traza singular

Existe una traza no nula φ en un ideal bilateral J de operadores sobre un espacio de Hilbert separable si la codimensión de su subespacio conmutador no es cero. Existen ideales que admiten infinitas trazas singulares no nulas linealmente independientes. Por ejemplo, el subespacio conmutador del ideal de operadores de clase traza débil contiene el ideal de operadores de clase traza, y todo operador positivo en el subespacio conmutador de la clase traza débil es de clase traza. ^{[ 12 ]} En consecuencia, toda traza en el ideal de clase traza débil es singular y la codimensión del subespacio conmutador del ideal de clase traza débil es infinita. ^{[ 6 ] : 191} No todas las trazas singulares en el ideal de clase traza débil son trazas de Dixmier. ^{[ 6 ] : 316}

La traza de una matriz cuadrada es la suma de sus valores propios. La fórmula de Lidskii extiende este resultado al análisis funcional y establece que la traza de un operador de clase traza A viene dada por la suma de sus valores propios, ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\rm {Tr}}(A)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda (n,A)=\sum (\lambda (A)).}$

La caracterización ( 1 ) de una traza φ en operadores positivos de un dos ideales J como un funcional simétrico aplicado a valores singulares puede mejorarse a la afirmación de que la traza φ en cualquier operador en J viene dada por el mismo funcional simétrico aplicado a secuencias de autovalores , siempre que los autovalores de todos los operadores en J pertenezcan al espacio de secuencias de Calkin j . ^{[ 14 ]} En particular, si un operador acotado A pertenece a J siempre que exista un operador acotado B en J tal que

para cada número natural n , entonces para cada traza φ en J existe un único funcional simétrico f en el espacio de Calkin j con

donde λ( A ) es la sucesión de autovalores de un operador A en J reordenados de manera que el valor absoluto de los autovalores sea decreciente. Si A es cuasi-nilpotente, entonces λ( A ) es la sucesión cero. La mayoría de los ideales bilaterales satisfacen la propiedad ( 2 ), incluyendo todos los ideales de Banach y los cuasi-ideales de Banach.

La ecuación ( 3 ) es la afirmación precisa de que las trazas singulares miden el comportamiento espectral asintótico de los operadores.

La traza de una matriz cuadrada es la suma de sus elementos diagonales. En análisis funcional, la fórmula correspondiente para los operadores de clase traza es:

${\displaystyle {\rm {Tr}}(A)=\sum _{n=0}^{\infty }\langle Ae_{n},e_{n}\rangle =\sum (\{\langle Ae_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

donde { e _n } _{n =0} ^∞ es una base ortonormal arbitraria del espacio de Hilbert separable H . Las trazas singulares no tienen una formulación equivalente para bases arbitrarias. Solo cuando φ( A )=0 un operador A generalmente satisfará

${\displaystyle \varphi (A)={\rm {f}}(\{\langle Ae_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

para una traza singular φ y una base ortonormal arbitraria { e _n } _{n =0} ^∞ . ^{[ 6 ] : 242}

La formulación diagonal se usa a menudo en lugar de la formulación de Lidskii para calcular la traza de los productos, ya que los autovalores de los productos son difíciles de determinar. Por ejemplo, en mecánica estadística cuántica, la esperanza de un observable S se calcula frente a un operador de densidad de energía de clase traza fijo T mediante la fórmula

${\displaystyle \langle S\rangle ={\rm {Tr}}(ST)=\sum _{n=0}^{\infty }\langle Se_{n},e_{n}\rangle \lambda (n,T)=v_{T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

donde v _T pertenece a ( l _∞ ) _* ≅ l ₁ . La esperanza se calcula a partir de los valores esperados ⟨ Se _n , e _n ⟩ y la probabilidad ⟨ P _n ⟩ = λ( n , T ) de que el sistema esté en el estado cuántico ligado e _n . Aquí P _n es el operador de proyección sobre el subespacio unidimensional generado por el autoestado de energía e _n . Los autovalores del producto, λ( n , ST ), no tienen una interpretación equivalente.

Existen resultados para trazas singulares de productos. ^{[ 15 ]} Para un producto ST donde S es acotado y T es autoadjunto y pertenece a un ideal bilado J entonces

${\displaystyle \varphi (ST)={\rm {f}}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \lambda (n,T)\}_{n=0}^{\infty })=v_{\varphi ,T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

para cualquier traza φ en J. La base ortonormal { e _n } _{n =0} ^∞ debe ordenarse de modo que Te _n = μ( n , T ) e _n , n = 0,1,2... . Cuando φ es singular y φ( T ) = 1 entonces v _{φ , T} es un funcional lineal en l _∞ que extiende el límite en el infinito en las secuencias convergentes c . La esperanza ⟨ S ⟩ = φ( ST ) en este caso tiene la propiedad de que ⟨ P _n ⟩ = 0 para cada n , o que no hay probabilidad de estar en un estado cuántico ligado. Que

${\displaystyle \langle S\rangle ={\text{``limit at infinity''}}\langle Se_{n},e_{n}\rangle }$

ha llevado a establecer un vínculo entre trazas singulares, el principio de correspondencia y los límites clásicos. ^{[ 6 ] : cap. 12}

• Operadores acotados. Paul Halmos demostró en 1954 que todo operador acotado en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es la suma de dos conmutadores. ^{[ 17 ]} Es decir, Com( B ( H )) = B ( H ) y la codimensión del subespacio conmutador de B ( H ) es cero. Los operadores lineales acotados no admiten trazas definidas en todas partes . La condición es relevante; como álgebra de von Neumann, B ( H ) admite trazas semifinitas (fuertemente definidas).

El análisis moderno del subespacio conmutador implica comprobar su caracterización espectral . Los siguientes ideales no tienen trazas, ya que las medias de Cesàro de secuencias positivas del espacio de secuencias correspondiente de Calkin pertenecen de nuevo al espacio de secuencias, lo que indica que el ideal y su subespacio conmutador son iguales.

• Operadores compactos. El subespacio conmutador Com( K ( H )) = K ( H ) donde K ( H ) denota los operadores lineales compactos . El ideal de operadores compactos no admite trazas.
• Ideales p de Schatten . El subespacio conmutador Com( L _p ) = L _p , p > 1, donde L _p denota el ideal p de Schatten ,

${\displaystyle L_{p}=\{A\in K(H):\left(\sum _{n=0}^{\infty }\mu (n,A)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \},}$

y μ( A ) denota la secuencia de valores singulares de un operador compacto A . Los ideales de Schatten para p > 1 no admiten trazas.

• Ideales de Lorentz p o ideales L _p débiles . El subespacio conmutador Com( L _{p ,∞} ) = L _{p ,∞} , p > 1, donde

${\displaystyle L_{p,\infty }=\{A\in K(H):\mu (n,A)=O(n^{-{\frac {1}{p}}})\}}$

es el ideal débil- L _p . Los ideales débiles- L _p , p > 1, no admiten trazas. Los ideales débiles- L _p son iguales a los ideales de Lorentz (abajo) con función cóncava ψ( n ) = n ^{1−1/ p} .

• Operadores de rango finito. Se comprueba a partir de la condición espectral que el núcleo de la traza del operador Tr y el subespacio conmutador de los operadores de rango finito son iguales, ker Tr = Com( F ( H )). De ello se deduce que el subespacio conmutador Com( F ( H )) tiene codimensión 1 en F ( H ). Salvo escalamiento, Tr es la traza única en F ( H ).
• Operadores de clase traza. Los operadores de clase traza L ₁ tienen Com( L ₁ ) estrictamente contenido en ker Tr. La codimensión del subespacio conmutador es, por lo tanto, mayor que uno, y se demuestra que es infinita. ^{[ 18 ]} Mientras que Tr es, salvo escalamiento, la única traza continua en L ₁ para la norma ||A|| ₁ = Tr(|A|), el ideal de operadores de clase traza admite infinitas trazas singulares linealmente independientes y no triviales.
• Operadores de clase de traza débil . Dado que Com( L _{1 ,∞} ) ₊ = ( L ₁ ) ₊ la codimensión del subespacio conmutador del ideal débil- L ₁ es infinita. Toda traza en operadores de clase de traza débil se anula en operadores de clase de traza y, por lo tanto, es singular. Los operadores de clase de traza débil forman el ideal más pequeño donde toda traza en el ideal debe ser singular. ^{[ 18 ]} Las trazas de Dixmier proporcionan una construcción explícita de trazas en los operadores de clase de traza débil.

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{\omega }(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\log(1+n)}}\sum _{k=0}^{n}\lambda (k,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in L_{1,\infty }.}$

Esta fórmula es válida para todo operador de clase de traza débil A e involucra los autovalores ordenados en valor absoluto decreciente. Además, ω puede ser cualquier extensión a l _∞ del límite ordinario; no necesita ser invariante a la dilatación como en la formulación original de Dixmier. No todas las trazas singulares en el ideal de clase de traza débil son trazas de Dixmier. ^{[ 6 ] : 316}

• Ideales de clase de traza débil k -tensoriales . Losideales débiles L _p , p > 1, no admiten trazas como se explicó anteriormente. No son el entorno adecuado para factorizaciones de orden superior de las trazas en el ideal de clase de traza débil L _{1 ,∞} . Para un número natural k ≥ 1, los ideales

${\displaystyle E_{\otimes k}=\{A\in K(H):\mu (n,A)=O(\log ^{k-1}(n)/n)\}}$

forman el entorno apropiado. Tienen subespacios conmutadores de codimensión infinita que forman una cadena tal que E _{⊗ k -1} ⊂ Com( E _{⊗ k} ) (con la convención de que E ₀ = L ₁ ). Las trazas de Dixmier en E _{⊗ k} tienen la forma

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{\omega }^{k}(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\log ^{k}(1+n)}}\sum _{j=0}^{n}\lambda (j,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in E_{\otimes k}.}$

• Ideales ψ de Lorentz. El entorno natural para las trazas de Dixmier es un ideal ψ de Lorentz para una función creciente cóncava ψ  : [0,∞) → [0,∞),

${\displaystyle L_{\psi }=\{A\in K(H):{\frac {1}{\psi (1+n)}}\sum _{j=0}^{n}\mu (n,A)<\infty \}.}$

Hay algunos ω que extienden el límite ordinario a l _∞ tales que

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{\omega }^{\psi }(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\psi (1+n)}}\sum _{j=0}^{n}\lambda (j,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in L_{\psi }}$

es una traza singular si y solo si ^{[ 6 ] : 225}

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\psi (2n)}{\psi (n)}}=1.}$

El ideal principal generado por cualquier operador compacto A con μ( A )=ψ' se llama el 'ideal pequeño' dentro de L _ψ . El ideal de clase de traza débil k -tensor es el ideal pequeño dentro del ideal de Lorentz con ψ = log ^k .

• Los ideales totalmente simétricos generalizan los ideales de Lorentz. Las trazas de Dixmier forman todas las trazas totalmente simétricas en un ideal de Lorentz salvo escalamiento, y forman un subconjunto débilmente* denso de las trazas totalmente simétricas en un ideal totalmente simétrico general. Se sabe que las trazas totalmente simétricas son un subconjunto estricto de las trazas positivas en un ideal totalmente simétrico. ^{[ 6 ] : 109} Por lo tanto, las trazas de Dixmier no son el conjunto completo de trazas positivas en los ideales de Lorentz.