Divergencia

{\displaystyle \nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \,{V_{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \,{V_{y}(x,y)}}{\partial {y}}}} — La divergencia de diferentes campos vectoriales. La divergencia de vectores desde el punto ( x , y ) es igual a la suma de la derivada parcial con respecto a x de la componente x y la derivada parcial con respecto a y de la *componente* y en ese punto: $\nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \,{V_{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \,{V_{y}(x,y)}}{\partial {y}}}$

En cálculo vectorial , la divergencia es un operador vectorial que actúa sobre un campo vectorial , produciendo un campo escalar que indica la tasa a la que dicho campo modifica el volumen en una vecindad infinitesimal de cada punto. (En 2D, este "volumen" se refiere al área). Más precisamente, la divergencia en un punto es la tasa a la que el flujo del campo vectorial modifica un volumen alrededor de ese punto en el límite , a medida que un pequeño volumen se reduce hacia el punto.

Como ejemplo, consideremos el aire al calentarse o enfriarse. La velocidad del aire en cada punto define un campo vectorial. Cuando el aire se calienta en una región, se expande en todas direcciones, por lo que el campo de velocidad apunta hacia afuera de esa región. La divergencia del campo de velocidad en esa región tendría, por lo tanto, un valor positivo. Cuando el aire se enfría y, por consiguiente, se contrae, la divergencia de la velocidad tiene un valor negativo.

Interpretación física de la divergencia

En términos físicos, la divergencia de un campo vectorial es la medida en que el flujo del campo vectorial se comporta como una fuente o un sumidero en un punto dado. Es una medida local de su "salida", es decir, la proporción de vectores del campo que salen de una región infinitesimal del espacio que los que entran en ella. Un punto donde el flujo es saliente tiene divergencia positiva y se suele denominar "fuente" del campo. Un punto donde el flujo se dirige hacia adentro tiene divergencia negativa y se suele denominar "sumidero" del campo. Cuanto mayor sea el flujo del campo a través de una superficie pequeña que encierra un punto dado, mayor será el valor de la divergencia en ese punto. Un punto donde el flujo a través de la superficie que lo encierra es cero tiene divergencia cero.

La divergencia de un campo vectorial se ilustra a menudo con el sencillo ejemplo del campo de velocidad de un fluido, ya sea un líquido o un gas. Un gas en movimiento tiene una velocidad , una rapidez y una dirección en cada punto, que se pueden representar mediante un vector , por lo que la velocidad del gas forma un campo vectorial . Si un gas se calienta, se expandirá. Esto provocará un movimiento neto de partículas de gas hacia afuera en todas las direcciones. Cualquier superficie cerrada en el gas contendrá gas en expansión, por lo que habrá un flujo de gas hacia afuera a través de la superficie. Así, el campo de velocidad tendrá divergencia positiva en todas partes. De manera similar, si el gas se enfría, se contraerá. Habrá más espacio para las partículas de gas en cualquier volumen, por lo que la presión externa del fluido provocará un flujo neto de volumen de gas hacia adentro a través de cualquier superficie cerrada. Por lo tanto, el campo de velocidad tendrá divergencia negativa en todas partes. En cambio, en un gas a temperatura y presión constantes, el flujo neto de gas hacia afuera de cualquier superficie cerrada es cero. El gas puede estar en movimiento, pero el caudal volumétrico de gas que entra en cualquier superficie cerrada debe ser igual al caudal volumétrico que sale, por lo que el flujo neto es cero. Por lo tanto, la velocidad del gas tiene divergencia cero en todas partes. Un campo que tiene divergencia cero en todas partes se denomina solenoidal .

Si el gas se calienta solo en un punto o en una pequeña región, o si se introduce un tubo pequeño que suministra gas adicional en un punto, el gas en ese punto se expandirá, empujando las partículas de fluido circundantes hacia afuera en todas direcciones. Esto generará un campo de velocidad hacia afuera en todo el gas, centrado en el punto calentado. Cualquier superficie cerrada que encierre el punto calentado tendrá un flujo de partículas de gas que saldrán de ella, por lo que existe una divergencia positiva en ese punto. Sin embargo, cualquier superficie cerrada que no encierre el punto tendrá una densidad constante de gas en su interior, por lo que la cantidad de partículas de fluido que entran en el volumen es igual a la que sale, por lo que el flujo neto que sale del volumen es cero. Por lo tanto, la divergencia en cualquier otro punto es cero.

Definición

{\displaystyle \Phi } — La divergencia en un punto $x$ es el límite de la razón del flujo $\Phi$ a través de la superficie $S i$ *(flechas rojas)* hasta el volumen $|V_{i}|$ para cualquier secuencia de regiones cerradas $V 1, V 2, V 3, \dots$ que encierran $x$ y cuyo volumen tiende a cero: $\operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V_{i}|\to 0}{\frac {\Phi (S_{i})}{|V_{i}|}}$

La divergencia de un campo vectorial $F (x)$ en un punto $x₀$ se define como el límite de la razón entre la integral de $superficie$ de F $fuera$ de la superficie cerrada de un volumen $V$ que encierra $x₀$ y el volumen de $V$ , cuando $V$ tiende a cero $.$

\left.\operatorname {div} \mathbf {F} \right|_{\mathbf {x_{0}} }=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}

$\oiint$

\scriptstyle S(V)

\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS

donde $| V |$ es el volumen de $V$ , $S (V)$ es el límite de $V$ y $\mathbf {\hat {n}}$ es el vector normal unitario exterior a esa superficie. Se puede demostrar que el límite anterior siempre converge al mismo valor para cualquier secuencia de volúmenes que contengan $x 0$ y se aproximen a volumen cero. El resultado, $div F$ , es una función escalar de $x$ .

Dado que esta definición no depende de coordenadas, demuestra que la divergencia es la misma en cualquier sistema de coordenadas . Sin embargo, la definición anterior no se usa con frecuencia en la práctica para calcular la divergencia; cuando el campo vectorial se da en un sistema de coordenadas, las definiciones de coordenadas que se presentan a continuación son mucho más sencillas de usar.

Un campo vectorial con divergencia cero en todas partes se denomina solenoidal ; en este caso, ninguna superficie cerrada presenta flujo neto a través de ella. Esto equivale a decir que el flujo del campo vectorial conserva el volumen: el volumen de cualquier región no cambia después de haber sido transportada por el flujo durante un período de tiempo determinado.

Definición en coordenadas

Coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas tridimensionales, la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable $\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ se define como la función escalar con valores en :

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

Aunque se expresa en términos de coordenadas, el resultado es invariante bajo rotaciones , como sugiere la interpretación física. Esto se debe a que la traza de la matriz jacobiana de un campo vectorial $F de dimensión$ $N$ en un espacio de dimensión $N$ es invariante bajo cualquier transformación lineal invertible .

La notación común para la divergencia ( $\nabla \cdot F$ ) es una regla mnemotécnica conveniente, donde el punto denota una operación que recuerda al producto escalar : tomar las componentes del operador $\nabla (ver$ del ), aplicarlas a las componentes correspondientes de $F$ y sumar los resultados. Dado que aplicar un operador es diferente de multiplicar las componentes, esto se considera un abuso de notación .

Coordenadas cilíndricas

Para un vector expresado en coordenadas cilíndricas de unidad local como $\mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},$ donde $e a$ es el vector unitario en la dirección $a$ , la divergencia es ^{[ 1 ]} $\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

El uso de coordenadas locales es vital para la validez de la expresión. Si consideramos $x$ el vector de posición y las funciones $r (x)$ , $θ (x)$ , y $z (x)$ , que asignan la coordenada cilíndrica global correspondiente a un vector, en general $r(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_ {r}(\mathbf {x} )$ , $\theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{\theta }(\mathbf {x} )$ , y $z(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{z}(\mathbf {x} )$ . En particular, si consideramos la función identidad $F (x) = x$ , encontramos que:

$\theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))=\theta \neq F_{\theta }(\mathbf {x} )=0.$

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas , con $θ$ el ángulo con el eje $z y$ $φ$ la rotación alrededor del eje $z$ , y $F$ escrito nuevamente en coordenadas de unidades locales, la divergencia es ^{[ 2 ].} $\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,F_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.$

Campo tensorial

Sea $A$ un campo tensorial de segundo orden continuamente diferenciable definido de la siguiente manera:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}$

La divergencia en el sistema de coordenadas cartesianas es un campo tensorial de primer orden ^{[ 3 ]} y puede definirse de dos maneras: ^{[ 4 ]}

$\operatorname {div} \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{ik}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ik,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}$

y ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

$\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{ki}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ki,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}$

Tenemos

$\operatorname {div} {\left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)}=\nabla \cdot \mathbf {A}$

Si el tensor es simétrico $A ij = A ji$ entonces $\operatorname {div} \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A}$ . Debido a esto, a menudo en la literatura las dos definiciones (y símbolos $div$ y $\nabla \cdot$ ) se utilizan indistintamente (especialmente en ecuaciones de mecánica donde se asume simetría tensorial).

Expresiones de $\nabla \cdot \mathbf {A}$ en coordenadas cilíndricas y esféricas se dan en el artículo del en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Coordenadas generales

Utilizando la notación de Einstein, podemos considerar la divergencia en coordenadas generales , que escribimos como $x 1, \dots, x i, \dots, x n$ , donde $n$ es el número de dimensiones del dominio. Aquí, el índice superior se refiere al número de la coordenada o componente, por lo que $x 2$ se refiere a la segunda componente, y no a la cantidad $x$ al cuadrado. La variable de índice $i$ se utiliza para referirse a una componente arbitraria, como $x i$ . La fórmula de Voss - Weyl , ^{[ 8 ]} que permite determinar la divergencia utilizando simplemente derivadas parciales de coordenadas, es la siguiente:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\left(\rho \,F^{i}\right)}}{\partial x^{i}}},$

dónde $\rho$ es el coeficiente local del elemento de volumen y $F i$ son los componentes de $\mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}$ con respecto a la base covariante local no normalizada (a veces escrita como $\mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}$ ). La notación de Einstein implica una suma sobre $i$ , ya que aparece como índice superior e inferior.

El coeficiente de volumen $ρ es una función de$ $la$ posición que depende del sistema de coordenadas. En coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, utilizando las mismas convenciones que antes, tenemos $ρ = 1$ , $ρ = r$ y $ρ = r² sin θ$ , respectivamente. El volumen también se puede expresar como ${\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g_{ab}\right|}}}$ donde $g ab$ es el tensor métrico . El determinante aparece porque proporciona la definición invariante apropiada del volumen, dado un conjunto de vectores. Dado que el determinante es una cantidad escalar que no depende de los índices, estos pueden omitirse, escribiendo ${\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g\right|}}}$ Se toma el valor absoluto para manejar el caso general donde el determinante podría ser negativo, como en los espacios pseudoriemannianos. La razón de la raíz cuadrada es un poco sutil: evita la doble contabilización al pasar de coordenadas curvas a cartesianas y viceversa. El volumen (el determinante) también puede entenderse como el jacobiano de la transformación de coordenadas cartesianas a curvilíneas, que para $n = 3$ da ${\textstyle \rho =\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}\right|}$ .

Algunas convenciones esperan que todos los elementos de la base local estén normalizados a longitud unitaria, como se hizo en las secciones anteriores. Si escribimos ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ para la base normalizada, y ${\hat {F}}^{i}$ para los componentes de $F$ con respecto a él, tenemos que $\mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}=F^{i}\|{\mathbf {e} _{i}}\|{\frac {\mathbf {e} _{i}}{\|\mathbf {e} _{i}\|}}=F^{i}{\sqrt {g_{ii}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {F}}^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i},$ utilizando una de las propiedades del tensor métrico. Al multiplicar ambos lados de la última igualdad por el elemento contravariante ${\hat {\mathbf {e} }}^{i}$ , podemos concluir que ${\textstyle F^{i}={\hat {F}}^{i}/{\sqrt {g_{ii}}}}$ Tras sustituir, la fórmula queda así:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\frac {\rho }{\sqrt {g_{ii}}}}{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {\frac {\det g}{g_{ii}}}}\,{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.$

Véase el apartado § En coordenadas curvilíneas para un análisis más detallado.

Propiedades

Las siguientes propiedades se pueden derivar de las reglas de diferenciación ordinarias del cálculo . Lo más importante es que la divergencia es un operador lineal , es decir,

\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G}

para todos los campos vectoriales $F$ y $G$ y todos los números reales $a$ y $b$ .

Existe una regla de producto del siguiente tipo: si $φ$ es una función escalar y $F$ es un campo vectorial, entonces

\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} ,

o en notación más sugerente

\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ).

Otra regla de producto para el producto vectorial de dos campos vectoriales $F$ y $G$ en tres dimensiones involucra el rotacional y se lee de la siguiente manera:

\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} \mathbf {G} ,

o

\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).

El laplaciano de un campo escalar es la divergencia del gradiente del campo :

\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi .

La divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial (en tres dimensiones) es igual a cero:

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.

Si se define un campo vectorial $F con divergencia cero en una bola$ $de$ $R³$ , entonces existe algún campo vectorial $G$ en dicha bola tal que $F = curl G.$ Para regiones de $R³$ topológicamente más complejas, esta afirmación podría ser falsa (véase el lema de Poincaré ). El grado de falsedad de la afirmación se mide mediante la homología del complejo de cadenas $.$

\{{\text{scalar fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {grad} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {curl} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {div} }{\rightarrow }}~\{{\text{scalar fields on }}U\}

Sirve como una buena cuantificación de la complejidad de la región subyacente $U.$ Estos son los comienzos y las principales motivaciones de la cohomología de De Rham .

Teorema de descomposición

Se puede demostrar que cualquier flujo estacionario $v (r)$ que sea dos veces continuamente diferenciable en $R 3$ y se anule suficientemente rápido para $| r | \to \infty$ puede descomponerse de forma única en una parte irrotacional $E (r)$ y una parte libre de fuentes $B (r)$ . Además, estas partes están determinadas explícitamente por las respectivas densidades de fuentes (véase más arriba) y densidades de circulación (véase el artículo Curl ):

Para la parte irrotacional uno tiene

\mathbf {E} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),

con

\Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,d^{3}\mathbf {r} '\;{\frac {\operatorname {div} \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.

La parte sin fuente, $B$ , se puede escribir de manera similar: solo hay que reemplazar el potencial escalar $Φ(r)$ por un potencial vectorial $A (r)$ y los términos $-\nablaΦ$ por $+\nabla \times A$ , y la densidad de fuente $div v$ por la densidad de circulación $\nabla \times v$ .

Este "teorema de descomposición" es un subproducto del caso estacionario de la electrodinámica . Es un caso especial de la descomposición de Helmholtz , más general , que también funciona en dimensiones mayores que tres.

En dimensiones finitas arbitrarias

La divergencia de un campo vectorial se puede definir en cualquier número finito $n$ de dimensiones. Si

\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots F_{n}),

en un sistema de coordenadas euclidianas con coordenadas $x 1, x 2, ..., x n$ , definimos

\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.

En el caso unidimensional, $F$ se reduce a una función regular y la divergencia se reduce a la derivada.

Para cualquier $n$ , la divergencia es un operador lineal y satisface la "regla del producto".

\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} )

para cualquier función escalar $φ$ .

Relación con la derivada exterior

Se puede expresar la divergencia como un caso particular de la derivada exterior , que transforma una 2-forma en una 3-forma en $R³ .$ Definimos la 2-forma actual como

j=F_{1}\,dy\wedge dz+F_{2}\,dz\wedge dx+F_{3}\,dx\wedge dy.

Mide la cantidad de "materia" que fluye a través de una superficie por unidad de tiempo en un "fluido de materia" de densidad $ρ = 1 dx \land dy \land dz$ que se mueve con velocidad local $F.$ Su derivada exterior $dj$ viene dada por

dj=\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz=(\nabla \cdot {\mathbf {F} })\rho

dónde $\wedge$ es el producto cuña .

Por lo tanto, la divergencia del campo vectorial $F$ se puede expresar como:

\nabla \cdot {\mathbf {F} }={\star }d{\star }{\big (}{\mathbf {F} }^{\flat }{\big )}.

Aquí el superíndice ♭ es uno de los dos isomorfismos musicales , y $⋆$ es el operador estrella de Hodge . Cuando la divergencia se escribe de esta manera, el operador ${\star }d{\star }$ Se denomina codiferencial . Trabajar con la forma bidimensional actual y la derivada exterior suele ser más fácil que trabajar con el campo vectorial y la divergencia, porque, a diferencia de la divergencia, la derivada exterior conmuta con un cambio de sistema de coordenadas (curvilíneas).

En coordenadas curvilíneas

La expresión apropiada es más complicada en coordenadas curvilíneas . La divergencia de un campo vectorial se extiende naturalmente a cualquier variedad diferenciable de dimensión $n$ que tenga una forma de volumen (o densidad ) $μ$ , por ejemplo, una variedad riemanniana o lorentziana . Generalizando la construcción de una 2-forma para un campo vectorial en $R 3$ , en dicha variedad un campo vectorial $X$ define una $(n - 1)$ -forma $j = i X μ$ obtenida al contraer $X$ con $μ$ . La divergencia es entonces la función definida por

dj=(\operatorname {div} X)\mu .

La divergencia se puede definir en términos de la derivada de Lie como

{\mathcal {L}}_{X}\mu =(\operatorname {div} X)\mu .

Esto significa que la divergencia mide la tasa de expansión de una unidad de volumen (un elemento de volumen ) a medida que fluye con el campo vectorial.

En una variedad pseudoriemanniana , la divergencia con respecto al volumen se puede expresar en términos de la conexión de Levi-Civita $\nabla$ :

\operatorname {div} X=\nabla \cdot X={X^{a}}_{;a},

donde la segunda expresión es la contracción de la 1-forma con valores de campo vectorial $\nabla X$ consigo misma y la última expresión es la expresión de coordenadas tradicional del cálculo de Ricci .

Una expresión equivalente sin usar una conexión es

\operatorname {div} (X)={\frac {1}{\sqrt {\left|\det g\right|}}}\,\partial _{a}\left({\sqrt {\left|\det g\right|}}\,X^{a}\right),

donde $g$ es la métrica y $\partial _{a}$ denota la derivada parcial con respecto a la coordenada $x a$ . La raíz cuadrada de la (valor absoluto del determinante de la) métrica aparece porque la divergencia debe escribirse con la concepción correcta del volumen . En coordenadas curvilíneas, los vectores base ya no son ortonormales; el determinante codifica la idea correcta de volumen en este caso. Aparece dos veces, aquí, una vez, de modo que $X^{a}$ puede transformarse en "espacio plano" (donde las coordenadas son realmente ortonormales), y una vez más de modo que $\partial _{a}$ También se transforma en "espacio plano", de modo que finalmente, la divergencia "ordinaria" se puede escribir con el concepto "ordinario" de volumen en el espacio plano ( es decir, volumen unitario, es decir , uno, es decir , no escrito). La raíz cuadrada aparece en el denominador porque la derivada se transforma de forma opuesta ( contravariante ) al vector (que es covariante ). Esta idea de llegar a un "sistema de coordenadas planas" donde se pueden realizar cálculos locales de forma convencional se llama vielbein . Otra forma de verlo es observar que la divergencia es el codiferencial disfrazado. Es decir, la divergencia corresponde a la expresión $\star d\star$ con $d$ el diferencial y $\star$ La estrella de Hodge . La estrella de Hodge, por su construcción, hace que la forma volumétrica aparezca en todos los lugares correctos.

La divergencia de tensores

La divergencia también puede generalizarse a tensores . En la notación de Einstein , la divergencia de un vector contravariante $F μ$ viene dada por

\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla _{\mu }F^{\mu },

donde $\nabla μ$ denota la derivada covariante . En este contexto general, la formulación correcta de la divergencia consiste en reconocer que es un codiferencial ; las propiedades apropiadas se derivan de ahí.

De forma equivalente, algunos autores definen la divergencia de un tensor mixto utilizando el isomorfismo musical ♯ : si $T$ es un tensor $(p, q)$ ( $p$ para el vector contravariante y $q$ para el covariante), entonces definimos la divergencia de $T$ como el tensor $($ $p$ $,$ $q$ $- 1)$

(\operatorname {div} T)(Y_{1},\ldots ,Y_{q-1})={\operatorname {trace} }{\Big (}X\mapsto \sharp (\nabla T)(X,\cdot ,Y_{1},\ldots ,Y_{q-1}){\Big )};

es decir, tomamos la traza sobre los dos primeros índices covariantes de la derivada covariante. ^{[ a ]} El $\sharp$ El símbolo se refiere al isomorfismo musical .

Véase también

Notas

↑ La elección del primer índice covariante de un tensor es intrínseca y depende del orden de los términos del producto cartesiano de espacios vectoriales sobre los que el tensor se da como una aplicación multilineal $V \times V \times ... \times V \to R.$ Pero se podrían hacer elecciones igualmente bien definidas para la divergencia usando otros índices. En consecuencia, es más natural especificar la divergencia de $T$ con respecto a un índice determinado. Sin embargo, hay dos casos especiales importantes donde esta elección es esencialmente irrelevante: con un tensor contravariante totalmente simétrico, cuando cualquier elección es equivalente, y con un tensor contravariante totalmente antisimétrico ( también conocido como k - vector), cuando la elección afecta solo al signo.

Citas

↑ Coordenadas cilíndricas en Wolfram Mathworld
↑ Coordenadas esféricas en Wolfram Mathworld
↑ Gurtin 1981 , pág. 30.
↑ "1.14 Cálculo tensorial I: Campos tensoriales" (PDF) . Fundamentos de la mecánica de medios continuos . Archivado (PDF) del original el 8 de enero de 2013.
↑ William M. Deen (2016). Introducción a la mecánica de fluidos en ingeniería química . Cambridge University Press. pág. 133. ISBN 978-1-107-12377-9.
↑ Tasos C. Papanastasiou; Georgios C. Georgiou; Andreas N. Alexandrou (2000). Flujo de fluido viscoso (PDF) . Prensa CRC. pag. 66,68. ISBN 0-8493-1606-5Archivado (PDF) del original el 20 de febrero de 2020 .
↑ Adam Powell (12 de abril de 2010). "Las ecuaciones de Navier-Stokes" (PDF) .
↑ Grinfeld, Pavel (16 de abril de 2014). "La fórmula Voss-Weyl (enlace de YouTube)" . YouTube . Archivado del original el 11 de diciembre de 2021. Recuperado el 9 de enero de 2018 .

Referencias

Brewer, Jess H. (1999). "DIVERGENCIA de un campo vectorial" . musr.phas.ubc.ca. Archivado del original el 23 de noviembre de 2007. Recuperado el 9 de agosto de 2016 .
Rudin, Walter (1976). Principios de análisis matemático . McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
Edwards, CH (1994). Cálculo avanzado de varias variables . Mineola, NY: Dover. ISBN 0-486-68336-2.
Gurtin, Morton (1981). Introducción a la mecánica de medios continuos . Academic Press. ISBN 0-12-309750-9.
Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (enero de 2000). Manual matemático para científicos e ingenieros: definiciones, teoremas y fórmulas para consulta y revisión . Nueva York: Dover Publications. págs. 157–160 . ISBN 0-486-41147-8.

Enlaces externos

"Divergencia" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
La idea de divergencia de un campo vectorial
Khan Academy: Lección en vídeo sobre la divergencia
Sanderson, Grant (21 de junio de 2018). "Divergencia y rizo: El lenguaje de las ecuaciones de Maxwell, el flujo de fluidos y más" . 3Blue1Brown . Archivado del original el 11 de diciembre de 2021 a través de YouTube .

[9] La elección del primer índice covariante de un tensor es intrínseca y depende del orden de los términos del producto cartesiano de espacios vectoriales sobre los que el tensor se da como una aplicación multilineal $V \times V \times ... \times V \to R.$ Pero se podrían hacer elecciones igualmente bien definidas para la divergencia usando otros índices. En consecuencia, es más natural especificar la divergencia de $T$ con respecto a un índice determinado. Sin embargo, hay dos casos especiales importantes donde esta elección es esencialmente irrelevante: con un tensor contravariante totalmente simétrico, cuando cualquier elección es equivalente, y con un tensor contravariante totalmente antisimétrico ( también conocido como k - vector), cuando la elección afecta solo al signo.

[1] Coordenadas cilíndricas en Wolfram Mathworld

[2] Coordenadas esféricas en Wolfram Mathworld

[FOOTNOTEGurtin198130-3] Gurtin 1981 , pág. 30.

[4] "1.14 Cálculo tensorial I: Campos tensoriales" (PDF) . Fundamentos de la mecánica de medios continuos . Archivado (PDF) del original el 8 de enero de 2013.

[5] William M. Deen (2016). Introducción a la mecánica de fluidos en ingeniería química . Cambridge University Press. pág. 133. ISBN 978-1-107-12377-9.

[6] Tasos C. Papanastasiou; Georgios C. Georgiou; Andreas N. Alexandrou (2000). Flujo de fluido viscoso (PDF) . Prensa CRC. pag. 66,68. ISBN 0-8493-1606-5Archivado (PDF) del original el 20 de febrero de 2020 .

[7] Adam Powell (12 de abril de 2010). "Las ecuaciones de Navier-Stokes" (PDF) .

[8] Grinfeld, Pavel (16 de abril de 2014). "La fórmula Voss-Weyl (enlace de YouTube)" . YouTube . Archivado del original el 11 de diciembre de 2021. Recuperado el 9 de enero de 2018 .

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