Cúspide (singularidad)

En matemáticas , una cúspide , a veces llamada espinoda en textos antiguos, es un punto en una curva donde un punto en movimiento debe invertir su dirección. Un ejemplo típico se muestra en la figura. Una cúspide es, por lo tanto, un tipo de punto singular de una curva .

Para una curva plana definida por una ecuación analítica y paramétrica

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}}$

Una cúspide es un punto donde ambas derivadas de f y g son cero, y la derivada direccional , en la dirección de la tangente , cambia de signo (la dirección de la tangente es la dirección de la pendiente).${\displaystyle \lim(g'(t)/f'(t))}$Las cúspides son singularidades locales en el sentido de que involucran un solo valor del parámetro t , a diferencia de los puntos de autointersección que involucran más de un valor. En algunos contextos, se puede omitir la condición sobre la derivada direccional, aunque, en este caso, la singularidad puede parecer un punto regular.

Para una curva definida por una ecuación implícita

${\displaystyle F(x,y)=0,}$

que es suave , las cúspides son puntos donde los términos de grado más bajo de la expansión de Taylor de F son una potencia de un polinomio lineal ; sin embargo, no todos los puntos singulares que tienen esta propiedad son cúspides. La teoría de las series de Puiseux implica que, si F es una función analítica (por ejemplo, un polinomio ), un cambio lineal de coordenadas permite parametrizar la curva , en un entorno de la cúspide, como

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}}$

donde a es un número real , m es un entero par positivo y S ( t ) es una serie de potencias de orden k (grado del término no nulo del grado más bajo) mayor que m . El número m a veces se denomina orden o multiplicidad de la cúspide, y es igual al grado de la parte no nula del grado más bajo de F. En algunos contextos, la definición de una cúspide se restringe al caso de cúspides de orden dos, es decir, el caso donde m = 2 .

René Thom y Vladimir Arnold generalizaron las definiciones de curvas planas y curvas definidas implícitamente a curvas definidas por funciones diferenciables : una curva tiene una cúspide en un punto si existe un difeomorfismo de un entorno del punto en el espacio ambiente que mapea la curva sobre una de las cúspides definidas anteriormente.

Consideremos una función suave de valores reales de dos variables , digamos f ( x , y ) , donde x e y son números reales . Así, f es una función del plano a la recta. El espacio de todas estas funciones suaves es afectado por el grupo de difeomorfismos del plano y los difeomorfismos de la recta, es decir, cambios de coordenadas difeomórficos tanto en el origen como en el destino . Esta acción divide todo el espacio de funciones en clases de equivalencia , es decir, órbitas de la acción del grupo .

Una de esas familias de clases de equivalencia se denota por ⁠${\displaystyle A_{k}^{\pm },}$donde k es un entero no negativo. Se dice que una funciónf es de tipo${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$⁠ si se encuentra en la órbita de${\displaystyle x^{2}\pm y^{k+1},}$Es decir, existe un cambio difeomórfico de coordenadas en la fuente y el destino que transforma f en una de estas formas. Estas formas simples${\displaystyle x^{2}\pm y^{k+1}}$Se dice que proporcionan formas normales para el tipo .${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$-singularidades . Nótese que las${\displaystyle A_{2n}^{+}}$son lo mismo que el${\displaystyle A_{2n}^{-}}$⁠ dado el cambio difeomórfico de coordenadas ⁠${\displaystyle (x,y)\to (x,-y)}$en la fuente toma${\displaystyle x^{2}+y^{k+1}}$a${\displaystyle x^{2}-y^{2n+1}.}$Así que podemos eliminar el ± de ⁠${\displaystyle A_{2n}^{\pm }}$notación .

Las cúspides vienen dadas entonces por los conjuntos de nivel cero de los representantes de los ⁠${\displaystyle A_{2n}}$clases de equivalencia, donde n ≥ 1 es un número entero.

• Una cúspide ordinaria viene dada por${\displaystyle x^{2}-y^{3}=0,}$es decir, el conjunto de nivel cero de una singularidad de tipo A2 _{. Sea} f ( x , y ) una función suave de x e y y supongamos, por simplicidad, que f (0, 0) = 0. Entonces, una singularidad de tipo _A2 de f en ( 0, 0) se puede caracterizar por:
  1. Tener una parte cuadrática degenerada, es decir, los términos cuadráticos en la serie de Taylor de f forman un cuadrado perfecto, digamos L ( x , y ) ² , donde L ( x , y ) es lineal en x e y , y
  2. L ( x , y ) no divide los términos cúbicos en la serie de Taylor de f ( x , y ) .
• Una cúspide ramfoide ( del griego ' con forma de pico ' ) originalmente denotaba una cúspide tal que ambas ramas están en el mismo lado de la tangente ^{[ 1 ]} , como para la curva de ecuación ${\displaystyle (xy^{2})^{2}-y^{5}=0}$. Como tal singularidad está en la misma clase diferencial que la cúspide de la ecuación${\displaystyle x^{2}-y^{5}=0,}$que es una singularidad de tipo A ₄ , el término se ha extendido a todas esas singularidades. Estas cúspides no son genéricas como cáusticas y frentes de onda . La cúspide ránfoide y la cúspide ordinaria no son difeomorfas. Una forma paramétrica es${\displaystyle x=t^{2},\,y=at^{4}+t^{5},\,a\neq 0.}$

Para una singularidad de tipo A ₄ necesitamos que f tenga una parte cuadrática degenerada (esto da tipo A _≥2 ), que L divida los términos cúbicos (esto da tipo A _≥3 ), otra condición de divisibilidad (que da tipo A _≥4 ) y una condición final de no divisibilidad (que da tipo exactamente A ₄ ).

Para ver de dónde provienen estas condiciones de divisibilidad adicionales, supongamos que f tiene una parte cuadrática degenerada L ² y que L divide los términos cúbicos. De ello se deduce que la serie de Taylor de tercer orden de f viene dada por${\displaystyle L^{2}\pm LQ,}$donde Q es cuadrática en x e y . Podemos completar el cuadrado para demostrar que${\displaystyle L^{2}\pm LQ=(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4.}$Ahora podemos realizar un cambio de variable difeomórfico (en este caso simplemente sustituimos polinomios por partes lineales independientes ) de modo que${\displaystyle (L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4\to x_{1}^{2}+P_{1}}$donde P ₁ es cuártica (de cuarto orden) en x ₁ e y ₁ . La condición de divisibilidad para el tipo A _≥4 es que x ₁ divide a P ₁ . Si x ₁ no divide a P ₁ entonces tenemos exactamente el tipo A ₃ (el conjunto de nivel cero aquí es un tacnodo ). Si x ₁ divide a P ₁ completamos el cuadrado en${\displaystyle x_{1}^{2}+P_{1}}$y cambiar las coordenadas para que tengamos${\displaystyle x_{2}^{2}+P_{2}}$donde P ₂ es quíntico (de orden cinco) en x ₂ e y ₂ . Si x ₂ no divide a P ₂ entonces tenemos exactamente el tipo A ₄ , es decir, el conjunto de nivel cero será una cúspide rhamfoide.

Las cúspides aparecen de forma natural al proyectar una curva suave en un plano en el espacio euclidiano tridimensional . En general, dicha proyección es una curva cuyas singularidades son puntos de autointersección y cúspides ordinarias. Los puntos de autointersección aparecen cuando dos puntos diferentes de la curva tienen la misma proyección. Las cúspides ordinarias aparecen cuando la tangente a la curva es paralela a la dirección de proyección (es decir, cuando la tangente se proyecta sobre un solo punto). Se producen singularidades más complejas cuando ocurren varios fenómenos simultáneamente. Por ejemplo, las cúspides ranfoides aparecen en los puntos de inflexión (y en los puntos de ondulación ) para los cuales la tangente es paralela a la dirección de proyección.

En muchos casos, y típicamente en visión artificial y gráficos por computadora , la curva proyectada es la curva de los puntos críticos de la restricción a un objeto espacial (suave) de la proyección. Una cúspide aparece así como una singularidad del contorno de la imagen del objeto (visión) o de su sombra (gráficos por computadora).

Las cáusticas y los frentes de onda son otros ejemplos de curvas que presentan cúspides visibles en el mundo real.

• catástrofe de cúspide
• Cardioide

• Bruce, JW; Giblin, Peter (1984). Curvas y singularidades . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-42999-3.
• Porteous, Ian (1994). Diferenciación geométrica . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39063-7.

• Los físicos ven el cosmos en una taza de café.