aproximación de nacimiento

En general, en la teoría de la dispersión y, en particular, en la mecánica cuántica , la aproximación de Born consiste en tomar el campo incidente en lugar del campo total como campo impulsor en cada punto del dispersor. La aproximación de Born recibe su nombre de Max Born , quien la propuso en los inicios del desarrollo de la teoría cuántica. ^{[ 1 ]}

Es el método de perturbación aplicado a la dispersión producida por un cuerpo extenso. Es preciso si el campo dispersado es pequeño en comparación con el campo incidente sobre el dispersor.

Por ejemplo, la dispersión de ondas de radio por una columna ligera de poliestireno expandido se puede aproximar suponiendo que cada parte del plástico está polarizada por el mismo campo eléctrico que estaría presente en ese punto sin la columna, y luego calculando la dispersión como una integral de radiación sobre esa distribución de polarización.

Partiendo de un modelo físico basado en la ecuación de onda de Schrödinger para la dispersión desde un potencial${\displaystyle V}$, calculando la amplitud de dispersión ,${\displaystyle f}$ requiere conocer la función de onda de dispersión completa${\displaystyle \psi }$, ^{[ 2 ] : 325}$${\displaystyle f(\mathbf {k} _{f},\mathbf {k} _{i})=-{\frac {\mu }{2\pi \hbar ^{2}}}\int \psi _{f}^{*}\,V(\mathbf {r} )\,\psi _{i}\,d^{3}r}$$En la aproximación de Born, las funciones de onda inicial y final se aproximan como ondas planas:$${\displaystyle f(\mathbf {k} _{f},\mathbf {k} _{i})=-{\frac {\mu }{2\pi \hbar ^{2}}}\int e^{-i\mathbf {k} _{f}\cdot \mathbf {r} }\,V(\mathbf {r} )\,e^{i\mathbf {k} _{i}\cdot \mathbf {r} }\,d^{3}r}$$Esto es matemáticamente equivalente a la transformada de Fourier del potencial de dispersión de${\displaystyle \mathbf {r} }$a${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k} _{f}-\mathbf {k} _{i}}$: ^{[ 2 ] : 325}$${\displaystyle f(\mathbf {k} _{f},\mathbf {k} _{i})=-{\frac {\mu }{2\pi \hbar ^{2}}}\int V(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }d^{3}r}$$Para un potencial con simetría esférica, se pueden realizar las integraciones angulares y la amplitud de dispersión depende únicamente del ángulo polar.${\displaystyle \theta }$entre las direcciones de entrada y salida: ^{[ 2 ] : 325}$${\displaystyle f(\theta )=-{\frac {2\mu }{\hbar ^{2}q}}\int _{0}^{\infty }r\sin(qr)\,V(r)\,dr}$$dónde${\displaystyle q=2k\sin(\theta /2)}$y${\displaystyle k=|\mathbf {k} _ {f}-\mathbf {k} _ {i}|.}$

La ecuación de Lippmann-Schwinger para el estado de dispersión${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$con impulso${\displaystyle \mathbf {p} }$y las condiciones de contorno de salida (+) o entrada ( − ) son

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle ,}$

dónde${\displaystyle G^{\circ }}$es la función de Green de la partícula libre ,${\displaystyle \epsilon }$es una cantidad infinitesimal positiva , y${\displaystyle V}$el potencial de interacción.${\displaystyle \vert {\Psi _ {\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle }$es la solución de dispersión libre correspondiente, a veces llamada campo incidente. El factor${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$El lado derecho a veces se denomina campo de conducción .

Los conjuntos de aproximación de Born ^{[ 2 ] : 324}$${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle \approx \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle }$$ Dentro de la aproximación de Born, la ecuación anterior se expresa como

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle ,}$

lo cual es mucho más fácil de resolver ya que el lado derecho ya no depende del estado desconocido.${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$.

La solución obtenida es el punto de partida de una serie de perturbaciones conocida como la serie de Born . ^{[ 2 ] : 324}

La aproximación de Born se utiliza en diversos contextos físicos.

En la dispersión de neutrones , la aproximación de Born de primer orden es casi siempre adecuada, excepto para fenómenos ópticos de neutrones como la reflexión total interna en una guía de neutrones o la dispersión de ángulo pequeño con incidencia rasante . Utilizando la primera aproximación de Born, se ha demostrado que la amplitud de dispersión para un potencial de dispersión${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$es lo mismo que la transformada de Fourier del potencial de dispersión ^{[ 4 ]} . Utilizando este concepto, el análogo electrónico de la óptica de Fourier se ha estudiado teóricamente en grafeno monocapa . ^{[ 5 ]} La aproximación de Born también se ha utilizado para calcular la conductividad en grafeno bicapa ^{[ 6 ]} y para aproximar la propagación de ondas de longitud de onda larga en medios elásticos . ^{[ 7 ]}

Las mismas ideas también se han aplicado al estudio de los movimientos de las ondas sísmicas a través de la Tierra. ^{[ 8 ]}

La aproximación de Born es más sencilla cuando las ondas incidentes${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle }$son ondas planas . Es decir, el dispersor se trata como una perturbación del espacio libre o de un medio homogéneo.

En la aproximación de Born de onda distorsionada ( DWBA ), las ondas incidentes son soluciones${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle }$a una parte${\displaystyle V^{1}}$del problema${\displaystyle V=V^{1}+V^{2}}$que se trata mediante algún otro método, ya sea analítico o numérico. La interacción de interés${\displaystyle V}$se trata como una perturbación${\displaystyle V^{2}}$a algún sistema${\displaystyle V^{1}}$que se puede resolver mediante algún otro método. Para las reacciones nucleares, se utilizan ondas de modelos ópticos numéricos. Para la dispersión de partículas cargadas por partículas cargadas, se utilizan soluciones analíticas para la dispersión de Coulomb. Esto da como resultado la ecuación preliminar no Born.

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i0)V^{1}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle }$

y la aproximación de Born

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle +G^{1}(E_{p}\pm i0)V^{2}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle .}$

Entre las aplicaciones se incluyen la radiación de frenado y el efecto fotoeléctrico . Para una reacción nuclear directa inducida por partículas cargadas, el procedimiento se utiliza dos veces. En la investigación de la materia condensada, DWBA se utiliza para analizar la dispersión de ángulo pequeño con incidencia rasante .

• Serie Nacido
• ecuación de Lippmann-Schwinger
• Serie Dyson
• Análisis de ondas parciales
• aproximación de Rayleigh-Gans

• Sakurai, JJ (1994). Mecánica cuántica moderna . Addison Wesley. ISBN 0-201-53929-2.
• Newton, Roger G. (2002). Teoría de la dispersión de ondas y partículas . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-42535-5.
• Wu y Ohmura, Teoría cuántica de la dispersión , Prentice Hall, 1962