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Teorema de la divergencia

En cálculo vectorial , el teorema de la divergencia , también conocido como teorema de Gauss o teorema de Ostrogradsky , [ 1 ] es un teorema que relaciona el flujo de un campo v...

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En cálculo vectorial , el teorema de la divergencia , también conocido como teorema de Gauss o teorema de Ostrogradsky , [ 1 ] es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen encerrado.

Más precisamente, el teorema de la divergencia establece que la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada, denominada "flujo" a través de la superficie, es igual a la integral de volumen de la divergencia sobre la región delimitada por dicha superficie. Intuitivamente, afirma que "la suma de todas las fuentes del campo en una región (considerando los sumideros como fuentes negativas) da como resultado el flujo neto que sale de la región".

El teorema de la divergencia es un resultado importante para las matemáticas de la física y la ingeniería , particularmente en electrostática y dinámica de fluidos . En estos campos, se suele aplicar en tres dimensiones. Sin embargo, se generaliza a cualquier número de dimensiones. En una dimensión, es equivalente al teorema fundamental del cálculo . En dos dimensiones, es equivalente al teorema de Green .

Explicación mediante el flujo de líquidos

Los campos vectoriales se ilustran a menudo con el ejemplo del campo de velocidad de un fluido , como un gas o un líquido. Un líquido en movimiento tiene una velocidad —una rapidez y una dirección— en cada punto, que puede representarse mediante un vector , de modo que la velocidad del líquido en cualquier momento forma un campo vectorial. Consideremos una superficie cerrada S dentro de un cuerpo de líquido, que encierra un volumen de líquido. El flujo de líquido que sale del volumen en cualquier momento es igual al caudal volumétrico de fluido que atraviesa esta superficie, es decir, la integral de superficie de la velocidad sobre la superficie.

Suponiendo que el fluido es incompresible, la cantidad de líquido dentro de un volumen cerrado es constante; si no hay entradas ni salidas dentro del volumen, el flujo de líquido que sale de S es cero. Si el líquido está en movimiento, puede entrar al volumen en algunos puntos de la superficie S y salir de él en otros, pero las cantidades que entran y salen en cualquier momento son iguales, por lo que el flujo neto de líquido que sale del volumen es cero.

Sin embargo, si una fuente de líquido se encuentra dentro de la superficie cerrada, como una tubería por la que se introduce el líquido, este ejercerá presión sobre el líquido circundante, provocando un flujo hacia afuera en todas direcciones. Esto generará un flujo neto hacia afuera a través de la superficie S. El flujo hacia afuera a través de S es igual al caudal volumétrico de fluido que ingresa a S desde la tubería. De manera similar, si existe un desagüe dentro de S , como una tubería que drena el líquido, la presión externa del líquido generará una velocidad en todo el líquido dirigida hacia adentro, hacia la ubicación del desagüe. El caudal volumétrico de líquido que ingresa a través de la superficie S es igual al caudal de líquido que es evacuado por el desagüe.

Si existen múltiples fuentes y sumideros de líquido dentro de S , el flujo a través de la superficie se puede calcular sumando el caudal volumétrico de líquido añadido por las fuentes y restando el caudal de líquido drenado por los sumideros. El caudal volumétrico de líquido a través de una fuente o sumidero (considerando negativo el caudal a través de un sumidero) es igual a la divergencia del campo de velocidad en la boca de la tubería; por lo tanto, la suma (integración) de la divergencia del líquido en todo el volumen encerrado por S es igual al caudal volumétrico a través de S. Este es el teorema de la divergencia. [ 2 ]

El teorema de la divergencia se emplea en cualquier ley de conservación que establece que el volumen total de todos los sumideros y fuentes, es decir, la integral de volumen de la divergencia, es igual al flujo neto a través del límite del volumen. [ 3 ]

Enunciado matemático

Una región V delimitada por la superficie S = ∂ V con la normal a la superficie n

Supongamos que V es un subconjunto deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(en el caso de n = 3, V representa un volumen en el espacio tridimensional ) que es compacto y tiene un límite suave por partes S (también indicado con∂V=S{\displaystyle \partial V=S}). Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable definido en un entorno de V , entonces: [ 4 ] [ 5 ]

∭V(∇⋅F)dV={\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(F⋅norte^)dS.{\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.}

El lado izquierdo es una integral de volumen sobre el volumen V , y el lado derecho es la integral de superficie sobre el límite del volumen V. El conjunto cerrado y medible∂V{\displaystyle \partial V}está orientado por normales que apuntan hacia afuera ynorte^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }es la normal unitaria que apunta hacia afuera en casi cada punto del límite.∂V{\displaystyle \partial V}. (dS{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }puede utilizarse como abreviatura denortedS{\displaystyle \mathbf {n} \mathrm {d} S}.) En términos de la descripción intuitiva anterior, el lado izquierdo de la ecuación representa el total de las fuentes en el volumen V , y el lado derecho representa el flujo total a través del límite S.

Derivación informal

El teorema de la divergencia se deduce del hecho de que si un volumen V se divide en partes separadas, el flujo que sale del volumen original es igual a la suma algebraica del flujo que sale de cada volumen componente. [ 6 ] [ 7 ] Esto es cierto a pesar de que los nuevos subvolúmenes tienen superficies que no formaban parte de la superficie del volumen original, porque estas superficies son simplemente particiones entre dos de los subvolúmenes y el flujo que las atraviesa simplemente pasa de un volumen al otro y, por lo tanto, se cancela cuando se suma el flujo que sale de los subvolúmenes.

Un volumen dividido en dos subvolúmenes. A la derecha, los dos subvolúmenes están separados para mostrar el flujo que sale de las diferentes superficies.

Vea el diagrama. Un volumen cerrado y acotado V está dividido en dos volúmenes V 1 y V 2 por una superficie S 3 (verde) . El flujo Φ( V i ) que sale de cada región componente V i es igual a la suma del flujo a través de sus dos caras, por lo que la suma del flujo que sale de las dos partes es

Φ(V1)+Φ(V2)=Φ1+Φ31+Φ2+Φ32{\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}+\Phi _{\text{32}}}

donde Φ 1 y Φ 2 son el flujo que sale de las superficies S 1 y S 2 , Φ 31 es el flujo que sale del volumen 1 a través de S 3 , y Φ 32 es el flujo que sale del volumen 2 a través de S 3. El punto es que la superficie S 3 es parte de la superficie de ambos volúmenes. La dirección "hacia afuera" del vector normalnorte^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }es opuesto para cada volumen, por lo que el flujo que sale de uno a través de S 3 es igual al negativo del flujo que sale del otro, por lo que estos dos flujos se cancelan en la suma.

Φ31=∬S3F⋅norte^dS=−∬S3F⋅(−norte^)dS=−Φ32{\displaystyle \Phi _{\text{31}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;\mathrm {d} S=-\Phi _{\text{32}}}

Por lo tanto:

Φ(V1)+Φ(V2)=Φ1+Φ2{\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{2}}}

Dado que la unión de las superficies S 1 y S 2 es S

Φ(V1)+Φ(V2)=Φ(V){\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi (V)}
El volumen se puede dividir en cualquier número de subvolúmenes, y el flujo que sale de V es igual a la suma de los flujos que salen de cada subvolumen, ya que el flujo a través de las superficies verdes se cancela en la suma. En (b) los volúmenes se muestran ligeramente separados, lo que ilustra que cada partición verde forma parte del límite de dos volúmenes adyacentes.

Este principio se aplica a un volumen dividido en cualquier número de partes, como se muestra en el diagrama. [ 7 ] Dado que la integral sobre cada partición interna (superficies verdes) aparece con signos opuestos en el flujo de los dos volúmenes adyacentes, se cancelan, y la única contribución al flujo es la integral sobre las superficies externas (grises) . Dado que las superficies externas de todos los volúmenes componentes son iguales a la superficie original.

Φ(V)=∑Vi⊂VΦ(Vi){\displaystyle \Phi (V)=\sum _ {V_{\text{i}}\subset V}\Phi (V_{\text{i}})}
A medida que el volumen se subdivide en partes más pequeñas, la relación del flujoΦ(Vi){\displaystyle \Phi (V_{\text{i}})}de cada volumen al volumen|Vi|{\displaystyle |V_{\text{i}}|}aprochesdiv⁡F{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }

El flujo Φ que sale de cada volumen es la integral de superficie del campo vectorial F ( x ) sobre la superficie.

∬S(V)F⋅norte^dS=∑Vi⊂V∬S(Vi)F⋅norte^dS{\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}

El objetivo es dividir el volumen original en infinitos volúmenes infinitesimales. A medida que el volumen se divide en partes cada vez más pequeñas, la integral de superficie de la derecha, el flujo que sale de cada subvolumen, se aproxima a cero porque el área de superficie S ( V i ) se aproxima a cero. Sin embargo, a partir de la definición de divergencia , la relación entre el flujo y el volumen,Φ(Vi)|Vi|=1|Vi|∬S(Vi)F⋅norte^dS{\displaystyle {\frac {\Phi (V_{\text{i}})}{|V_{\text{i}}|}}={\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}, la parte entre paréntesis a continuación, no se desvanece en general, sino que se aproxima a la divergencia div F a medida que el volumen se aproxima a cero. [ 7 ]

∬S(V)F⋅norte^dS=∑Vi⊂V(1|Vi|∬S(Vi)F⋅norte^dS)|Vi|{\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}

Siempre que el campo vectorial F ( x ) tenga derivadas continuas, la suma anterior se mantiene incluso en el límite cuando el volumen se divide en incrementos infinitesimalmente pequeños.

∬S(V)F⋅norte^dS=límite|Vi|→0∑Vi⊂V(1|Vi|∬S(Vi)F⋅norte^dS)|Vi|{\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\lim _{|V_{\text{i}}|\to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}

Como|Vi|{\displaystyle |V_{\text{i}}|}Cuando el volumen se aproxima a cero, se convierte en el infinitesimal dV , la parte entre paréntesis se convierte en la divergencia y la suma se convierte en una integral de volumen sobre V.

∬S(V)F⋅norte^dS=∭Vdiv⁡FdV{\displaystyle \;\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \;\mathrm {d} V\;}

Dado que esta derivación no depende de las coordenadas, demuestra que la divergencia no depende de las coordenadas utilizadas.

Pruebas

Para subconjuntos abiertos acotados del espacio euclidiano

Vamos a demostrar lo siguiente:

Teorema — SeaΩ⊂Rnorte{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}estar abierto y limitado condo1{\displaystyle C^{1}}límite. Sitú{\displaystyle u}esdo1{\displaystyle C^{1}}en un barrio abiertoO{\displaystyle O}deΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}, eso es,tú∈do1(O){\displaystyle u\in C^{1}(O)}, luego para cadai∈{1,…,norte}{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}, ∫ΩtúincógnitaidV=∫∂ΩtúνidS,{\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS,} dóndeν:∂Ω→Rnorte{\displaystyle \nu :\partial \Omega \to \mathbb {R} ^{n}} es el vector normal unitario que apunta hacia afuera a∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }. De forma equivalente, ∫Ω∇túdV=∫∂ΩtúνdS.{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}

Demostración del teorema. [ 8 ]

  1. El primer paso es reducir al caso en el quetú∈dodo1(Rnorte){\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}. Elegirϕ∈dodo∞(O){\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(O)}de tal manera queϕ=1{\displaystyle \phi =1}enΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}. Tenga en cuenta queϕtú∈dodo1(O)⊂dodo1(Rnorte){\displaystyle \phi u\in C_{c}^{1}(O)\subset C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}yϕtú=tú{\displaystyle \phi u=u}enΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}Por lo tanto, basta con demostrar el teorema paraϕtú{\displaystyle \phi u}Por lo tanto, podemos suponer quetú∈dodo1(Rnorte){\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}.
  2. Dejarincógnita0∈∂Ω{\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }ser arbitrario. La suposición de queΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}tienedo1{\displaystyle C^{1}}límite significa que hay un vecindario abiertoU{\displaystyle U}deincógnita0{\displaystyle x_{0}}enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}de tal manera que∂Ω∩U{\displaystyle \partial \Omega \cap U}es la gráfica de unado1{\displaystyle C^{1}}función conΩ∩U{\displaystyle \Omega \cap U}que se encuentra en un lado de este gráfico. Más precisamente, esto significa que después de una traslación y rotación deΩ{\displaystyle \Omega }, hayr>0{\displaystyle r>0}yh>0{\displaystyle h>0}y undo1{\displaystyle C^{1}}funcióngramo:Rnorte−1→R{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} }, de tal manera que con la notación incógnita′=(incógnita1,…,incógnitanorte−1),{\displaystyle x'=(x_{1},\dots ,x_{n-1}),} sostiene que U={incógnita∈Rnorte:|incógnita′|<r y |incógnitanorte−gramo(incógnita′)|<h}{\displaystyle U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{\text{ and }}|x_{n}-g(x')|<h\}} y paraincógnita∈U{\displaystyle x\in U}, incógnitanorte=gramo(incógnita′)⟹incógnita∈∂Ω,−h<incógnitanorte−gramo(incógnita′)<0⟹incógnita∈Ω,0<incógnitanorte−gramo(incógnita′)<h⟹incógnita∉Ω.{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}=g(x')&\implies x\in \partial \Omega ,\\-h<x_{n}-g(x')<0&\implies x\in \Omega ,\\0<x_{n}-g(x')<h&\implies x\notin \Omega .\\\end{aligned}}} Desde∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }es compacto, podemos cubrir∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }con un número finito de vecindariosU1,…,Unorte{\displaystyle U_{1},\dots ,U_{N}}del formulario anterior. Tenga en cuenta que{Ω,U1,…,Unorte}{\displaystyle \{\Omega ,U_{1},\dots ,U_{N}\}}es una cubierta abierta deΩ¯=Ω∪∂Ω{\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega }. Mediante el uso de undo∞{\displaystyle C^{\infty }}partición de la unidad subordinada a esta cubierta, basta con demostrar el teorema en el caso en quetú{\displaystyle u}tiene soporte compacto enΩ{\displaystyle \Omega }otú{\displaystyle u}tiene soporte compacto en algunosUj{\displaystyle U_{j}}. Sitú{\displaystyle u}tiene soporte compacto enΩ{\displaystyle \Omega }, entonces para todosi∈{1,…,norte}{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}},∫ΩtúincógnitaidV=∫RnortetúincógnitaidV=∫Rnorte−1∫−∞∞túincógnitai(incógnita)dincógnitaidincógnita′=0{\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{\infty }u_{x_{i}}(x)\,dx_{i}\,dx'=0}por el teorema fundamental del cálculo, y∫∂ΩtúνidS=0{\displaystyle \int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS=0}desdetú{\displaystyle u}desaparece en un barrio de∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }Por lo tanto, el teorema se cumple paratú{\displaystyle u}con soporte compacto enΩ{\displaystyle \Omega }. Por lo tanto, nos hemos reducido al caso en el quetú{\displaystyle u}tiene soporte compacto en algunosUj{\displaystyle U_{j}}.
  3. Así que supongamostú{\displaystyle u}tiene soporte compacto en algunosUj{\displaystyle U_{j}}. El último paso ahora es demostrar que el teorema es verdadero mediante cálculo directo. Cambiar la notación aU=Uj{\displaystyle U=U_{j}}y traer la notación de (2) utilizada para describirU{\displaystyle U}Tenga en cuenta que esto significa que hemos rotado y trasladadoΩ{\displaystyle \Omega }. Esta es una reducción válida ya que el teorema es invariante bajo rotaciones y traslaciones de coordenadas. Dado quetú(incógnita)=0{\displaystyle u(x)=0}para|incógnita′|≥r{\displaystyle |x'|\geq r}y para|incógnitanorte−gramo(incógnita′)|≥h{\displaystyle |x_{n}-g(x')|\geq h}, tenemos para cadai∈{1,…,norte}{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}eso ∫ΩtúincógnitaidV=∫|incógnita′|<r∫gramo(incógnita′)−hgramo(incógnita′)túincógnitai(incógnita′,incógnitanorte)dincógnitanortedincógnita′=∫Rnorte−1∫−∞gramo(incógnita′)túincógnitai(incógnita′,incógnitanorte)dincógnitanortedincógnita′.{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV&=\int _{|x'|<r}\int _{g(x')-h}^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'.\end{aligned}}} Parai=norte{\displaystyle i=n}Tenemos por el teorema fundamental del cálculo que ∫Rnorte−1∫−∞gramo(incógnita′)túincógnitanorte(incógnita′,incógnitanorte)dincógnitanortedincógnita′=∫Rnorte−1tú(incógnita′,gramo(incógnita′))dincógnita′.{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{n}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))\,dx'.} Ahora arreglai∈{1,…,norte−1}{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n-1\}}. Tenga en cuenta que ∫Rnorte−1∫−∞gramo(incógnita′)túincógnitai(incógnita′,incógnitanorte)dincógnitanortedincógnita′=∫Rnorte−1∫−∞0túincógnitai(incógnita′,gramo(incógnita′)+s)dsdincógnita′{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'} Definirv:Rnorte→R{\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }porv(incógnita′,s)=tú(incógnita′,gramo(incógnita′)+s){\displaystyle v(x',s)=u(x',g(x')+s)}. Por la regla de la cadena, vincógnitai(incógnita′,s)=túincógnitai(incógnita′,gramo(incógnita′)+s)+túincógnitanorte(incógnita′,gramo(incógnita′)+s)gramoincógnitai(incógnita′).{\displaystyle v_{x_{i}}(x',s)=u_{x_{i}}(x',g(x')+s)+u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x').} Pero desdev{\displaystyle v}tiene soporte compacto, podemos integrarlodincógnitai{\displaystyle dx_{i}}primero deducir que ∫Rnorte−1∫−∞0vincógnitai(incógnita′,s)dsdincógnita′=0.{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}v_{x_{i}}(x',s)\,ds\,dx'=0.} De este modo ∫Rnorte−1∫−∞0túincógnitai(incógnita′,gramo(incógnita′)+s)dsdincógnita′=∫Rnorte−1∫−∞0−túincógnitanorte(incógnita′,gramo(incógnita′)+s)gramoincógnitai(incógnita′)dsdincógnita′=∫Rnorte−1−tú(incógnita′,gramo(incógnita′))gramoincógnitai(incógnita′)dincógnita′.{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}-u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x')\,ds\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}-u(x',g(x'))g_{x_{i}}(x')\,dx'.\end{aligned}}} En resumen, con∇tú=(túincógnita1,…,túincógnitanorte){\displaystyle \nabla u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})}tenemos ∫Ω∇túdV=∫Rnorte−1∫−∞gramo(incógnita′)∇túdV=∫Rnorte−1tú(incógnita′,gramo(incógnita′))(−∇gramo(incógnita′),1)dincógnita′.{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))(-\nabla g(x'),1)\,dx'.} Recordemos que la normal unitaria exterior a la gráficaΓ{\displaystyle \Gamma }degramo{\displaystyle g}en un punto(incógnita′,gramo(incógnita′))∈Γ{\displaystyle (x',g(x'))\in \Gamma }esν(incógnita′,gramo(incógnita′))=11+|∇gramo(incógnita′)|2(−∇gramo(incógnita′),1){\displaystyle \nu (x',g(x'))={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}}(-\nabla g(x'),1)}y que el elemento de superficiedS{\displaystyle dS}es dado pordS=1+|∇gramo(incógnita′)|2dincógnita′{\textstyle dS={\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}\,dx'}. De este modo ∫Ω∇túdV=∫∂ΩtúνdS.{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.} Con esto concluye la demostración.

Para variedades riemannianas compactas con frontera

Vamos a demostrar lo siguiente:

Teorema — SeaΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}ser undo2{\displaystyle C^{2}}colector compacto con límite condo1{\displaystyle C^{1}}tensor métricogramo{\displaystyle g}. DejarΩ{\displaystyle \Omega }denotan el interior de la variedad deΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}y dejar∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }denotamos el límite de la variedad deΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}. Dejar(⋅,⋅){\displaystyle (\cdot ,\cdot )}denotarL2(Ω¯){\displaystyle L^{2}({\overline {\Omega }})}productos internos de funciones y⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }denotamos productos escalares de vectores. Supongamostú∈do1(Ω¯,R){\displaystyle u\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} )}yincógnita{\displaystyle X}es undo1{\displaystyle C^{1}}campo vectorial enΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}. Entonces (graduado⁡tú,incógnita)=−(tú,div⁡incógnita)+∫∂Ωtú⟨incógnita,norte⟩dS,{\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=-(u,\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS,} dóndenorte{\displaystyle N}es el vector normal unitario que apunta hacia afuera∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }.

Demostración del teorema. [ 9 ] Usamos la convención de suma de Einstein. Al usar una partición de la unidad, podemos suponer quetú{\displaystyle u}yincógnita{\displaystyle X}tener soporte compacto en un parche de coordenadasO⊂Ω¯{\displaystyle O\subset {\overline {\Omega }}}. Consideremos primero el caso en que el parche es disjunto de∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }. EntoncesO{\displaystyle O}se identifica con un subconjunto abierto deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}y la integración por partes no produce términos de frontera: (graduado⁡tú,incógnita)=∫O⟨graduado⁡tú,incógnita⟩gramodincógnita=∫O∂jtúincógnitajgramodincógnita=−∫Otú∂j(gramoincógnitaj)dincógnita=−∫Otú1gramo∂j(gramoincógnitaj)gramodincógnita=(tú,−1gramo∂j(gramoincógnitaj))=(tú,−div⁡incógnita).{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{O}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\[5pt]&=-\int _{O}u\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right)\,dx\\[5pt]&=-\int _{O}u{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right){\sqrt {g}}\,dx\\[5pt]&=\left(u,-{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right)\right)\\[5pt]&=(u,-\operatorname {div} X).\end{aligned}}} En la última igualdad utilizamos la fórmula de coordenadas de Voss-Weyl para la divergencia, aunque la identidad precedente podría usarse para definir−div{\displaystyle -\operatorname {div} }como adjunto formal degraduado{\displaystyle \operatorname {grad} }Ahora supongamos que...O{\displaystyle O}interseca∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }. EntoncesO{\displaystyle O}se identifica con un conjunto abierto enR+norte={incógnita∈Rnorte:incógnitanorte≥0}{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}}. Extendemos a cerotú{\displaystyle u}yincógnita{\displaystyle X}aR+norte{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}y realizar la integración por partes para obtener (graduado⁡tú,incógnita)=∫O⟨graduado⁡tú,incógnita⟩gramodincógnita=∫R+norte∂jtúincógnitajgramodincógnita=(tú,−div⁡incógnita)−∫Rnorte−1tú(incógnita′,0)incógnitanorte(incógnita′,0)gramo(incógnita′,0)dincógnita′,{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} _{+}^{n}}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-\operatorname {div} X)-\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',0)X^{n}(x',0){\sqrt {g(x',0)}}\,dx',\end{aligned}}} dóndedincógnita′=dincógnita1⋯dincógnitanorte−1{\displaystyle dx'=dx_{1}\cdots dx_{n-1}}. Mediante una variante del teorema de enderezamiento para campos vectoriales , podemos elegirO{\displaystyle O}de modo que∂∂incógnitanorte{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}es la unidad interior normal−norte{\displaystyle -N}en∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }. En este casogramo(incógnita′,0)dincógnita′=gramo∂Ω(incógnita′)dincógnita′=dS{\displaystyle {\sqrt {g(x',0)}}\,dx'={\sqrt {g_{\partial \Omega }(x')}}\,dx'=dS}es el elemento de volumen en∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }y la fórmula anterior se lee (graduado⁡tú,incógnita)=(tú,−div⁡incógnita)+∫∂Ωtú⟨incógnita,norte⟩dS.{\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=(u,-\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS.} Con esto concluye la demostración.

Corolarios

Al reemplazar F en el teorema de la divergencia con formas específicas, se pueden derivar otras identidades útiles (véase identidades vectoriales ). [ 10 ]

  • ConF→Fgramo{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g}para una función escalar g y un campo vectorial F ,
∭V[F⋅(∇gramo)+gramo(∇⋅F)]dV={\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}gramoF⋅nortedS.{\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
Un caso especial de esto esF=∇F{\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}, en cuyo caso el teorema es la base de las identidades de Green .
  • ConF→F×GRAMO{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G} }para dos campos vectoriales F y G , donde×{\displaystyle \times }denota un producto cruzado,
∭V∇⋅(F×GRAMO)dV=∭V[GRAMO⋅(∇×F)−F⋅(∇×GRAMO)]dV={\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(F×GRAMO)⋅nortedS.{\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
  • ConF→F⋅GRAMO{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} }para dos campos vectoriales F y G , donde⋅{\displaystyle \cdot }denota un producto escalar ,
∭V∇(F⋅GRAMO)dV=∭V[(∇GRAMO)⋅F+(∇F)⋅GRAMO]dV={\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(F⋅GRAMO)nortedS.{\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
  • ConF→Fdo{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c} }para una función escalar f y un campo vectorial c : [ 11 ]
∭Vdo⋅∇FdV={\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(doF)⋅nortedS−∭VF(∇⋅do)dV.{\displaystyle (\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\,\mathrm {d} V.}
El último término de la derecha se desvanece para constantedo{\displaystyle \mathbf {c} }o cualquier campo vectorial libre de divergencia (solenoidal), por ejemplo, flujos incompresibles sin fuentes ni sumideros, como cambios de fase o reacciones químicas, etc. En particular, tomandodo{\displaystyle \mathbf {c} }ser constante:
∭V∇FdV={\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}FnortedS.{\displaystyle f\mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
  • ConF→do×F{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F} }para el campo vectorial F y el vector constante c : [ 11 ]
∭Vdo⋅(∇×F)dV={\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(F×do)⋅nortedS.{\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
Al reordenar el producto triple en el lado derecho y sacar el vector constante de la integral,
∭V(∇×F)dV⋅do={\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\cdot \mathbf {c} =}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(dS×F)⋅do.{\displaystyle (\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c} .}
Por eso,
∭V(∇×F)dV={\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}norte×FdS.{\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S.}

Ejemplo

El campo vectorial correspondiente al ejemplo mostrado. Los vectores pueden apuntar hacia dentro o hacia fuera de la esfera.
El teorema de la divergencia se puede utilizar para calcular el flujo a través de una superficie cerrada que encierra completamente un volumen, como cualquiera de las superficies de la izquierda. No se puede utilizar directamente para calcular el flujo a través de superficies con límites, como las de la derecha. (Las superficies están en azul y los límites en rojo).

Supongamos que deseamos evaluar

\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}F⋅nortedS,{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}

donde S es la esfera unitaria definida por

S={(incógnita,y,z)∈R3 : incógnita2+y2+z2=1},{\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\},}

y F es el campo vectorial

F=2incógnitai+y2j+z2k.{\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}

El cálculo directo de esta integral es bastante difícil, pero podemos simplificar la derivación del resultado utilizando el teorema de la divergencia, porque el teorema de la divergencia dice que la integral es igual a:

∭W(∇⋅F)dV=2∭W(1+y+z) dV=2∭WdV+2∭WydV+2∭WzdV,{\displaystyle {\begin{aligned}\iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V&=2\iiint _{W}\left(1+y+z\right)\ \mathrm {d} V\\&=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,\end{aligned}}}

donde W es la bola unitaria :

W={(incógnita,y,z)∈R3 : incógnita2+y2+z2≤1}.{\displaystyle W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}

Dado que la función y es positiva en un hemisferio de W y negativa en el otro, de manera igual y opuesta, su integral total sobre W es cero. Lo mismo ocurre con z :

∭WydV=∭WzdV=0.{\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}

Por lo tanto,

\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}F⋅nortedS=2∭WdV=8π3,{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},}

porque la bola unitaria W tiene un volumen de 4π / 3 .

Aplicaciones

Formas diferenciales e integrales de las leyes físicas

Como resultado del teorema de la divergencia, numerosas leyes físicas pueden escribirse tanto en forma diferencial (donde una magnitud es la divergencia de otra) como en forma integral (donde el flujo de una magnitud a través de una superficie cerrada es igual al de otra magnitud). Tres ejemplos son la ley de Gauss (en electrostática ), la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Gauss para la gravedad .

Ecuaciones de continuidad

Las ecuaciones de continuidad ofrecen más ejemplos de leyes con formas diferenciales e integrales, relacionadas entre sí por el teorema de la divergencia. En dinámica de fluidos , electromagnetismo , mecánica cuántica , teoría de la relatividad y otros campos, existen ecuaciones de continuidad que describen la conservación de la masa, el momento, la energía, la probabilidad u otras magnitudes. En términos generales, estas ecuaciones establecen que la divergencia del flujo de la magnitud conservada es igual a la distribución de fuentes o sumideros de dicha magnitud. El teorema de la divergencia establece que cualquier ecuación de continuidad de este tipo puede escribirse en forma diferencial (en términos de una divergencia) y en forma integral (en términos de un flujo). [ 12 ]

Leyes del inverso del cuadrado

Cualquier ley del inverso del cuadrado puede escribirse en forma de ley de Gauss (con una forma diferencial e integral, como se describió anteriormente). Dos ejemplos son la ley de Gauss (en electrostática), que se deriva de la ley de Coulomb del inverso del cuadrado , y la ley de Gauss para la gravedad , que se deriva de la ley de gravitación universal de Newton del inverso del cuadrado . La derivación de la ecuación del tipo ley de Gauss a partir de la formulación del inverso del cuadrado, o viceversa, es exactamente la misma en ambos casos; consulte cualquiera de esos artículos para obtener más detalles. [ 12 ]

Historia

Joseph-Louis Lagrange introdujo la noción de integrales de superficie en 1760 y nuevamente en términos más generales en 1811, en la segunda edición de su Mécanique Analytique . Lagrange empleó integrales de superficie en su trabajo sobre mecánica de fluidos. [ 13 ] Descubrió el teorema de la divergencia en 1762. [ 14 ]

Carl Friedrich Gauss también utilizó integrales de superficie mientras trabajaba en la atracción gravitatoria de un esferoide elíptico en 1813, cuando demostró casos especiales del teorema de la divergencia. [ 15 ] [ 13 ] Demostró casos especiales adicionales en 1833 y 1839. [ 16 ] Pero fue Mikhail Ostrogradsky quien dio la primera demostración del teorema general, en 1826, como parte de su investigación del flujo de calor. [ 17 ] Casos especiales fueron demostrados por George Green en 1828 en Un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo , [ 18 ] [ 16 ] Siméon Denis Poisson en 1824 en un artículo sobre elasticidad, y Frédéric Sarrus en 1828 en su trabajo sobre cuerpos flotantes. [ 19 ] [ 16 ]

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Para verificar la variante planar del teorema de divergencia para una regiónR{\displaystyle R}:

R={(incógnita,y)∈R2 : incógnita2+y2≤1},{\displaystyle R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}

y el campo vectorial:

F(incógnita,y)=2yi+5incógnitaj.{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .}

El límite deR{\displaystyle R}es el círculo unitario,do{\displaystyle C}, que puede representarse paramétricamente mediante:

incógnita=porque⁡(s),y=pecado⁡(s){\displaystyle x=\cos(s),\quad y=\sin(s)}

de tal manera que0≤s≤2π{\displaystyle 0\leq s\leq 2\pi }dóndes{\displaystyle s}unidades es la longitud del arco desde el puntos=0{\displaystyle s=0}hasta el puntoPAG{\displaystyle P}endo{\displaystyle C}. Entonces una ecuación vectorial dedo{\displaystyle C}es

do(s)=porque⁡(s)i+pecado⁡(s)j.{\displaystyle C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} .}

En un puntoPAG{\displaystyle P}endo{\displaystyle C}:

PAG=(porque⁡(s),pecado⁡(s))⇒F=2pecado⁡(s)i+5porque⁡(s)j.{\displaystyle P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} .}

Por lo tanto,

∮doF⋅norteds=∫02π(2pecado⁡(s)i+5porque⁡(s)j)⋅(porque⁡(s)i+pecado⁡(s)j)ds=∫02π(2pecado⁡(s)porque⁡(s)+5pecado⁡(s)porque⁡(s))ds=7∫02πpecado⁡(s)porque⁡(s)ds=0.{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{aligned}}}

PorqueMETRO=Rmi(F)=2y{\displaystyle M={\mathfrak {Re}}(\mathbf {F} )=2y}, podemos evaluar∂METRO∂incógnita=0{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}=0}y porquenorte=Imetro(F)=5incógnita{\displaystyle N={\mathfrak {Im}}(\mathbf {F} )=5x},∂norte∂y=0{\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial y}}=0}. De este modo

∬R∇⋅FdA=∬R(∂METRO∂incógnita+∂norte∂y)dA=0.{\displaystyle \iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.}

Ejemplo 2

Digamos que queremos evaluar el flujo del siguiente campo vectorial definido porF=2incógnita2i+2y2j+2z2k{\displaystyle \mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}}limitado por las siguientes desigualdades:

{0≤incógnita≤3},{−2≤y≤2},{0≤z≤2π}{\displaystyle \left\{0\leq x\leq 3\right\},\left\{-2\leq y\leq 2\right\},\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\}}

Por el teorema de la divergencia,

∭V(∇⋅F)dV={\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(F⋅norte)dS.{\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.}

Ahora necesitamos determinar la divergencia deF{\displaystyle {\textbf {F}}}. SiF{\displaystyle \mathbf {F} }es un campo vectorial tridimensional, entonces la divergencia deF{\displaystyle {\textbf {F}}}es dado por∇⋅F=(∂∂incógnitai+∂∂yj+∂∂zk)⋅F{\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}.

Por lo tanto, podemos establecer la siguiente integral de flujo.I={\displaystyle I=}\oiintS{\displaystyle {\scriptstyle S}}F⋅nortedS,{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,} como sigue:

I=∭V∇⋅FdV=∭V(∂Fincógnita∂incógnita+∂Fy∂y+∂Fz∂z)dV=∭V(4incógnita+4y+4z)dV=∫03∫−22∫02π(4incógnita+4y+4z)dV{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}}

Ahora que hemos planteado la integral, podemos evaluarla.

∫03∫−22∫02π(4incógnita+4y+4z)dV=∫−22∫02π(12y+12z+18)dydz=∫02π24(2z+3)dz=48π(2π+3){\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}

Generalizaciones

Múltiples dimensiones

Se puede utilizar el teorema generalizado de Stokes para igualar la integral de volumen n -dimensional de la divergencia de un campo vectorial F sobre una región U a la integral de superficie ( n -1) -dimensional de F sobre el límite de U :

∫⋯∫U⏟norte∇⋅FdV=∮⋯∮∂U⏟norte−1F⋅nortedS{\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint \cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}

Esta ecuación también se conoce como el teorema de la divergencia.

Cuando n = 2 , esto es equivalente al teorema de Green .

Cuando n = 1 , se reduce al teorema fundamental del cálculo , parte 2.

campos tensoriales

Escribir el teorema en notación de Einstein :

∭V∂Fi∂incógnitaidV={\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}FinorteidS{\displaystyle \mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S}

Sugerentemente, reemplazando el campo vectorial F con un campo tensorial de rango n T , esto se puede generalizar a: [ 20 ]

∭V∂Ti1i2⋯iq⋯inorte∂incógnitaiqdV={\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}Ti1i2⋯iq⋯inortenorteiqdS.{\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.}

donde en cada lado, la contracción tensorial ocurre para al menos un índice. Esta forma del teorema aún está en 3d, cada índice toma los valores 1, 2 y 3. Se puede generalizar aún más a dimensiones superiores (o inferiores) (por ejemplo, al espaciotiempo 4d en la relatividad general [ 21 ] ).

Véase también

Referencias

  1. ↑ Katz, Victor J. (1979). "La historia del teorema de Stokes". Mathematics Magazine . 52 (3): 146– 156. doi : 10.2307/2690275 . JSTOR 2690275 . Reimpreso en Anderson, Marlow (2009). ¿Quién te dio el épsilon?: Y otros relatos de la historia de las matemáticas . Asociación Matemática de América. págs. 78–79 . ISBN  978-0-88385-569-0.
  2. ↑ RG Lerner ; GL Trigg (1994). Enciclopedia de Física (2.ª ed.). VHC. ISBN  978-3-527-26954-9.
  3. ↑ Byron, Frederick; Fuller, Robert (1992), Matemáticas de la física clásica y cuántica , Dover Publications, pág. 22 , ISBN  978-0-486-67164-2
  4. ↑ Wiley, C. Ray Jr. Matemáticas avanzadas para ingeniería, 3.ª ed . McGraw-Hill. págs. 372–373 . 
  5. ↑ Kreyszig, Erwin; Kreyszig, Herbert; Norminton, Edward J. (2011). Matemáticas avanzadas para ingeniería (10.ª ed.). John Wiley and Sons. págs. 453–456 . ISBN   978-0-470-45836-5.
  6. ↑ Benford, Frank A. (mayo de 2007). "Notas sobre cálculo vectorial" (PDF) . Materiales del curso de Matemáticas 105: Cálculo multivariable . Página web del profesor Steven Miller, Williams College . Consultado el 14 de marzo de 2022 .
  7. 1 2 3 Purcell, Edward M.; David J. Morin (2013). Electricidad y magnetismo . Cambridge Univ. Press. págs. 56–58 . ISBN  978-1-107-01402-2.
  8. ↑ Alt, Hans Wilhelm (2016). «Análisis funcional lineal». Universitext . Londres: Springer London. pp. 259–261 , 270–272 . doi : 10.1007/978-1-4471-7280-2 . ISBN  978-1-4471-7279-6ISSN 0172-5939​​ 
  9. ↑ Taylor, Michael E. (2011). "Ecuaciones diferenciales parciales I". Ciencias matemáticas aplicadas . Vol. 115. Nueva York, NY: Springer New York. pp. 178–179 . doi : 10.1007/978-1-4419-7055-8 . ISBN   978-1-4419-7054-1ISSN 0066-5452​​ 
  10. ↑ Señor Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial . Esquemas de Schaum (2ª ed.). Estados Unidos: McGraw Hill. ISBN  978-0-07-161545-7.
  11. 1 2 Mundo Matemático
  12. 1 2 C.B. Parker (1994). Enciclopedia de Física de McGraw Hill (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN  978-0-07-051400-3.
  13. 1 2 Katz, Victor (2009). «Capítulo 22: Análisis vectorial». Historia de las matemáticas: Una introducción . Addison-Wesley. págs. 808–9 . ISBN  978-0-321-38700-4.
  14. ↑ En su artículo de 1762 sobre el sonido, Lagrange trata un caso especial del teorema de la divergencia: Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Nuevas investigaciones sobre la naturaleza y propagación del sonido), Miscellanea Taurinensia (también conocida como: Mélanges de Turin ), 2 : 11 – 172. Este artículo se reimprime como: "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" en: JA Serret, ed., Oeuvres de Lagrange , (París, Francia: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, páginas 151–316; En las páginas 263–265 , Lagrange transforma integrales triples en integrales dobles mediante integración por partes.
  15. ^ CF Gauss (1813) "Theoria atracciónis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum Methodo nova tractata", Commentationes societatis regiae scientiarium Gottingensis Recentiores , 2 : 355–378; Gauss consideró un caso especial del teorema; consulte las páginas 4, 5 y 6 de su artículo.
  16. 1 2 3 Katz, Victor (mayo de 1979). "Una historia del teorema de Stokes". Mathematics Magazine . 52 (3): 146– 156. doi : 10.1080/0025570X.1979.11976770 . JSTOR 2690275 . 
  17. ↑ Mikhail Ostragradsky presentó su demostración del teorema de la divergencia a la Academia de París en 1826; sin embargo, su trabajo no fue publicado por la Academia. Regresó a San Petersburgo, Rusia, donde entre 1828 y 1829 leyó el trabajo que había realizado en Francia ante la Academia de San Petersburgo, que publicó su obra en forma abreviada en 1831.
    • Su demostración del teorema de la divergencia —«Démonstration d'un théorème du calcul intégral» (Demostración de un teorema del cálculo integral)— que leyó ante la Academia de París el 13 de febrero de 1826, fue traducida al ruso en 1965 junto con otro artículo suyo. Véase: Юшкевич А.П. (Yushkevich AP) y Антропова В.И. (Antropov VI) (1965) "Неопубликованные работы М.В. Остроградского" (Obras inéditas de MV Ostrogradskii), Историко-математические исследования (Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya / Estudios Histórico-Matemáticos), 16 : 49–96; consulte la sección titulada: "Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления" (Ostrogradskii MV Dokazatelstvo odnoy teoremy integralnogo ischislenia / Ostragradsky MV Prueba de un teorema en integral cálculo).
    • M. Ostrogradsky (presentado: 5 de noviembre de 1828; publicado: 1831) "Première note sur la théorie de la chaleur" (Primera nota sobre la teoría del calor) Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg , serie 6, 1 : 129-133; para obtener una versión abreviada de su demostración del teorema de la divergencia, consulte las páginas 130-131.
    • Victor J. Katz (mayo de 1979) "La historia del teorema de Stokes", Archivado el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine Mathematics Magazine , 52 (3): 146–156 doi : 10.1080/0025570X.1979.11976770 ; para la demostración del teorema de la divergencia de Ostragradsky, véanse las páginas 147–148.
  18. ↑ George Green, Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo (Nottingham, Inglaterra: T. Wheelhouse, 1838). Una forma del "teorema de la divergencia" aparece en las páginas 10-12 .
  19. ↑ Otros investigadores pioneros que utilizaron alguna forma del teorema de la divergencia incluyen:
    • Poisson (presentado: 2 de febrero de 1824; publicado: 1826) "Mémoire sur la théorie du magnétisme" (Memoria sobre la teoría del magnetismo), Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France , 5 : 247–338; en las páginas 294–296, Poisson transforma una integral de volumen (que se utiliza para evaluar una cantidad Q) en una integral de superficie. Para realizar esta transformación, Poisson sigue el mismo procedimiento que se utiliza para demostrar el teorema de la divergencia.
    • Frédéric Sarrus (1828) "Mémoire sur les oscillations des corps flottans" (Memoria sobre las oscilaciones de los cuerpos flotantes), Annales de mathématiques pures et appliquées (Nismes), 19 : 185–211.
  20. ↑ KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
  21. ↑ Véase, por ejemplo: JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitation . WH Freeman & Co. pp. 85–86 , §3.5. ISBN  978-0-7167-0344-0.y R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.