Rastro de Dixmier

En matemáticas, la traza de Dixmier , introducida por Jacques Dixmier ( 1966 ) , es una traza no normal en un espacio de operadores lineales sobre un espacio de Hilbert mayor que el espacio de operadores de clase traza . Las trazas de Dixmier son ejemplos de trazas singulares . 

Algunas aplicaciones de las trazas de Dixmier a la geometría no conmutativa se describen en ( Connes 1994 ) .

Si H es un espacio de Hilbert, entonces L ^1,∞ ( H ) es el espacio de operadores lineales compactos T en H tales que la norma

${\displaystyle \|T\|_{1,\infty }=\sup _{N}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$

es finito, donde los números μ _i ( T ) son los valores propios de | T | ordenados en orden decreciente. Sea

${\displaystyle a_{N}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$.

La traza de Dixmier Tr _ω ( T ) de T se define para operadores positivos T de L ^1,∞ ( H ) como

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\omega }(T)=\lim _{\omega }a_{N}}$

donde lim _ω es una "extensión" positiva e invariante de escala del límite usual, a todas las sucesiones acotadas. En otras palabras, tiene las siguientes propiedades:

• lim _ω ( α _n ) ≥ 0 si todos α _n ≥ 0 (positividad)
• lim _ω ( α _n ) = lim( α _n ) siempre que exista el límite ordinario
• lim _ω ( α ₁ , α ₁ , α ₂ , α ₂ , α ₃ , ...) = lim _ω ( α _n ) ( invariancia de escala )

Hay muchas extensiones de este tipo (como un límite de Banach de α ₁ , α ₂ , α ₄ , α ₈ ,...) por lo que hay muchas trazas de Dixmier diferentes. Como la traza de Dixmier es lineal, se extiende por linealidad a todos los operadores de L ^1,∞ ( H ). Si la traza de Dixmier de un operador es independiente de la elección de lim _ω entonces el operador se llama medible .

• Tr _ω ( T ) es lineal en T .
• Si T ≥ 0 entonces Tr _ω ( T ) ≥ 0
• Si S está acotado, entonces Tr _ω ( ST ) = Tr _ω ( TS )
• Tr _ω ( T ) no depende de la elección del producto interno en H .
• Tr _ω ( T ) = 0 para todos los operadores de clase traza T , pero hay operadores compactos para los que es igual a 1.

Una traza φ se llama normal si φ (sup x _α ) = sup φ ( x _α ) para toda familia dirigida creciente y acotada de operadores positivos. Cualquier traza normal en ${\displaystyle L^{1,\infty }(H)}$es igual a la traza usual, por lo que la traza de Dixmier es un ejemplo de una traza no normal.

Un operador autoadjunto compacto con valores propios 1, 1/2, 1/3, ... tiene una traza de Dixmier igual a 1.

Si los autovalores μ _i del operador positivo T tienen la propiedad de que

${\displaystyle \zeta _{T}(s)=\operatorname {Tr} (T^{s})=\sum {\mu _{i}^{s}}}$

converge para Re( s )>1 y se extiende a una función meromorfa cerca de s =1 con como máximo un polo simple en s =1, entonces la traza de Dixmier de T es el residuo en s =1 (y en particular es independiente de la elección de ω).

Connes (1988) demostró que el residuo no conmutativo de Wodzicki ( Wodzicki 1984 ) de un operador pseudodiferencial en una variedad M de orden -dim(M) es igual a su traza de Dixmier.

• traza singular