Teorema de descomposición de Doob

En la teoría de procesos estocásticos en tiempo discreto , una parte de la teoría matemática de la probabilidad , el teorema de descomposición de Doob proporciona una descomposición única de cada proceso estocástico adaptado e integrable como la suma de una martingala y un proceso predecible (o "deriva") que comienza en cero. El teorema fue demostrado por Joseph L. Doob y lleva su nombre . ^[1]

El teorema análogo en el caso de tiempo continuo es el teorema de descomposición de Doob-Meyer .

Sea un espacio de probabilidad , I = {0, 1, 2, ..., N } con o un conjunto de índices finito o contablemente infinito, una filtración de  , y X = ( X _n ) _{n ∈ I} un proceso estocástico adaptado con E[| X _n |] < ∞ para todo n ∈ I . Entonces existe una martingala M = ( M _n ) _{n ∈ I} y un proceso predecible integrable A = ( A _n ) _{n ∈ I} que comienza con A ₀ = 0 tal que X _n = M _n + A _n para todo n ∈ I . Aquí predecible significa que A _n es - medible para todo n ∈ I \ {0} . Esta descomposición es casi con seguridad única. ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle N\in \mathbb {N}}$${\displaystyle I=\mathbb {N}_{0}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$

El teorema es válido palabra por palabra también para procesos estocásticos X que toman valores en el espacio euclidiano d -dimensional o en el espacio vectorial complejo . Esto se deduce de la versión unidimensional considerando los componentes individualmente. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Utilizando expectativas condicionales , defina los procesos A y M , para cada n ∈ I , explícitamente mediante

y

donde las sumas para n = 0 están vacías y definidas como cero. Aquí A suma los incrementos esperados de X , y M suma las sorpresas, es decir, la parte de cada X _k que no se conoce un paso de tiempo antes. Debido a estas definiciones, A _{n +1} (si n + 1 ∈ I ) y M _n son F _n -medibles porque el proceso X está adaptado, E[| A _n |] < ∞ y E[| M _n |] < ∞ porque el proceso X es integrable, y la descomposición X _n = M _n + A _n es válida para cada n ∈ I . La propiedad martingala

${\displaystyle \mathbb {E}[M_{n}-M_{n-1}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=0}$    como

También se sigue de la definición anterior ( 2 ), para cada n ∈ I \ {0 }.

Para demostrar la unicidad, sea X = M ' + A ' una descomposición adicional. Entonces el proceso Y  := M − M ' = A ' − A es una martingala, lo que implica que

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{n}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n-1}}$    como,

y también predecible, lo que implica que

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{n}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n}}$    como

para cualquier n ∈ I \ {0 }. Dado que Y ₀ = A ' ₀ − A ₀ = 0 por la convención sobre el punto de inicio de los procesos predecibles, esto implica iterativamente que Y _n = 0 casi con seguridad para todo n ∈ I , por lo tanto, la descomposición es casi con seguridad única.

Un proceso estocástico de valor real X es una submartingala si y solo si tiene una descomposición de Doob en una martingala M y un proceso predecible integrable A que es casi seguramente creciente . ^[5] Es una supermartingala si y solo si A es casi seguramente decreciente .

Si X es una submartingala, entonces

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{k}\,|\,{\mathcal {F}}_{k-1}]\geq X_{k-1}}$    como

para todo k ∈ I \ {0 }, lo que equivale a decir que cada término en la definición ( 1 ) de A es casi seguramente positivo, por lo tanto, A es casi seguramente creciente. La equivalencia para las supermartingalas se demuestra de manera similar.

Sea X = ( X _n ) _{n ∈${\displaystyle \mathbb {N} _ {0}}$} una sucesión de variables aleatorias independientes, integrables y de valor real. Se adaptan a la filtración generada por la sucesión, es decir F _n = σ ( X ₀ , . . . , X _n ) para todo n ∈${\displaystyle \mathbb {N} _ {0}}$ . Por ( 1 ) y ( 2 ), la descomposición de Doob viene dada por

${\displaystyle A_{n}=\sum _ {k=1}^{n}{\bigl (}\mathbb {E} [X_{k}]-X_{k-1}{\bigr )},\ cuadrilátero n\in \mathbb {N} _{0},}$

y

${\displaystyle M_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}X_{k}-\mathbb {E} [X_{k}]{\bigr ) },\quad n\in \mathbb {N} _{0}.}$

Si las variables aleatorias de la secuencia original  X tienen media cero, esto se simplifica a

${\displaystyle A_{n}=-\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}}$    y    ${\displaystyle M_{n}=\sum _{k=0}^{n}X_{k},\quad n\in \mathbb {N} _{0},}$

por lo tanto, ambos procesos son paseos aleatorios (posiblemente no homogéneos en el tiempo) . Si la secuencia X = ( X _n ) _{n ∈${\displaystyle \mathbb {N} _ {0}}$} consiste en variables aleatorias simétricas que toman los valores +1 y  −1 , entonces X  está acotado, pero la martingala  M y el proceso predecible  A son paseos aleatorios simples no acotados (y no uniformemente integrables ), y el teorema de detención opcional de Doob podría no ser aplicable a la martingala  M a menos que el tiempo de detención tenga una expectativa finita.

En finanzas matemáticas , el teorema de descomposición de Doob se puede utilizar para determinar el mayor tiempo de ejercicio óptimo de una opción americana . ^{[6] [7]} Sea X = ( X ₀ , X ₁ , . . . , X _N ) los pagos descontados no negativos de una opción americana en un modelo de mercado financiero de N periodos, adaptado a una filtración ( F ₀ , F ₁ , . . . , F _N ) , y sea una medida de martingala equivalente . Sea U = ( U ₀ , U ₁ , . . . , U _N ) la envolvente de Snell de  X con respecto a . La envolvente de Snell es la -supermartingala más pequeña que domina a X ^[8] y en un mercado financiero completo representa la cantidad mínima de capital necesaria para cubrir la opción americana hasta el vencimiento. ^[9] Sea U = M + A la descomposición de Doob con respecto a la envolvente de Snell  U en una martingala M = ( M ₀ , M ₁ , . . . , M _N ) y un proceso predecible decreciente A = ( A ₀ , A ₁ , . . . , A _N ) con A ₀ = 0 . Entonces el mayor tiempo de detención para ejercer la opción americana de manera óptima ^{[10] [11]} es ${\displaystyle \mathbb {Q}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$

${\displaystyle \tau _{\text{max}}:={\begin{cases}N&{\text{si }}A_{N}=0,\\\min\{n\in \{0,\dots ,N-1\}\mid A_{n+1}<0\}&{\text{si }}A_{N}<0.\end{cases}}}$

Como A es predecible, el evento { τ _max = n } = { A _n = 0, A _{n +1} < 0 } está en  F _n para cada n ∈ {0, 1, . . . , N − 1 }, por lo tanto τ _max es de hecho un tiempo de detención. Da el último momento antes de que el valor descontado de la opción americana caiga en expectativa; hasta el tiempo  τ _max el proceso de valor descontado  U es una martingala con respecto a . ${\displaystyle \mathbb {Q}}$

El teorema de descomposición de Doob se puede generalizar desde espacios de probabilidad a espacios de medida σ-finitos . ^[12]

• Doob, Joseph L. (1953), Procesos estocásticos , Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-21813-5, MR  0058896, Zbl  0053.26802
• Doob, Joseph L. (1990), Procesos estocásticos (Wiley Classics Library ed.), Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-52369-0, MR  1038526, Zbl  0696.60003
• Durrett, Rick (2010), Probabilidad: teoría y ejemplos , Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics (4. ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76539-8, MR  2722836, Zbl  1202.60001
• Föllmer, Hans; Schied, Alexander (2011), Finanzas estocásticas: una introducción en tiempo discreto , graduado de De Gruyter (3. rev. y edición ampliada), Berlín, Nueva York: De Gruyter, ISBN 978-3-11-021804-6, MR  2779313, Zbl  1213.91006
• Lamberton, Damien; Lapeyre, Bernard (2008), Introducción al cálculo estocástico aplicado a las finanzas , Chapman & Hall/CRC serie de matemáticas financieras (2. ed.), Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-626-6, MR  2362458, Zbl  1167.60001
• Schilling, René L. (2005), Medidas, integrales y martingalas , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-52185-015-5, MR  2200059, Zbl  1084.28001
• Williams, David (1991), Probabilidad con martingalas , Cambridge University Press, ISBN 0-521-40605-6, MR  1155402, Zbl  0722.60001