quíntuple diofántico

En teoría de números , una m -tupla diofántica es un conjunto de m enteros positivos.${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots ,a_{m}\}}$de tal manera que${\displaystyle a_{i}a_{j}+1}$es un cuadrado perfecto para cualquier${\displaystyle 1\leq i<j\leq m.}$^{[ 1 ]} Un conjunto demnúmeros racionalespositivoscon la propiedad similar de que elproductode cualesquiera dos es uno menos que uncuadrado racionalse conoce como unam-tupladiofántica racional.

La primera cuádrupla diofántica fue hallada por Fermat :${\displaystyle \{1,3,8,120\}.}$^{[ 1 ] En 1969, Baker y Davenport [ 1 ]} demostraronque no se puede agregar un quinto entero positivo a este conjunto. Sin embargo,Eulerpudo extender este conjunto agregando el número racional ${\displaystyle {\tfrac {777480}{8288641}}.}$^{[ 1 ]}

La cuestión de la existencia de quíntuplas diofánticas ( enteras ) fue uno de los problemas sin resolver más antiguos de la teoría de números . En 2004, Andrej Dujella demostró que, como máximo, existe un número finito de quíntuplas diofánticas. ^{[ 1 ]} En 2016, He, Togbé y Ziegler demostraron que no existen tales quíntuplas. ^{[ 2 ]}

Como demostró Euler, todo par diofántico puede extenderse a una cuádrupla diofántica. Lo mismo ocurre con toda tripleta diofántica. En ambos tipos de extensión, al igual que en la cuádrupla de Fermat, es posible añadir un quinto número racional en lugar de un entero. ^{[ 3 ]}

El propio Diofanto descubrió la cuádrupla diofántica racional.${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{16}},{\tfrac {33}{16}},{\tfrac {17}{4}},{\tfrac {105}{16}}\right\}.}$^{[ 1 ]} Más recientemente, Philip Gibbs encontró conjuntos de seis racionales positivos con la propiedad. ^{[ 4 ]} No se sabe sim-tuplas diofánticas racionales más grandes o incluso si existe un límite superior, pero se sabe que no existe ningún conjunto infinito de racionales con la propiedad. ^{[ 5 ]}

• Páginas de Andrej Dujella sobre m -tuplas diofánticas