paradoja del bebedor

La paradoja del bebedor (también conocida como teorema del bebedor , principio del bebedor o principio de la bebida ) es un teorema de la lógica de predicados clásica que se puede enunciar como: «Hay alguien en el pub tal que, si él o ella está bebiendo, entonces todos los demás en el pub están bebiendo». Fue popularizada por el lógico matemático Raymond Smullyan , quien la denominó «principio de la bebida» en su libro de 1978, ¿Cuál es el nombre de este libro? ^{[ 1 ].}

La aparente paradoja de la afirmación radica en su forma habitual de enunciarse en lenguaje natural . Resulta contraintuitivo que exista una persona que provoque que los demás beban, o que exista una persona que, durante toda la noche, siempre sea la última en beber. La primera objeción surge de confundir enunciados formales del tipo "si entonces" con causalidad (véase " la correlación no implica causalidad" o "lógica de la relevancia" para lógicas que exigen relaciones relevantes entre premisa y consecuente, a diferencia de la lógica clásica aquí asumida). El enunciado formal del teorema es atemporal, lo que elimina la segunda objeción, ya que la persona para la que el enunciado es verdadero en un instante no es necesariamente la misma para la que es verdadero en cualquier otro instante.

La formulación formal del teorema es

${\displaystyle \exists x\in P,[D(x)\rightarrow \forall y\in P,D(y)].\,}$

donde D es un predicado arbitrario y P es un conjunto no vacío arbitrario.

La prueba comienza reconociendo que es cierto que o bien todos en el pub están bebiendo, o al menos una persona en el pub no está bebiendo. En consecuencia, hay dos casos a considerar: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. Supongamos que todos están bebiendo. Para cualquier persona en particular, no puede ser incorrecto decir que si esa persona está bebiendo, entonces todos en el bar están bebiendo , porque todos están bebiendo. Como todos están bebiendo, entonces esa persona debe beber, porque cuando esa persona bebe , todos beben; todos incluyen a esa persona. ^{[ 1 ] [ 2 ]}
2. De lo contrario, al menos una persona no está bebiendo. Para cualquier persona que no beba, la afirmación « si esa persona en particular está bebiendo, entonces todos en el bar están bebiendo » es formalmente verdadera: su antecedente («esa persona en particular está bebiendo») es falso, por lo tanto, la afirmación es verdadera debido a la naturaleza de la implicación material en la lógica formal, que establece que «Si P, entonces Q» siempre es verdadera si P es falsa. ^{[ 1 ] [ 2 ]} (Se dice que este tipo de afirmaciones son trivialmente verdaderas ).

Una forma un poco más formal de expresar lo anterior es decir que, si todos beben, entonces cualquiera puede ser testigo de la validez del teorema. Y si alguien no bebe, entonces esa persona que no bebe puede ser testigo de la validez del teorema. ^{[ 3 ]}

La paradoja se basa en última instancia en el principio de lógica formal de que la afirmación${\displaystyle A\rightarrow B}$es cierto siempre${\displaystyle A}$es falso, es decir, cualquier afirmación se deriva de una afirmación falsa ^{[ 1 ]} ( ex falso quodlibet ).

Lo importante para la paradoja es que el condicional en la lógica clásica (e intuicionista) es el condicional material . Tiene la propiedad de que${\displaystyle A\rightarrow B}$es cierto siempre${\displaystyle B}$es cierto o${\displaystyle A}$es falso. En la lógica clásica (pero no en la lógica intuicionista ), esta también es una condición necesaria: si${\displaystyle A\rightarrow B}$Si es cierto, entonces${\displaystyle B}$es cierto o${\displaystyle A}$es falso.

Así pues, tal como se aplicó en este caso, la afirmación "si ellos beben, todos beben" se consideró correcta en un caso, si todos bebían, y en el otro caso, si ellos no bebían, aunque su consumo de alcohol no tuviera nada que ver con el consumo de alcohol de los demás.

En su libro de 1978, Smullyan atribuye el nombre de "El principio de la bebida" a sus estudiantes de posgrado. ^{[ 1 ]} También analiza variantes (obtenidas al reemplazar D con otros predicados más dramáticos):

• «Existe una mujer en la Tierra tal que, si se vuelve estéril, toda la raza humana se extinguirá». Smullyan escribe que esta formulación surgió de una conversación que tuvo con el filósofo John Bacon. ^{[ 1 ]}
• Una versión "dual" del Principio: "hay al menos una persona tal que si alguien bebe, entonces lo hace". ^{[ 1 ]}

Como «el principio de los bebedores de Smullyan» o simplemente «el principio de los bebedores», aparece en «La búsqueda de la corrección» (1996) de HP Barendregt , acompañado de algunas demostraciones automáticas. ^{[ 2 ]} Desde entonces, ha aparecido con frecuencia como ejemplo en publicaciones sobre razonamiento automatizado ; a veces se utiliza para contrastar la expresividad de los asistentes de demostración . ^{[ 4 ]}

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