Superficie de Dolgachev

En matemáticas, las superficies de Dolgachev son ciertas superficies elípticas simplemente conexas , introducidas por Igor Dolgachev  ( 1981 ). Se pueden usar para dar ejemplos de una familia infinita de 4-variedades compactas homeomorfas simplemente conexas , de las cuales no hay dos difeomorfas .

La explosión del plano proyectivo en 9 puntos se puede realizar como una fibración elíptica cuyas fibras son todas irreducibles. Una superficie de Dolgachev se obtiene aplicando transformaciones logarítmicas de órdenes 2 y q a dos fibras suaves para algún . ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{q}}$${\displaystyle q\geq 3}$

Las superficies de Dolgachev son simplemente conexas, y la forma bilineal en el segundo grupo de cohomología tiene signatura impar (por lo que se trata de una red unimodular ). El género geométrico es 0 y la dimensión de Kodaira es 1. ${\displaystyle (1,9)}$${\displaystyle I_{1,9}}$${\displaystyle p_{g}}$

Simon Donaldson  ( 1987 ) encontró los primeros ejemplos de 4-variedades homeomorfas simplemente conexas pero no difeomorfas y . De manera más general, las superficies y son siempre homeomorfas, pero no son difeomorfas a menos que . ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{3}}$${\displaystyle X_{q}}$${\displaystyle X_{r}}$${\displaystyle q=r}$

Selman Akbulut  ( 2012 ) demostró que la superficie de Dolgachev tiene una descomposición de cuerpo de asa sin asas de 1 y 3. ${\displaystyle X_{3}}$

• Akbulut, Selman (2012). "La superficie de Dolgachev. Refutando la conjetura de Harer-Kas-Kirby". Commentarii Mathematici Helvetici . 87 (1): 187– 241. arXiv : 0805.1524 . Bibcode : 2008arXiv0805.1524A . doi : 10.4171/CMH/252 . MR  2874900 .
• Barth, Lobo P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonio (2004). Superficies complejas compactas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). vol. 4. Springer-Verlag, Berlín. doi : 10.1007/978-3-642-96754-2 . ISBN 978-3-540-00832-3. MR  2030225 .
• Dolgachev, Igor (2010), "Superficies algebraicas con ", Superficies algebraicas , CIME Summer Schools, vol. 76, Heidelberg: Springer, pp.  97–215 , doi : 10.1007/978-3-642-11087-0_3 , MR 2757651${\displaystyle p_{g}=g=0}$ 
• Donaldson, Simon K. (1987). "Irracionalidad y la conjetura del h-cobordismo" . Journal of Differential Geometry . 26 (1): 141– 168. doi : 10.4310/jdg/1214441179 . MR  0892034 .