la variable con respecto a la cual se está integrando, pero en el numerador.

• La fuerza tiene la dimensión T ⁻² L M (masa multiplicada por aceleración);
• la integral de la fuerza con respecto a la distancia ( s ) que ha recorrido el objeto ( ⁠${\displaystyle \textstyle \int F\ ds}$⁠ , trabajo ) tiene dimensión T ⁻² L ² M .

En economía, se distingue entre existencias y flujos : una existencia tiene una unidad (por ejemplo, productos o dólares), mientras que un flujo es un derivado de una existencia y tiene una unidad de la forma de esta unidad dividida por una unidad de tiempo (por ejemplo, dólares/año).

En algunos contextos, las cantidades dimensionales se expresan como cantidades adimensionales o porcentajes omitiendo algunas dimensiones. Por ejemplo, los ratios deuda/PIB se suelen expresar como porcentajes: deuda total pendiente (dimensión monetaria) dividida por el PIB anual (dimensión monetaria). Sin embargo, se podría argumentar que, al comparar un stock con un flujo, el PIB anual debería tener dimensiones monetarias/temporales (dólares/año, por ejemplo) y, por lo tanto, la relación deuda/PIB debería tener la unidad anual, lo que indica que esta relación representa el número de años necesarios para que un PIB constante pague la deuda, si todo el PIB se destina al pago de la deuda y esta permanece invariable.

Una aplicación sencilla del análisis dimensional a las matemáticas consiste en calcular la forma del volumen de una n -bola (la esfera sólida en n dimensiones) o el área de su superficie, la n -esfera : al ser una figura n -dimensional, el volumen escala como x ⁿ , mientras que el área de la superficie, al ser ( n -1) -dimensional, escala como x ^{n -1} . Así, el volumen de la n -bola en función del radio es C _n r ⁿ , para alguna constante C _n . Determinar la constante requiere matemáticas más complejas, pero la forma puede deducirse y comprobarse únicamente mediante el análisis dimensional.

En finanzas, economía y contabilidad, el análisis dimensional se suele entender como la distinción entre existencias y flujos . En términos más generales, el análisis dimensional se utiliza para interpretar diversos ratios financieros , económicos y contables.

• Por ejemplo, la relación precio/beneficio (P/E) tiene dimensiones de tiempo (unidad: año) y puede interpretarse como "años de ganancias para obtener el precio pagado".
• En economía, la relación deuda/PIB también se expresa en años (la deuda se mide en unidades monetarias, el PIB en unidades monetarias/año).
• La velocidad del dinero tiene una unidad de 1/año (PIB/oferta monetaria tiene una unidad de moneda/año sobre moneda): con qué frecuencia circula una unidad monetaria por año.
• Los tipos de interés anuales con capitalización continua y los tipos de interés simples suelen expresarse como un porcentaje (cantidad adimensional), mientras que el tiempo se expresa como una cantidad adimensional que consiste en el número de años. Sin embargo, si el tiempo incluye el año como unidad de medida, la dimensión del tipo es 1/año. Por supuesto, no hay nada especial (aparte de la convención habitual) en usar el año como unidad de tiempo: se puede usar cualquier otra unidad de tiempo. Además, si el tipo y el tiempo incluyen sus unidades de medida, el uso de unidades diferentes para cada uno no supone ningún problema. En cambio, si el tipo y el tiempo son adimensionales, deben referirse a un período común. (Cabe señalar que los tipos de interés efectivos solo pueden definirse como cantidades adimensionales).
• En el análisis financiero, la duración de un bono se define como ( dV / dr )/ V , donde V es el valor del bono (o cartera), r es la tasa de interés compuesta continuamente y dV / dr es un derivado. Según lo anterior, la dimensión de r es 1/tiempo. Por lo tanto, la dimensión de la duración es el tiempo (generalmente expresado en años), ya que dr se encuentra en el denominador del derivado.

En mecánica de fluidos , el análisis dimensional se realiza para obtener términos o grupos pi adimensionales. Según los principios del análisis dimensional, cualquier prototipo puede describirse mediante una serie de estos términos o grupos que describen el comportamiento del sistema. Utilizando términos o grupos pi adecuados, es posible desarrollar un conjunto similar de términos pi para un modelo que tenga las mismas relaciones dimensionales. ^{[ 9 ]} En otras palabras, los términos pi proporcionan un atajo para desarrollar un modelo que represente un prototipo determinado. Los grupos adimensionales comunes en mecánica de fluidos incluyen:

• Número de Reynolds ( Re ), generalmente importante en todo tipo de problemas de fluidos:$${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.}$$
• Número de Froude ( Fr ), modelado de flujo con una superficie libre:$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}$$
• Número de Euler ( Eu ), utilizado en problemas en los que la presión es de interés:$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.}$$
• Número de Mach ( Ma ), importante en flujos de alta velocidad donde la velocidad se aproxima o supera la velocidad local del sonido:$${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}$$donde c es la velocidad local del sonido.

¿Cuál es el período de oscilación T de una masa m unida a un resorte lineal ideal con constante elástica k, suspendido en una gravedad de magnitud g ? Dicho período es la solución para T de una ecuación adimensional en las variables T , m , k y g . Las cuatro cantidades tienen las siguientes dimensiones: T (T); m (M); k (M/T² ⁾ ; y g (L/T² ⁾ . A partir de estas, podemos formar un único producto adimensional de potencias de las variables elegidas: _G₁ = T²k / m ( T² · ^M /T² ^/ M = 1) , y al sustituir G₁ ₌ C por alguna constante adimensional C, ^obtenemos la ecuación adimensional buscada. El producto adimensional de potencias de variables se denomina a veces grupo adimensional de variables; en este caso, el término «grupo» se refiere a «colección» más que a grupo matemático . También se les suele llamar números adimensionales .

La variable g no aparece en el grupo. Es fácil ver que es imposible formar un producto adimensional de potencias que combine g con k , m y T , porque g es la única cantidad que involucra la dimensión L. Esto implica que en este problema g es irrelevante. El análisis dimensional a veces puede producir afirmaciones contundentes sobre la irrelevancia de algunas cantidades en un problema, o la necesidad de parámetros adicionales. Si hemos elegido suficientes variables para describir adecuadamente el problema, entonces de este argumento podemos concluir que el período de la masa en el resorte es independiente de g : es el mismo en la Tierra o en la Luna. La ecuación que demuestra la existencia de un producto de potencias para nuestro problema se puede escribir de una manera completamente equivalente :${\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}$⁠ , para alguna constante adimensional κ (igual a${\displaystyle {\sqrt {C}}}$a partir de la ecuación adimensional original).

Cuando nos encontramos ante un caso en el que el análisis dimensional rechaza una variable ( g , en este caso) que intuitivamente se espera que pertenezca a una descripción física de la situación, otra posibilidad es que la variable rechazada sea relevante, pero que se haya omitido alguna otra variable relevante que, combinada con la rechazada, podría formar una magnitud adimensional. Sin embargo, este no es el caso.

Cuando el análisis dimensional produce solo un grupo adimensional, como en este caso, no hay funciones desconocidas y se dice que la solución es "completa", aunque aún puede involucrar constantes adimensionales desconocidas, como κ .

Consideremos el caso de un alambre vibrante de longitud ℓ (L) que vibra con una amplitud A (L). El alambre tiene una densidad lineal ρ (M/L) y está sometido a _una tensión s (LM/T² ⁾ , y queremos conocer la energía E (L²M ^/ T² ⁾ en el alambre. Sean π₁ y π₂ dos productos adimensionales de _potencias de las variables elegidas, dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}}$

La densidad lineal del alambre no está involucrada. Los dos grupos encontrados se pueden combinar en una forma equivalente como una ecuación.

${\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,}$

donde F es alguna función desconocida, o, equivalentemente como

${\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),}$

donde f es alguna otra función desconocida. Aquí, la función desconocida implica que nuestra solución ahora es incompleta, pero el análisis dimensional nos ha dado algo que tal vez no hubiera sido obvio: la energía es proporcional a la primera potencia de la tensión. A falta de un análisis analítico más profundo, podríamos proceder a realizar experimentos para descubrir la forma de la función desconocida f . Pero nuestros experimentos son más simples que en ausencia de análisis dimensional. No realizaríamos ninguno para verificar que la energía es proporcional a la tensión. O tal vez podríamos suponer que la energía es proporcional a ℓ , y así inferir que E = ℓs . El poder del análisis dimensional como ayuda para la experimentación y la formulación de hipótesis se hace evidente.  

El poder del análisis dimensional se hace realmente evidente cuando se aplica a situaciones, distintas a las mencionadas anteriormente, que son más complejas, donde el conjunto de variables involucradas no es evidente y las ecuaciones subyacentes son sumamente complejas. Consideremos, por ejemplo, una pequeña piedra sobre el lecho de un río. Si el río fluye con la suficiente rapidez, la piedra se elevará y será arrastrada por la corriente. ¿A qué velocidad crítica ocurrirá esto? Determinar las variables supuestas no es tan sencillo como antes. Sin embargo, el análisis dimensional puede ser una herramienta poderosa para comprender problemas como este, y suele ser la primera que se aplica a problemas complejos donde las ecuaciones y restricciones subyacentes no se comprenden bien. En tales casos, la respuesta puede depender de un número adimensional , como el número de Reynolds , que puede interpretarse mediante el análisis dimensional.

Consideremos el caso de un disco delgado, sólido, de caras paralelas y giratorio, con un espesor axial t (L) y un radio ^R ( L). El disco tiene una densidad ρ (M/L³ ⁾ , gira a una velocidad angular ω (T⁻¹ ⁾ y esto produce una tensión S (T⁻²L⁻¹M ⁾ en el material. Existe una solución elástica lineal teórica, propuesta por Lamé, para este problema cuando el disco es delgado en relación con su radio, las caras del disco pueden moverse axialmente libremente y se pueden asumir las relaciones constitutivas de tensión plana. A medida que el disco se vuelve más grueso en relación con el radio, la solución de tensión plana deja de ser válida. Si el disco está restringido axialmente en sus caras libres, se producirá un estado de deformación plana. Sin embargo, si este no es el caso, el estado de tensión solo puede determinarse mediante la consideración de la elasticidad tridimensional y no existe una solución teórica conocida para este caso. Por lo tanto, un ingeniero podría estar interesado en establecer una relación entre las cinco variables. El análisis dimensional para este caso conduce a los siguientes grupos adimensionales ( 5 − 3 = 2 ):

demanda/capacidad = ρR ² ω ² / S

espesor/radio o relación de aspecto = t / R

Mediante experimentos numéricos, utilizando, por ejemplo, el método de elementos finitos , se puede obtener la naturaleza de la relación entre los dos grupos adimensionales, como se muestra en la figura. Dado que este problema solo involucra dos grupos adimensionales, se proporciona una imagen completa en un solo gráfico, que puede utilizarse como diagrama de diseño/evaluación para discos giratorios. ^{[ 22 ]}

Las dimensiones que se pueden formar a partir de un conjunto dado de dimensiones físicas básicas, como T, L y M, forman un grupo abeliano : la identidad se escribe como 1; L ⁰ = 1 , y el inverso de L es 1/L o L ⁻¹ . L elevado a cualquier potencia entera p es un miembro del grupo, teniendo un inverso de L ^{− p} o 1/L ^p . La operación del grupo es la multiplicación, con las reglas habituales para manejar exponentes ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ). Físicamente, 1/L puede interpretarse como longitud recíproca , y 1/T como tiempo recíproco (véase segundo recíproco ).

Un grupo abeliano es equivalente a un módulo sobre los enteros, donde el símbolo dimensional T ⁱ L ^j M ^k corresponde a la tupla ( i , j , k ) . Cuando cantidades físicas medidas (ya sean de la misma dimensión o de dimensiones diferentes) se multiplican o dividen entre sí, sus unidades dimensionales también se multiplican o dividen; esto corresponde a la suma o resta en el módulo. Cuando cantidades medibles se elevan a una potencia entera, se realiza la misma operación con los símbolos dimensionales asociados a dichas cantidades; esto corresponde a la multiplicación escalar en el módulo.

La base de un módulo de símbolos dimensionales se denomina conjunto de cantidades base , y todos los demás vectores se denominan unidades derivadas. Como en cualquier módulo, se pueden elegir diferentes bases , lo que da lugar a diferentes sistemas de unidades (por ejemplo, elegir si la unidad de carga se deriva de la unidad de corriente, o viceversa).

La identidad del grupo, la dimensión de cantidades adimensionales, corresponde al origen en este módulo, (0, 0, 0) .

En ciertos casos, se pueden definir dimensiones fraccionarias, específicamente definiendo formalmente potencias fraccionarias de espacios vectoriales unidimensionales, como V ^{L 1/2} . ^{[ 23 ]} Sin embargo, no es posible tomar potencias fraccionarias arbitrarias de unidades, debido a obstrucciones de la teoría de la representación . ^{[ 24 ]}

Se puede trabajar con espacios vectoriales de dimensiones dadas sin necesidad de usar unidades (que corresponden a los sistemas de coordenadas de los espacios vectoriales). Por ejemplo, dadas las dimensiones M y L , se tienen los espacios vectoriales V ^M y V ^L , y se puede definir V ^ML  := V ^M ⊗ V ^L como el producto tensorial . De manera similar, el espacio dual puede interpretarse como si tuviera dimensiones "negativas". ^{[ 25 ]} Esto corresponde al hecho de que, bajo el emparejamiento natural entre un espacio vectorial y su dual, las dimensiones se cancelan, dejando un escalar adimensional .

El conjunto de unidades de las magnitudes físicas involucradas en un problema corresponde a un conjunto de vectores (o una matriz). La nulidad describe un número (por ejemplo, m ) de maneras en que estos vectores pueden combinarse para producir un vector cero. Esto corresponde a producir (a partir de las mediciones) una serie de magnitudes adimensionales, {π ₁ , ..., π _m } . (De hecho, estas maneras abarcan completamente el subespacio nulo de otro espacio diferente, de potencias de las mediciones). Cada forma posible de multiplicar (y exponenciar ) las magnitudes medidas para producir algo con la misma unidad que alguna magnitud derivada X puede expresarse en la forma general

${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.}$

En consecuencia, toda ecuación conmensurable posible para la física del sistema puede reescribirse en la forma

${\displaystyle f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.}$

Conocer esta restricción puede ser una herramienta poderosa para obtener nuevos conocimientos sobre el sistema.

La dimensión de las magnitudes físicas de interés en mecánica puede expresarse en términos de las dimensiones base T, L y M, que forman un espacio vectorial tridimensional. Esta no es la única elección válida de dimensiones base, pero es la más utilizada. Por ejemplo, se podría elegir fuerza, longitud y masa como dimensiones base (como algunos han hecho), con las dimensiones asociadas F, L y M; esto corresponde a una base diferente, y se puede convertir entre estas representaciones mediante un cambio de base . La elección del conjunto base de dimensiones es, por lo tanto, una convención, con la ventaja de una mayor utilidad y familiaridad. La elección de las dimensiones base no es del todo arbitraria, ya que deben formar una base : deben abarcar el espacio y ser linealmente independientes .

Por ejemplo, F, L, M forman un conjunto de dimensiones fundamentales porque forman una base que es equivalente a T, L, M: la primera se puede expresar como [F = LM/T ² ], L, M, mientras que la segunda se puede expresar como [T = (LM/F) ^1/2 ], L, M.

Por otro lado, la longitud, la velocidad y el tiempo (T, L, V) no forman un conjunto de dimensiones básicas para la mecánica, por dos razones:

• No hay forma de obtener masa, ni nada derivado de ella, como la fuerza, sin introducir otra dimensión base (por lo tanto, no abarcan el espacio ).
• La velocidad, al poder expresarse en términos de longitud y tiempo ( V = L/T ), es redundante (el conjunto no es linealmente independiente ).

Dependiendo del campo de la física, puede ser ventajoso elegir uno u otro conjunto extendido de símbolos dimensionales. En electromagnetismo, por ejemplo, puede ser útil usar las dimensiones T, L, M y Q, donde Q representa la dimensión de carga eléctrica . En termodinámica , el conjunto base de dimensiones a menudo se extiende para incluir una dimensión para la temperatura, Θ. En química, la cantidad de sustancia (el número de moléculas dividido por la constante de Avogadro , ≈6,02 × 10 ²³  mol ⁻¹ ) también se define como una dimensión base, N. En la interacción de plasma relativista con pulsos láser fuertes, se construye un parámetro de similitud relativista adimensional , conectado con las propiedades de simetría de la ecuación de Vlasov sin colisiones , a partir de las densidades de plasma, electrones y crítica, además del potencial vectorial electromagnético. La elección de las dimensiones o incluso el número de dimensiones a utilizar en diferentes campos de la física es hasta cierto punto arbitraria, pero la coherencia en el uso y la facilidad de comunicación son características comunes y necesarias.

El teorema de Bridgman restringe el tipo de función que puede usarse para definir una magnitud física, desde magnitudes generales (compuestas dimensionalmente) hasta solo productos de potencias de dichas magnitudes, a menos que algunas de las magnitudes independientes se combinen algebraicamente para producir grupos adimensionales, cuyas funciones se agrupan en el factor multiplicador numérico adimensional. ^{[ 26 ] [ 27 ]} Esto excluye los polinomios de más de un término o las funciones trascendentales que no sean de esa forma.

Los argumentos escalares de funciones trascendentales, como las exponenciales , trigonométricas y logarítmicas , o de polinomios no homogéneos , deben ser cantidades adimensionales . (Nota: este requisito se flexibiliza un poco en el análisis orientacional de Siano que se describe más adelante, en el que el cuadrado de ciertas cantidades dimensionales es adimensional).

Si bien la mayoría de las identidades matemáticas sobre números adimensionales se traducen de manera directa a cantidades dimensionales, se debe tener cuidado con los logaritmos de razones: la identidad log( a / b ) = log a − log b , donde el logaritmo se toma en cualquier base, se cumple para números adimensionales a y b , pero no se cumple si a y b son dimensionales, porque en este caso el lado izquierdo está bien definido pero el lado derecho no lo está. ^{[ 28 ]}

De manera similar, si bien se pueden evaluar monomios ( x ⁿ ) de cantidades dimensionales, no se pueden evaluar polinomios de grado mixto con coeficientes adimensionales en cantidades dimensionales: para x ² , la expresión (3 m) ² = 9 m ² tiene sentido (como un área), mientras que para x ² + x , la expresión (3 m) ² + 3 m = 9 m ² + 3 m no tiene sentido.

Sin embargo, los polinomios de grado mixto pueden tener sentido si los coeficientes son cantidades físicas adecuadamente elegidas que no sean adimensionales. Por ejemplo,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.}$

Esta es la altura a la que un objeto asciende en un tiempo t si la aceleración de la gravedad es de 9,8 metros por segundo al cuadrado y la velocidad inicial hacia arriba es de 500 metros por segundo . No es necesario que t esté en segundos . Por ejemplo, supongamos que t = 0,01 minutos. Entonces el primer término sería    

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}}$

El valor de una magnitud física dimensional Z se escribe como el producto de una unidad [ Z ] dentro de la dimensión y un valor numérico adimensional o factor numérico, n . ^{[ 29 ]}

${\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}$

Cuando se suman, restan o comparan cantidades de dimensiones similares, resulta conveniente expresarlas en la misma unidad para que sus valores numéricos puedan sumarse o restarse directamente. Sin embargo, conceptualmente, no hay problema en sumar cantidades de la misma dimensión expresadas en unidades diferentes. Por ejemplo, 1 metro sumado a 1 pie es una longitud, pero no se puede obtener esa longitud simplemente sumando 1 y 1. Se necesita un factor de conversión , que es una razón entre cantidades de dimensiones similares e igual a la unidad adimensional.

${\displaystyle \mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m} }$es idéntico a${\displaystyle 1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.}$

El factor 0,3048  m/ft es idéntico al 1 adimensional, por lo que multiplicar por este factor de conversión no produce ningún cambio. Al sumar dos cantidades de la misma dimensión, pero expresadas en unidades diferentes, se utiliza el factor de conversión apropiado, que es esencialmente el 1 adimensional, para convertir las cantidades a la misma unidad y así poder sumar o restar sus valores numéricos.

Solo de esta manera tiene sentido hablar de sumar cantidades de dimensiones similares pero de unidades diferentes.

Una ecuación de cantidad , también llamada a veces ecuación completa , es una ecuación que permanece válida independientemente de la unidad de medida utilizada al expresar las cantidades físicas . ^{[ 30 ]}

En cambio, en una ecuación numérica , solo aparecen los valores numéricos de las cantidades, sin unidades. Por lo tanto, solo es válida cuando cada valor numérico se refiere a una unidad específica.

Por ejemplo, una ecuación cuantitativa para el desplazamiento d como velocidad s multiplicada por la diferencia de tiempo t sería:

d = s t

para s = 5  m/s, donde t y d pueden expresarse en cualquier unidad, convertida si es necesario. En cambio, una ecuación numérica correspondiente sería:

D = 5 T

donde T es el valor numérico de t expresado en segundos y D es el valor numérico de d expresado en metros.

En general, se desaconseja el uso de ecuaciones con valores numéricos. ^{[ 30 ]}

Las constantes adimensionales que aparecen en los resultados obtenidos, como la C en el problema de la Ley de Poiseuille y la κ en los problemas de resorte mencionados anteriormente, provienen de un análisis más detallado de la física subyacente y suelen surgir de la integración de alguna ecuación diferencial. El análisis dimensional en sí mismo aporta poca información sobre estas constantes, pero es útil saber que a menudo tienen una magnitud del orden de la unidad. Esta observación permite realizar cálculos aproximados sobre el fenómeno de interés y, por lo tanto, diseñar experimentos más eficientes para medirlo o determinar su importancia, etc.

Paradójicamente, el análisis dimensional puede ser una herramienta útil incluso si todos los parámetros de la teoría subyacente son adimensionales; por ejemplo, los modelos de red, como el modelo de Ising, pueden utilizarse para estudiar transiciones de fase y fenómenos críticos. Dichos modelos pueden formularse de forma puramente adimensional. A medida que nos acercamos al punto crítico, la distancia sobre la que las variables del modelo de red están correlacionadas (la denominada longitud de correlación, χ ) se hace cada vez mayor. Ahora bien, la longitud de correlación es la escala de longitud relevante relacionada con los fenómenos críticos, por lo que se puede, por ejemplo, suponer, basándose en criterios dimensionales, que la parte no analítica de la energía libre por sitio de la red debería ser ~ 1/ χ ^d , donde d es la dimensión de la red.

Algunos físicos, como Michael J. Duff , ^{[ 5 ] [ 31 ]} sostienen que las leyes de la física son inherentemente adimensionales. Según este punto de vista, el hecho de que hayamos asignado dimensiones incompatibles a la longitud, el tiempo y la masa es simplemente una convención, derivada de que, antes del advenimiento de la física moderna, no existía una forma de relacionar la masa, la longitud y el tiempo entre sí. Las tres constantes dimensionales independientes: c , ħ y G , en las ecuaciones fundamentales de la física, deben considerarse entonces como meros factores de conversión para transformar la masa, el tiempo y la longitud entre sí.

Al igual que en el caso de las propiedades críticas de los modelos reticulares, se pueden recuperar los resultados del análisis dimensional en el límite de escala apropiado; por ejemplo, el análisis dimensional en mecánica se puede derivar reinsertando las constantes ħ , c y G (pero ahora podemos considerarlas adimensionales) y exigiendo que exista una relación no singular entre las cantidades en el límite c → ∞ , ħ → 0 y G → 0. En problemas que involucran un campo gravitatorio, se debe tomar este último límite de manera que el campo permanezca finito.

Algunas discusiones sobre análisis dimensional describen implícitamente todas las cantidades como vectores matemáticos, pero esto no es correcto. Los números se utilizan a menudo para representar elementos que no pertenecen a espacios vectoriales, y el análisis dimensional no debería aplicarse a tales elementos. En física, los escalares son cantidades positivas como el peso o la distancia, con magnitud pero sin dirección (aunque muchos autores permiten, de forma imprecisa, que los escalares sean negativos); los vectores se pueden sumar o restar a otros vectores y, entre otras cosas, multiplicar o dividir por escalares. Si se utiliza un vector para definir una posición, esto presupone un punto de referencia implícito: un origen . Si bien esto es útil y a menudo perfectamente adecuado, permitiendo detectar muchos errores importantes, puede resultar insuficiente para modelar ciertos aspectos de la física. Un enfoque más riguroso requiere distinguir entre posición y desplazamiento, fecha y duración, rumbo y ángulo, y temperatura absoluta y variación de temperatura.

Consideremos puntos en una línea de tiempo, cada uno con una fecha respecto a un origen dado, y duraciones entre ellos. Las fechas son etiquetas de los puntos, mientras que las duraciones entre puntos tienen una dimensión temporal:

• Sumar dos duraciones debería dar como resultado una nueva duración (esperar diez días y luego veinte días te da treinta días más adelante).
• Agregar una duración a una fecha debería generar una nueva fecha (esperar un mes desde el 1 de marzo de 1900 te llevará al 1 de abril).
• restar dos fechas debería dar como resultado una duración,
• pero no se pueden sumar dos fechas (sumar el 1 de marzo al 1 de abril no tiene sentido).

Esto ilustra la sutil distinción de tipos entre valores afines (elementos de un espacio afín , como la fecha) y valores vectoriales (elementos de un espacio vectorial , como la duración).

• Los vectores se pueden sumar entre sí, dando como resultado un nuevo vector, y un vector se puede sumar a una magnitud afín adecuada (un espacio vectorial actúa sobre un espacio afín), dando como resultado una nueva magnitud afín.
• Las cantidades afines no se pueden sumar, pero sí se pueden restar, dando como resultado cantidades relativas que son vectores, y estas diferencias relativas se pueden sumar entre sí o a una cantidad afín.

En realidad, las fechas y las posiciones no son magnitudes dimensionales, sino magnitudes afines . Las duraciones y los desplazamientos sí son magnitudes dimensionales. Para representar magnitudes dimensionales con números, basta con seleccionar una unidad de referencia. Para representar magnitudes afines como la fecha y la posición en términos de magnitudes dimensionales, además de la unidad de referencia, también es necesario seleccionar un punto de referencia y un sistema de coordenadas.

Si bien algunas magnitudes están bien representadas por magnitudes vectoriales a las que se puede aplicar el análisis dimensional, otras se representan de forma más natural en un espacio afín, y otras, como las orientaciones y las probabilidades, son elementos de otros espacios.

Esta distinción es particularmente importante en el caso de la temperatura, para la cual el valor numérico del cero absoluto no es el origen 0 en algunas escalas. Para el cero absoluto,

−273,15  °C ≘ 0  K = 0  °R ≘ −459,67  °F,

donde el símbolo ≘ significa corresponde a , ya que aunque estos valores en las respectivas escalas de temperatura se corresponden, representan cantidades distintas de la misma manera que las distancias desde distintos puntos de partida hasta el mismo punto final son cantidades distintas y, en general, no pueden igualarse.

Para diferencias de temperatura,

1  K = 1  °C ≠ 1  °F = 1  °R.

(Aquí °R se refiere a la escala Rankine , no a la escala Réaumur ). La conversión de unidades para las diferencias de temperatura es simplemente cuestión de multiplicar por, por ejemplo, 1  °F / 1  K. Pero como algunas de estas escalas tienen orígenes que no corresponden al cero absoluto, la conversión de una escala de temperatura a otra requiere tenerlo en cuenta. Como resultado, un análisis dimensional simple puede generar errores si no está claro si 1  K significa la temperatura absoluta correspondiente a la temperatura Celsius de −272,15  °C, o una diferencia de temperatura igual a 1  °C.

Similar a la cuestión del punto de referencia es la de la orientación: un desplazamiento en 2 o 3 dimensiones no es solo una longitud, sino una longitud junto con una dirección . (En 1 dimensión, esta cuestión es equivalente a la distinción entre positivo y negativo). Por lo tanto, para comparar o combinar cantidades bidimensionales en el espacio euclidiano multidimensional, también se necesita una orientación: es necesario compararlas con un marco de referencia .

Esto nos lleva a las extensiones que se analizan a continuación, a saber, las dimensiones dirigidas de Huntley y el análisis orientacional de Siano.

Huntley ha señalado que un análisis dimensional puede volverse más poderoso al descubrir nuevas dimensiones independientes en las cantidades consideradas, aumentando así el rango.${\displaystyle m}$de la matriz dimensional. ^{[ 54 ]}

Introdujo dos enfoques:

• Las magnitudes de las componentes de un vector deben considerarse dimensionalmente independientes. Por ejemplo, en lugar de una dimensión de longitud L sin diferenciar, podemos usar L _x para representar la dimensión en la dirección x, y así sucesivamente. Este requisito se deriva, en última instancia, de la exigencia de que cada componente de una ecuación físicamente significativa (escalar, vectorial o tensorial) debe ser dimensionalmente consistente.
• La masa, como medida de la cantidad de materia, debe considerarse dimensionalmente independiente de la masa como medida de inercia.

Los ángulos se consideran, por convención, cantidades adimensionales (aunque la conveniencia de esto es cuestionada). ^{[ 55 ]} Como ejemplo, consideremos nuevamente el problema del proyectil en el que una masa puntual se lanza desde el origen ( x , y ) = (0, 0) a una velocidad v y un ángulo θ sobre el eje x , con la fuerza de gravedad dirigida a lo largo del eje y negativo . Se desea encontrar el alcance R , en el cual la masa regresa al eje x . El análisis convencional dará como resultado la variable adimensional π = R g / v ² , pero no ofrece ninguna información sobre la relación entre R y θ .

Siano ha sugerido que las dimensiones dirigidas de Huntley se reemplacen utilizando los símbolos de orientación 1 _x  1 _y  1 _z para denotar direcciones vectoriales, y un símbolo sin orientación 1 ₀ . ^{[ 56 ]} Así, L _x de Huntley se convierte en L1 _x, donde L especifica la dimensión de longitud y 1 _x especifica la orientación. Siano muestra además que los símbolos de orientación tienen su propio álgebra. Junto con el requisito de que 1 _i ⁻¹ = 1 _i , se obtiene la siguiente tabla de multiplicación para los símbolos de orientación:

Los símbolos de orientación forman un grupo (el grupo de Klein de cuatro elementos o "Viergruppe"). En este sistema, los escalares siempre tienen la misma orientación que el elemento identidad, independientemente de la "simetría del problema". Las cantidades físicas que son vectores tienen la orientación esperada: una fuerza o una velocidad en la dirección z tiene la orientación de 1 _z . Para los ángulos, consideremos un ángulo θ que se encuentra en el plano z. Formemos un triángulo rectángulo en el plano z con θ como uno de los ángulos agudos. El lado del triángulo rectángulo adyacente al ángulo tiene entonces una orientación 1 _x y el lado opuesto tiene una orientación 1 _y . Dado que (usando ~ para indicar equivalencia de orientación) tan( θ ) = θ  +  ... ~ 1 _y /1 _x, concluimos que un ángulo en el plano xy debe tener una orientación 1 _y /1 _x = 1 _z , lo cual no es descabellado. Un razonamiento análogo lleva a la conclusión de que sin( θ ) tiene orientación 1 _z mientras que cos( θ ) tiene orientación 1 _0. Estas son diferentes, por lo que se concluye (correctamente), por ejemplo, que no hay soluciones de ecuaciones físicas que sean de la forma a cos( θ ) + b sin( θ ) , donde a y b son escalares reales. Una expresión como${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )}$no es dimensionalmente inconsistente ya que es un caso especial de la fórmula de la suma de ángulos y debería escribirse correctamente:

${\displaystyle \sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),}$

que para${\displaystyle a=\theta }$y${\displaystyle b=\pi /2}$rinde ⁠${\displaystyle \sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}$⁠ . Siano distingue entre ángulos geométricos, que tienen una orientación en el espacio tridimensional, y ángulos de fase asociados con oscilaciones basadas en el tiempo, que no tienen orientación espacial, es decir, la orientación de un ángulo de fase es ⁠${\displaystyle 1_{0}}$⁠ .

La asignación de símbolos de orientación a magnitudes físicas y el requisito de que las ecuaciones físicas sean homogéneas en cuanto a su orientación pueden utilizarse, de forma similar al análisis dimensional, para obtener más información sobre soluciones aceptables a problemas físicos. En este enfoque, se resuelve la ecuación dimensional hasta donde sea posible. Si la potencia más baja de una variable física es fraccionaria, ambos lados de la solución se elevan a una potencia tal que todas las potencias sean enteras, transformándola en la forma normal . A continuación, se resuelve la ecuación de orientación para obtener una condición más restrictiva sobre las potencias desconocidas de los símbolos de orientación. La solución resultante es más completa que la que proporciona únicamente el análisis dimensional. Con frecuencia, la información adicional consiste en determinar si una de las potencias de una variable determinada es par o impar.

Como ejemplo, para el problema del proyectil, utilizando símbolos de orientación, θ , estando en el plano xy tendrá dimensión 1 _z y el alcance del proyectil R será de la forma:

${\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,}$

La homogeneidad dimensional ahora dará correctamente a = −1 y b = 2 , y la homogeneidad orientacional requiere que ⁠${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$⁠ . En otras palabras, que c debe ser un entero impar. De hecho, la función requerida de theta será sin( θ )cos( θ ) , que es una serie que consta de potencias impares de θ .

Se observa que las series de Taylor de sin( θ ) y cos( θ ) son homogéneas en cuanto a su orientación utilizando la tabla de multiplicación anterior, mientras que expresiones como cos( θ ) + sin( θ ) y exp( θ ) no lo son y se consideran (correctamente) no físicas.

El análisis de orientación de Siano es compatible con la concepción convencional de las magnitudes angulares como adimensionales, y dentro de este análisis, el radián puede considerarse una unidad adimensional. El análisis de orientación de una ecuación de magnitud se realiza por separado del análisis dimensional ordinario, proporcionando información que complementa dicho análisis.

• Covarianza y contravarianza de vectores
• Álgebra exterior
• álgebra geométrica
• Cálculo de cantidades